廣東省汕尾陸豐市林啟恩紀(jì)念中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

廣東省汕尾陸豐市林啟恩紀(jì)念中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，已知，，則等于（）A. B.C. D.2．下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，如果輸入a=102，b=238，則輸出的a的值為（）A.17 B.34C.36 D.683．在數(shù)列中，，，則（）A.985 B.1035C.2020 D.20704．將一枚骰子連續(xù)拋兩次，得到正面朝上的點數(shù)分別為、，記事件A為“為偶數(shù)”，事件B為“”，則的值為（）A. B.C. D.5．已知等差數(shù)列前項和為，若，則的公差為（）A.4 B.3C.2 D.16．用斜二測畫法畫出邊長為2的正方形的直觀圖，則直觀圖的面積為（）A. B.C.4 D.7．已知，滿足，則的最小值為（）A.5 B.-3C.-5 D.-98．已知平面內(nèi)有一點，平面的一個法向量為，則下列四個點中在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.9．已知圓：和點，是圓上一點，線段的垂直平分線交于點，則點的軌跡方程是:（）A. B.C. D.10．若雙曲線一條漸近線被圓所截得的弦長為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.11．等差數(shù)列中，若，則（）A.42 B.45C.48 D.5112．在等比數(shù)列{}中，，，則=（）A.9 B.12C.±9 D.±12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，拋物線上的點與軸上的點構(gòu)成等邊三角形，，，其中點在拋物線上，點的坐標(biāo)為，，猜測數(shù)列的通項公式為________14．若圓的一條直徑的端點是、，則此圓的方程是_______15．某校有高一學(xué)生人，高二學(xué)生人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校高一高二學(xué)生中抽取一個容量為的樣本，已知從高一學(xué)生中抽取人，則________16．拋物線焦點坐標(biāo)是，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱錐中，兩兩垂直，，且分別為線段的中點.（1）若點是線段的中點，求證：直線平面；（2）求證：平面平面.18．（12分）已知圓C：，直線l：.（1）當(dāng)a為何值時，直線l與圓C相切；（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|=時，求直線l的方程.19．（12分）已知為坐標(biāo)原點，橢圓的左右焦點分別為，，為橢圓的上頂點，以為圓心且過的圓與直線相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線交橢圓于兩點.（ⅰ）若直線的斜率等于，求面積的最大值；（ⅱ）若，點在上，.證明：存在定點，使得為定值.20．（12分）設(shè)點是拋物線上異于原點O的一點，過點P作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點（P、A、B三點互不相同）（1）已知點，求的最小值；（2）若，直線AB的斜率是，求的值；（3）若，當(dāng)時，B點的縱坐標(biāo)的取值范圍21．（12分）已知函數(shù)，若函數(shù)處取得極值（1）求，的值；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值22．（10分）設(shè)A，B為曲線C：y＝上兩點，A與B的橫坐標(biāo)之和為4（1）求直線AB的斜率；（2）設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】依題意有，解得，所以.考點：等差數(shù)列的基本概念.【易錯點晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算2、B【解析】根據(jù)程序框圖所示代入運(yùn)行即可.【詳解】初始輸入：；第一次運(yùn)算：；第二次運(yùn)算：；第三次運(yùn)算：；第四次運(yùn)算：；結(jié)束，輸出34.故選：B.3、A【解析】根據(jù)累加法得，，進(jìn)而得.【詳解】解：因為所以，當(dāng)時，，，……，，所以，將以上式子相加得，所以，，.當(dāng)時，，滿足；所以，.所以.故選：A4、B【解析】利用條件概率的公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意可知，若事件為“為偶數(shù)”發(fā)生，則、兩個數(shù)均為奇數(shù)或均為偶數(shù)，其中基本事件數(shù)為，，，，，，，，，，，，，，，，，，一共個基本事件，∴,而A、同時發(fā)生，基本事件有當(dāng)一共有9個基本事件，∴，則在事件A發(fā)生的情況下，發(fā)生的概率為,故選:5、A【解析】由已知，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式、通項公式列方程組求公差即可.詳解】由題設(shè)，，解得.故選：A6、A【解析】畫出直觀圖，求出底和高，進(jìn)而求出面積.【詳解】如圖，，，，過點C作CD⊥x軸于點D，則,所以直觀圖是底為2、高為的平行四邊形，所以面積為.故選：A.7、D【解析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解【詳解】解：作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，在中，，當(dāng)直線向下平移時，增大，因此把直線向上平移，當(dāng)直線過點時，故選：D8、A【解析】設(shè)所求點的坐標(biāo)為，由，逐一驗證選項即可【詳解】設(shè)所求點的坐標(biāo)為，則，因為平面的一個法向量為，所以，，對于選項A，，對于選項B，，對于選項C，，對于選項D，故選：A9、B【解析】先由在線段的垂直平分線上得出，再由題意得出，進(jìn)而由橢圓定義可求出點的軌跡方程.【詳解】如圖，因為在線段的垂直平分線上，所以，又點在圓上，所以，因此，點在以、為焦點的橢圓上.其中，，則.從而點的軌跡方程是.故選：B.10、A【解析】根據(jù)（為弦長，為圓半徑，為圓心到直線的距離），求解出的關(guān)系式，結(jié)合求解出離心率的值.【詳解】取的一條漸近線，因為（為弦長，為圓半徑，為圓心到直線的距離），其中，所以，所以，所以，所以，所以，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是利用幾何法表示出圓的半徑、圓心到直線的距離、半弦長之間的關(guān)系.11、C【解析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意是等差數(shù)列，，.故選：C12、D【解析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再求出【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，，則，變形可得，則，故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出，，，，，，可猜測，利用累加法，即可求解【詳解】的方程為，代入拋物線可得，同理可得，，，，可猜測，證明：記三角形的邊長為，由題意可知，當(dāng)時，在拋物線上，可得，當(dāng)時，，兩式相減得：化簡得：，則數(shù)列是等差數(shù)列，，，，，故答案為：14、【解析】先設(shè)圓上任意一點的坐標(biāo)，然后利用直徑對應(yīng)的圓周角為直角，再利用向量垂直建立方程即可【詳解】設(shè)圓上任意一點的坐標(biāo)為可得：，則有：，即解得：故答案為：15、【解析】根據(jù)分層抽樣的等比例性質(zhì)列方程，即可樣本容量n.【詳解】由分層抽樣的性質(zhì)知：，可得.故答案為：16、2【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)直接求解可得.【詳解】的焦點坐標(biāo)為，即.故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）由題意可得，從而可證.(2)由題意可得平面，從而可得，由根據(jù)條件可得，從而可得平面，從而可得證.【小問1詳解】由分別為線段的中點.由中位線定理知，又平面，且平面，所以直線平面【小問2詳解】兩兩垂直，即,且所以平面，又平面，所以由，且分別為線段的中點，所以，因此根據(jù)線面垂直判定定理得平面，且平面所以平面平面.18、（1）；（2）或.【解析】（1）由題設(shè)可得圓心為，半徑，根據(jù)直線與圓的相切關(guān)系，結(jié)合點線距離公式列方程求參數(shù)a的值即可.（2）根據(jù)圓中弦長、半徑與弦心距的幾何關(guān)系列方程求參數(shù)a，即可得直線方程.【小問1詳解】由圓：，可得，其圓心為，半徑，若直線與圓相切，則圓心到直線距離，即，可得：.【小問2詳解】由（1）知：圓心到直線的距離，因為，即，解得：，所以，整理得：，解得：或，則直線為或.19、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.【解析】（1）求出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）（?。┰O(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理、弦長公式可求面積表達(dá)式，利用基本不等式可求面積的最大值.（ⅱ）利用韋達(dá)定理化簡可得，從而可得的軌跡為圓，故可證存在定點，使得為定值.【詳解】（1）由題意知：，，又，則以為圓心且過的圓的半徑為，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）（?。┰O(shè)直線的方程為：，將代入得：，所以且，故.又，點到直線的距離，所以，等號當(dāng)僅當(dāng)時取，即當(dāng)時，的面積取最大值為.（ⅱ）顯然直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為：，，由（?。┲核?，所以，解得，，直線過定點或，所以D在以O(shè)Z為直徑的圓上，該圓的圓心為或，半徑等于，所以存在定點或，使得為定值.【點睛】方法點睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個的交點橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點、定值、最值問題.20、（1）；（2）3；（3）；【解析】（1）根據(jù)兩點之間的距離公式，結(jié)合點坐標(biāo)滿足拋物線，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求其最值即可；（2）根據(jù)題意，求得點的坐標(biāo)，設(shè)出的直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得點坐標(biāo)，同理求得點坐標(biāo)，再利用斜率計算公式求得即可；（3）根據(jù)題意，求得點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，求得關(guān)于的一元二次方程，利用其有兩個不相等的實數(shù)根，即可求得的取值范圍.【小問1詳解】因為點在拋物線上，故可得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值.故的最小值為.【小問2詳解】當(dāng)時，故可得，即點的坐標(biāo)為；則的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，可得：，故可得，解得：，又故可得同理可得：，又的斜率，即.故為定值.【小問3詳解】當(dāng)時，可得，此時，因為兩點在拋物線上，故可得，，因為，故可得，整理得：，，因為三點不同，故可得，則，即，，此方程可以理解為關(guān)于的一元二次方程，因為，故該方程有兩個不相等的實數(shù)根，，即，故，則，解得或.故點縱坐標(biāo)的取值范圍為.【點睛】本題考察直線與拋物線相交時范圍問題，定值問題，解決問題的關(guān)鍵是合理且充分的利用韋達(dá)定理，本題計算量較大，屬綜合困難題.21、（1）；（2）最大值為，最小值為【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由即可解得；（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可以求出函數(shù)的最值.【詳解】解：（1）由題意，可得，得.（2），令，得或（舍去）當(dāng)變化時，與變化如下遞增遞減所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為.22、（1）1；（2）y＝x＋7【解析】（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；（2）由（1）中直線AB的斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得M點坐標(biāo)，設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，與拋物線聯(lián)立，求得根，結(jié)合弦長公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，從而求得參數(shù)m.【詳解】解：（