2025屆福建省泉州市奕聰中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2025屆福建省泉州市奕聰中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)，的最小正周期是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.3．在下列給出的函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)的是（）A. B.C. D.4．函數(shù)f（x）=+的定義域為（）A. B.C. D.5．函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.6．設(shè)函數(shù)f(x)＝x－lnx，則函數(shù)y＝f(x)（）A.在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均有零點B.在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均無零點C.在區(qū)間內(nèi)有零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點D.區(qū)間內(nèi)無零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點7．已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（）A. B.C. D.8．設(shè)是周期為的奇函數(shù)，當時，，則A. B.C. D.9．若方程則其解得個數(shù)為（）A.3 B.4C.6 D.510．已知x，y是實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為6的等邊三角形．若AB=4，則四面體ABCD外接球的表面積為________12．將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得的圖象向左平移個單位，得到的圖象對應(yīng)的解析式是__________13．函數(shù)滿足，且在區(qū)間上，則的值為____14．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點、分別在軸非負半軸和軸的非負半軸上滑動，頂點在第一象限內(nèi)，，，設(shè).若，則點的坐標為______；若，則的取值范圍為______.15．已知函數(shù)f（x）＝|sinx|﹣cosx，給出以下四個命題：①f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；②f（x）在[﹣π，0]上是減函數(shù)；③f（x）是周期函數(shù)；④f（x）在[﹣π，π]上恰有三個零點其中真命題的序號是_____．（請寫出所有真命題的序號）16．已知指數(shù)函數(shù)的解析式為，則函數(shù)的零點為_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，且側(cè)面平面，點是的中點（1）求證:（2）若，求證:平面平面18．為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時間（單位：小時），高一年級某班班主任對本班40名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時間進行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：（1）求出圖中a的值；（2）求該班學(xué)生這個周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù)；（3）如果用該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間作為樣本去推斷該校高一年級全體學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間，這樣推斷是否合理？說明理由19．已知函數(shù).（1）當時，解關(guān)于的不等式；（2）請判斷函數(shù)是否可能有兩個零點，并說明理由；（3）設(shè)，若對任意的，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求實數(shù)的取值范圍.20．如圖，在△ABC中，A（5，–2），B（7，4），且AC邊的中點M在y軸上，BC的中點N在x軸上（1）求點C的坐標；（2）求△ABC的面積21．已知函數(shù)（1）判斷并說明函數(shù)的奇偶性；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】利用正弦型函數(shù)周期公式直接計算作答.【詳解】函數(shù)的最小正周期.故選：C2、A【解析】根據(jù)分段函數(shù)是上的增函數(shù)，則每一段都為增函數(shù)，且右側(cè)的函數(shù)值不小于左側(cè)的函數(shù)值求解.【詳解】函數(shù)是上增函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是故選：A.3、B【解析】的最小正周期為，故A錯；的最小正周期為，當時，，所以在上為減函數(shù)，故B對；的最小正周期為，當時，，所以在上為增函數(shù)，故C錯；的最小正周期為，，所以在不單調(diào).綜上，選B.4、C【解析】根據(jù)分母部位0，被開方數(shù)大于等于0構(gòu)造不等式組，即可解出結(jié)果【詳解】利用定義域的定義可得，解得，即，故選C【點睛】本題考查定義域的求解，需掌握：分式分母不為0，②偶次根式被開方數(shù)大于等于0，③對數(shù)的真數(shù)大于0.5、C【解析】由奇偶性定義判斷的奇偶性，結(jié)合對數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷趨向于0時的變化趨勢，應(yīng)用排除法即可得正確答案.【詳解】由且定義域，所以為偶函數(shù)，排除B、D.又在趨向于0時趨向負無窮，在趨向于0時趨向1，所以在趨向于0時函數(shù)值趨向負無窮，排除A.故選：C6、D【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，再由零點存在定理得零點所在區(qū)間【詳解】當x∈時，函數(shù)圖象連續(xù)不斷，且f′(x)＝－＝<0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減又＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函數(shù)f(x)有唯一的零點在區(qū)間(1，e)內(nèi)故選：D7、A【解析】待定系數(shù)求得冪函數(shù)解析式，再求對數(shù)運算的結(jié)果即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，由題意得，，∴故選：A【點睛】本題考查冪函數(shù)解析式的求解，涉及對數(shù)運算，屬綜合簡單題.8、A【解析】根據(jù)f（x）是奇函數(shù)可得f（﹣）=﹣f（），再根據(jù)f（x）是周期函數(shù)，周期為2，可得f（）=f（﹣4）=f（），再代入0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），進行求解.【詳解】∵設(shè)f（x）是周期為2的奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵f（﹣）=﹣f（），∵T=2，∴f（）=f（﹣4）=f（），∵當0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），∴f（）=2×（1﹣）=，∴f（﹣）=﹣f（）=﹣f（）=﹣，故選A【點睛】此題主要考查周期函數(shù)和奇函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，注意所求值需要利用周期進行調(diào)節(jié)，此題是一道基礎(chǔ)題.9、C【解析】分別畫出和的圖像，即可得出.【詳解】方程，即，令，，易知它們都是偶函數(shù)，分別畫出它們的圖像，由圖可知它們有個交點.故選：.【點睛】本題主要考查的是函數(shù)零點，利用數(shù)型結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，同時考查偶函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題.10、C【解析】由充要條件的定義求解即可【詳解】因為，若，則，若，則，即，所以，即“”是“”的充要條件，故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由題設(shè)知，四面體ABCD的外接球也是與其同底等高的三棱柱的外接球，球心為上下底面中心連線EF的中點,所以，所以球的半徑所以，外接球的表面積，所以答案應(yīng)填：考點：1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征；2、空間幾何體的表面積12、【解析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，先放縮變換，再平移變換，從而可得答案【詳解】將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），可得函數(shù)的圖象；再將的圖象向左平移個單位，得到的圖象對應(yīng)的解析式是的圖象，故答案為：13、【解析】分析：先根據(jù)函數(shù)周期將自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，代入對應(yīng)函數(shù)解析式求值，再代入對應(yīng)函數(shù)解析式求結(jié)果.詳解：由得函數(shù)的周期為4，所以因此點睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.14、①.②.【解析】分別過點作、軸的垂線，垂足點分別為、，過點分別作、軸的垂線，垂足點分別為、，設(shè)點、，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得出點、的坐標，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標運算和二倍角的正弦公式可求出的取值范圍.【詳解】分別過點作、軸的垂線，垂足點分別為、，過點分別作、軸的垂線，垂足點分別為、，如下圖所示：則，設(shè)點、，則，，，.當時，，，則點；由上可知，，，則，因此，的取值范圍是.故答案為：；.【點睛】本題考查點的坐標的計算，同時也考查了平面向量數(shù)量積的取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是將點的坐標利用三角函數(shù)表示，考查運算求解能力，屬于中等題.15、①③【解析】求函數(shù)的奇偶性即可判斷①；結(jié)合取值范圍，可去絕對值號，結(jié)合輔助角公式求出函數(shù)的解析式，從而可求單調(diào)性即可判斷②；由f（x+2π）＝f（x）可判斷③；求[﹣π，0]上的解析式，從而可求出該區(qū)間上的零點，結(jié)合函數(shù)的奇偶性即可判斷[﹣π，π]上零點個數(shù).【詳解】解：對于①，函數(shù)f（x）＝sinx﹣cosx的定義域為R，且滿足f（﹣x）＝f（x），所以f（x）是定義域在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，①為真命題；對于②，當x∈[﹣π，0]時，sinx≤0，fx對于y=2sinx+π4，x+對于③，因為f（x+2π）＝|sin（x+2π）|﹣cos（x+2π）＝|sinx|﹣cosx＝f（x），函數(shù)f（x）是周期為2π的周期函數(shù)，③為真命題；對于④，當x∈[﹣π，0]時，sinx≤0，fx=-sinx+cosx=-2sinx+π4，且x+π4∈-故答案為:①③.【點睛】關(guān)鍵點睛：在判斷命題②④時，關(guān)鍵是結(jié)合自變量的取值范圍去掉絕對值號，結(jié)合輔助角公式求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)進行判斷.16、1【解析】解方程可得【詳解】由得，故答案為：1三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解析】分析：（1）可根據(jù)為等腰三角形得到，再根據(jù)平面平面可以得到平面，故.（2）因及是中點，從而有，再根據(jù)平面得到，從而平面，故平面平面.詳解：（1）證明:因為，點是棱的中點，所以，平面.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以.（2）證明:因為，點是的中點，所以.由（1）可得，又因為，所以平面，又因為平面，所以平面平面點睛：線線垂直的證明，可歸結(jié)為線面垂直，也可以轉(zhuǎn)化到平面中的某兩條直線的垂直問題，而面面垂直的證明，可轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，也轉(zhuǎn)化為證明二面角為直二面角.18、（1）（2）9（3）不合理，理由見解析【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中，小矩形面積和為求解即可；（2）首先求學(xué)習(xí)時間不少于20小時的頻率，再根據(jù)樣本容量乘以頻率=人數(shù)，計算結(jié)果；（3）結(jié)合樣本來自同一個班級，故不具有代表性.【小問1詳解】解：因為頻率分布直方圖中，小矩形面積和為，所以，解得.【小問2詳解】解：由圖可知，該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的頻率為則40名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù)為【小問3詳解】解：不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性19、（1）（2）不可能，理由見解析（3）【解析】（1）結(jié)合對數(shù)函數(shù)的定義域，解對數(shù)不等式求得不等式的解集.（2）由，求得，，但推出矛盾，由此判斷沒有兩個零點.（3）根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1列不等式，結(jié)合分離常數(shù)法來求得的取值范圍.【小問1詳解】當時，不等式可化為，有，有解得，故不等式，的解集為.【小問2詳解】令，有，有，，，，則，若函數(shù)有兩個零點，記，必有，，且有，此不等式組無解，故函數(shù)不可能有兩個零點.【小問3詳解】當，，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，有，有，有有，整理為，由對任意的恒成立，必有解得，又由，可得，由上知實數(shù)的取值范圍為.20、（1）（–5，–4）（2）【解析】（1）設(shè)點，根據(jù)題意寫出關(guān)于的方程組，得到點坐標；（2）由兩點間距離公式求出，再由兩點得到直線的方程，利用點到直線的距離公式，求出點到的距離，由三角形面積公式得到答案.【詳解】（1）由題意，設(shè)點，根據(jù)AC邊的中點M在y軸上，BC的中點N在x軸上，根據(jù)中點公式，可得，解得，所以點的坐標是（2）因為，得，所以直線的方程為，即，故點到直線的距