2025屆黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)第三中學(xué)校高一上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2025屆黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)第三中學(xué)校高一上數(shù)學(xué)期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)的圖像大致是A. B.C. D.2．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.3．已知向量，且，則A. B.C.2 D.-24．化簡A. B.C.1 D.5．在中，滿足，則這個三角形是（）A.正三角形 B.等腰三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形6．在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為A. B.C. D.7．設(shè)全集，集合，，則=（）A. B.{2，5}C.{2，4} D.{4，6}8．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是A. B.C. D.9．設(shè)a，bR，，則（）A. B.C. D.10．函數(shù)f（x）=lnx﹣1的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A（1，2） B.（2，3）C.（3，4） D.（4，5）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．過兩直線2x+y-8=0和x-2y+1=0的交點(diǎn),且平行于直線4x-3y-7=0的直線方程為_______________.12．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為______13．若命題p是命題“”的充分不必要條件，則p可以是___________.（寫出滿足題意的一個即可）14．已知函數(shù)，若存在，使得f（）＝g（），則實數(shù)a的取值范圍為___15．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則_______________.16．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，已知平面平面，平面平面，，求證:平面.18．已知集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范圍.19．某港口水深y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：t(小時)03691215182124y(米)10.013.09.97.010013.010.17.010.0據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，該曲線可近似的看成函數(shù)的圖象（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求的解析式；（2）一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底與水面的距離)為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進(jìn)港？20．已知函數(shù)，（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，再把所得到的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域21．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I，對于區(qū)間，若，x2∈D（x1＜x2）滿足f（x1）＋f（x2）＝1，則稱區(qū)間D為函數(shù)f（x）的V區(qū)間（1）證明：區(qū)間（0，2）是函數(shù)的V區(qū)間；（2）若區(qū)間[0，a]（a＞0）是函數(shù)的V區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；（3）已知函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞）上的圖象連續(xù)不斷，且在[0，＋∞）上僅有2個零點(diǎn)，證明：區(qū)間[π，＋∞）不是函數(shù)f（x）的V區(qū)間

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】依題意，，函數(shù)為減函數(shù)，且由向右平移了一個單位，故選.點(diǎn)睛：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查圖像的平移變換.對于對數(shù)函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，圖像過，當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)，圖像過.函數(shù)與函數(shù)的圖像可以通過平移得到，口訣是“左加右減”.在平移過程中要注意原來圖像的邊界.2、D【解析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)是實數(shù)集上的減函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時，二次函數(shù)的對稱軸為：，由題意有解得故選：D3、A【解析】由于兩個向量垂直，故有.故選：A4、D【解析】先考慮分母化簡，利用降次公式，正切的兩角和與差公式打開，整理，可得答案【詳解】化簡分母得.故原式等于.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差公式以及倍角公式．屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】由可知與符號相同,且均為正,則,即,即可判斷選項【詳解】由題,因為,所以與符號相同,由于在中,與不可能均為負(fù),所以,,又因為,所以,即,所以,所以三角形是銳角三角形故選：C【點(diǎn)睛】本題考查判斷三角形的形狀,考查三角函數(shù)值的符號6、C【解析】設(shè)AC=x，則BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面積S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由幾何概率的求解公式可得，矩形面積大于20cm2的概率考點(diǎn)：幾何概型7、D【解析】由補(bǔ)集、交集的定義，運(yùn)算即可得解.【詳解】因為，，所以，又，所以.故選：D.8、C【解析】由函數(shù)單調(diào)性的定義，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，可以得到函數(shù)在每一個子區(qū)間上都是單調(diào)遞減的，且當(dāng)時，，求解即可【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性．嚴(yán)格根據(jù)定義解答，本題保證隨的增大而減小，故解答本題的關(guān)鍵是的最小值大于等于的最大值9、D【解析】利用不等式的基本性質(zhì)及作差法，對結(jié)論逐一分析，選出正確結(jié)論即可.【詳解】因為，則，所以，即，故A錯誤；因為，所以，則，所以，即，∴，，即，故B錯誤；∵由，因，所以，又因為，所以，即，故C錯誤；由可得，，故D正確.故選：D.10、B【解析】∵，在遞增，而，∴函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是，故選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】聯(lián)立兩直線方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，求出平行于直線4x-3y-7=0的直線的斜率，由點(diǎn)斜式的直線方程，并化為一般式【詳解】聯(lián)立，解得∴兩條直線2x+y-8=0和x-2y+1=0的交點(diǎn)為（3，2），∵直線4x-3y-7=0的斜率為，∴過兩條直線2x+y-8=0和x-2y+1=0的交點(diǎn)，且平行于直線4x-3y-7=0的直線的方程為y-2=（x-3）即為4x-3y-6=0故答案為4x-3y-6=0【點(diǎn)睛】本題考查了直線的一般式方程與直線平行的關(guān)系，訓(xùn)練了二元一次方程組的解法，是基礎(chǔ)題12、10【解析】將原函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程或的根，再作出函數(shù)y=f(x)的圖象，借助圖象即可判斷作答.【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)即方程的根，亦即或的根，畫出函數(shù)y=f(x)的圖象和直線，如圖所示，觀察圖象得：函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸，直線各有5個交點(diǎn)，則方程有5個根，方程也有5個根，所以函數(shù)的零點(diǎn)有10個.故答案為：1013、，（答案不唯一）【解析】由充分條件和必要條件的定義求解即可【詳解】因為當(dāng)時，一定成立，而當(dāng)時，可能，可能，所以是的充分不必要條件，故答案為：（答案不唯一）14、【解析】先求出的值域，再求出的值域，利用和得到不等式組求解即可.【詳解】因為，所以，故，即因為，依題意得，解得故答案為：.15、【解析】首先確定函數(shù)的解析式，然后求解的值即可.【詳解】由題意可得：，當(dāng)時，，令可得：，據(jù)此有：.故答案為：.【點(diǎn)睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.16、【解析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)，結(jié)合即可求函數(shù)值.【詳解】由題意知：角在第一象限，且終邊過，∴.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】平面內(nèi)取一點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，可證出平面，從而，同理可證，故平面.【詳解】證明：如圖所示，在平面內(nèi)取一點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)．因為平面平面，且交線為，所以平面．因為平面，所以同理可證．又，都在平面內(nèi)，且，所以平面【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩個平面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)，判定，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】（1）先由得，再由并集的概念，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)，分別討論，兩種情況，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）若，則，又，所以；（2）因為，若，則，即；若，只需，解得，綜上，取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查求集合的并集，考查由集合的包含關(guān)系求參數(shù)，屬于常考題型.19、（1）；（2）至或至.【解析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，可得，由，可求，從而可求函數(shù)的表達(dá)式；（2）由題意，水深，即，從而可求t的范圍，即可得解；【詳解】解：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，可得，，，，，函數(shù)的表達(dá)式為；（2）由題意，水深，即，，，，，1，，或，；所以，該船在至或至能安全進(jìn)港20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性即可得出答案；（2）根據(jù)周期變換和平移變換求出函數(shù)，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【小問1詳解】解：由函數(shù)，則函數(shù)f（x）的最小正周期，令，解得，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問2詳解】解：函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到，再把所得到的圖象向左平移個單位長度，得到，當(dāng)時，，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.21、（1）證明詳見解析；（2）a＞1；（3）證明詳見解析.【解析】（1）取特殊點(diǎn)可以驗證；（2）利用的單調(diào)遞減可以求實數(shù)a的取值范圍；（3）先證f（x）在上存在零點(diǎn)，然后函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞）上僅有2個零點(diǎn)，f（x）在[π，＋∞）上不存在零點(diǎn)，利用定義說明區(qū)間[π，＋∞）不是函數(shù)f（x）的V區(qū)間.詳解】（1）設(shè)x1，x2∈（0，2）（x1＜x2）若f（x1）＋f（x2）＝1，則所以lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝0，x1x2＝1，取，，滿足定義所以區(qū)間（0，2）是函數(shù)的V區(qū)間（2）因為區(qū)間[0，a]是函數(shù)的V區(qū)間，所以，x2∈[0，a]（x1＜x2）使得因為在[0，a]上單調(diào)遞減所以，，所以，a-1＞0，a＞1故所求實數(shù)a的取值范圍為a＞1（3）因為，，所以f（x）在上存在零點(diǎn)，又因