初升高數(shù)學(xué)銜接教材(1-2卷)

初升高數(shù)學(xué)銜接教材

第1課集合的概念

一、集合與元數(shù)

1、集合的概念

⑴集合：某些指定對(duì)象集在一起就形成一個(gè)集合(簡稱集)

⑵元素：集合中每一個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素；

(3)集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A,B,C,P,Q……

元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a,b,c,p,q……

2、集合中的元素有四個(gè)特性：、、、

3、集合與元素的關(guān)系

屬于：如果a是A的元素，就說a集合A,記作；

不屬于：如果a是A的元素，就說a集合A,記作；

4、集合的表示法：

①列舉法：把集合的元素,并用表示集合的方法。

②描述法：用集合所含元素的表示集合的方法，具體表示是:，

③venn圖：用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合。

5、幾個(gè)常用數(shù)集及其記號(hào)

名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)

6、區(qū)間的概念

設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b,我們規(guī)定:

(1)滿足不等式aWxWZ?的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a,句；

(2)滿足不等式(人的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,8)；

(3)滿足不等式aWx<?；虻膶?shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為

[a,h),(a,b]

(4)滿足x2a的所有實(shí)數(shù)表示為[a,+8),滿足x>a的所有實(shí)數(shù)表示為(a,+oo)

滿足xWa的所有實(shí)數(shù)表示為(-8,可，滿足x<a的所有實(shí)數(shù)表示為(—8,a)

(5)全體實(shí)數(shù)表示為(-0,+8),“8”讀作“無窮大”，一00讀作“負(fù)無窮大”，+8讀

作“正無窮大”。

7、集合的分類

(1)有限集：含有有限個(gè)元素的集合;

(2)無限集：含有無限個(gè)元素的集合;

1

（3）空集：不含任何元素的集合，記作。，如：｛xe/?|x2+l-O）

1.1.1如何用數(shù)學(xué)語言刻劃一個(gè)集合

【例1】在一堂課中，老師分別請(qǐng)下列學(xué)生舉起右手：

（1）高個(gè)子的學(xué)生；（2）中國人；（3）小學(xué)生；（4）來自楊家坪中學(xué)的學(xué)生。

【例2】下列對(duì)象中一定能構(gòu)成集合的是（）

（1）2018年央視春節(jié)晚會(huì)上的所有好看的節(jié)目；

⑵我國1991--2015年發(fā)射的所有人造衛(wèi)星；

⑶2015年夏季世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)中的高個(gè)子女運(yùn)動(dòng)員；

（4）高一⑵班學(xué)生的姓名；

⑸一群向南飛的大雁；

⑹函數(shù)丁=r+1圖象上的點(diǎn)；

⑺最接近萬的有理數(shù)；

⑻滿足方程V+1=0的實(shí)數(shù)解；

（9）（9）110的所有的偶數(shù)。故選⑵,（5）,⑹，⑻,（9）

變式：

1.下列對(duì)象不能構(gòu)成一個(gè)集合的是（）

A,聯(lián)合國常任理事國，B,方程—-9=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；

C,g近似值的全體，D,中國的直轄市。

2.若集合用=｛。也耳中的元素是416。的三邊長，則AA6c一定不是（）

A,銳角三角形B,直角三角形C,鈍角三角形D,等腰三角形

3.下列對(duì)象不能構(gòu)成一個(gè)集合的是

⑴初中數(shù)學(xué)中的所有難題；（2）我們班級(jí)14歲以下的學(xué)生；

⑶鐵路中學(xué)的大個(gè)子；（4）育才中學(xué)身高超過1.70米的學(xué)生；

（5）04,2,3,1,5

1.1.2數(shù)的發(fā)展

【例1】下列說法正確的是（）

（1）0既是正數(shù)也是負(fù)數(shù)；（2）0是自然數(shù)，也是最小的自然數(shù)；

（3）-1是負(fù)數(shù)，整數(shù)，也是奇數(shù)；（4）2是最小的質(zhì)數(shù)，也是質(zhì)數(shù)中唯一一個(gè)偶數(shù)；

（4）百是無理數(shù)，內(nèi)也是無理數(shù)；（6）3.14是無理數(shù)，因?yàn)槿f=3.14。

變式：

1.下列說法正確的是（）

⑴正整數(shù)的平方還是正整數(shù)；（2）自然數(shù)的相反數(shù)是負(fù)整數(shù)；

⑶若n表示整數(shù)，則2n-l和2n+l是奇數(shù)；⑷當(dāng)x是任意實(shí)數(shù)時(shí)，兇和V都是正數(shù);

⑸有理數(shù)的相反數(shù)是無理數(shù)。

2

2.觀察下列各算式，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出22°"的末位數(shù)字是()

2'=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,29=512……,

A,2B,4C,6D,8

1.1.3集合的表示方法

例1用列舉法表示下列集合

(1)A={xex?-3x+2=0}⑵8={xwZ|J-3x-4<O}

(2)C=(4)D={(x,y)|x+y=5,xeN*,yeN}

例2.用描述法表示下列集合

⑴不等式Y(jié)+x—6<0的解集;(2)函數(shù)y=x2+x的圖象上所有點(diǎn)的集合；

⑶方程J?+(m+2)x+m+l=0(meZ)的解集。

例3.己知集合A={xeR|ar2-3x+2=0,aeR}

⑴若A是空集，求a的取值范圍；

⑵若A中只有一個(gè)元素，求a的值，并把這個(gè)元素寫出來;

⑶若A中至多只有一個(gè)元素，求a的取值范圍。

1.1.4元素與集合的關(guān)系

【例1】下列表示中正確的是()

22

(1)OeN,(2)—^Q,⑶0=。，⑷{0}=。,⑸。e{0},⑹ae{A6,C。}，⑺。e{。},

變式：

L用符號(hào)e或史填空

(1)集合A={1,2,3,4,5},6={6,7,8},則5_A,5___B,6A,6B：

(2)6N*,IQ,1Z,0N,nQ,(-2)°N*,2G___Q,

2>/3R

(3)已知集合A是由滿足y=d+l且xeN的實(shí)數(shù)y組成，集合B是由拋物y=Y+2x+2

7

上的點(diǎn)組成，則一____A,10—A,點(diǎn)(1,2)_____A,2____B,點(diǎn)(0,0)____B,點(diǎn)(-1,1)______B：

2-

【例2】設(shè)集合A={2,4,6},若aeA,且6—aeA,那么實(shí)數(shù)a的值是。

變式：1.設(shè)集合加={》6/7|8—xeN},則M中元素的個(gè)數(shù)是()

3

A,10B,9C,80,7

2.設(shè)集合A滿足：若a",則一LeA,若2GA,則集合A=___________________

{-a

【課后練習(xí)】

1.已知集合4={尤I—§—eN（xwZ）},試求集合A。

6

2.已知集合A---------GTV(XGZ)試求集合Ao

3-x

3.已知集合A={x|備wZ（xeN*）],試求集合A。

4.已知實(shí)數(shù)a4],集合M={川/+3%+。=0},求集合M中所有元素的和。

5.若集合A={xeR|加+方+1=。}中只有一個(gè)元素，則a。

6.設(shè)集合A={1,2,3},3={4,5},M={x\x=a+b,a&A,beB},則M中的元素個(gè)數(shù)

為（）

A,3B,4C,5D,6

7.若集合4={幻0?+（。一1）%+1=0},若人中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)。的范圍。

8.已知集合A={a+2,(a+l)-，片+3a+3},若leA,貝!!a=

第2課：集合與集合的包含關(guān)系

一、子集的相關(guān)概念

名稱文字語言符號(hào)語言圖示

子集對(duì)于兩個(gè)集合A,B,

如果集合A中的元素

都是集合B中的元

素。

相等若集合A是集合B的

______,且集合B是

集合A的______,就

說A與B_______。

真子集如果但存在

元素______,且

_____，稱集合A是B

的___________。

注意:

4

(1)任何一個(gè)集合是它本身的,即;

⑵空集是任何集合的，是任何非空集合的。

⑶對(duì)于集合A,B,C,如果A=B,且5=C,那么。

1.1.5集合與集合的包含關(guān)系

【例1】已知集合4={1,2,3},3={2,3},則下列選項(xiàng)中正確的是(D)

A,A=BB,AB=eC,A^BA

變式：

1.已知集合4={幻％<1},若BqA,則集合B可以是()

A,1x|x<2}B,{x|x>l}C,{x|x<0}D,R

2.己知集合4={。,/},8={1},若BqA,求實(shí)數(shù)a；

3.已知集合A={x[(x-2)(x-a)=0,xwH},6={2,-3},若A^iS,求實(shí)數(shù)a；

4.已知集合A={x|2<x<4},6={x[a<x<3a+1},A=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

5.已知集合A={x|-2<x<9},B={x[a<x<a+l},A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

【例2】判斷下列集合間的關(guān)系，并用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示

(1)A={平行四邊形},B={矩形}

(2)A={x|x=2〃,〃eN},B={X|X是偶數(shù)}

(3)A={x|x<O},B={x|x<l}；

(4)A={(x,y)|y=2x,xe7?},6={(x,y)|—20}

【例3】寫出{a,"c}所有子集，并指出哪些是真子集。

反思：若集合A中有n個(gè)元素，則集合A有個(gè)子集，個(gè)真子集，

個(gè)非空子集，個(gè)非空真子集。

【例4】⑴已知集合4={1,3,耳，8={1,。2-。+1},且8=4,求a的值。

⑵已知集合A={X|X2+X-6=0},8={X|6+1=0},若求實(shí)數(shù)a的取值。

變式：設(shè)A={x|f+4x=o},8={x|x?+2（。+l）x+a2-1=o},

5

⑴若A=8,求求a的值。

(2)若BqA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

3x+2<4x-l

【例5】⑴設(shè)集合2=甘卜，,Q={x|x—3<5—a},且P[Q,求實(shí)數(shù)a

2x-6<x+l

的取值范圍。

(2)已知集合A={x|l(分<2},3={刈乂<1},求滿足AqB的實(shí)數(shù)a的范圍。

變式：⑴已知兩集合A={x|x<3},8={x|x<a},若則實(shí)數(shù)a的取值范圍

__________________0

⑵已知A={九|N<1},8={x|(X-Q-1)(九一Q—4)vO},AqB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

⑶已知A={x[—2<x<5},3={x|a+l<x<2a_l},若BqA,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

___________________O

【課后練習(xí)】

1、集合4={幻04》<3/€2}的真子集個(gè)數(shù)是。

2、已知{1,2}="=1,2,3,4},寫出滿足條件的集合M。

3、在下列各式中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()

①1e{0,1,2}②{1}e{0,1,2}③{0,1,2}=0,1,2}④{0,1,2}={2,0,1}

A,1B,2C,3D,4

4、下列說法：①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個(gè)子集；③空集是任何集合的子集;

④若。±A,則AW。，其中正確的是。

5、設(shè)集合A={x|lWxW2},3={x|xNa},若A=則實(shí)數(shù)a的取值范圍。

6、己知集合A={x|—1<XW5},3={X|〃?一5cXW2//7+3},且A=則實(shí)數(shù)m的取

值范圍。

6

7、集合A={x|x=—丁+6,xeN,yeN}的真子集個(gè)數(shù)為。

8、已知集合4={劃》2一2x—3<0},8={x|x<a},若A<z3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

______O

3r3~\}\

9、已知集合A=<y|y=%2—,2>,B=^X\X+]TT>11,若則實(shí)

數(shù)m的取值范圍o

第3課：集合的基本運(yùn)算

1、交集、并集、補(bǔ)集的概念

概念文字語言符號(hào)語言圖形語言

交集由所有A,B的公共A8={x[}

元素組成的集合

并集由所有A,B的元素AB={x|}

組成的集合

補(bǔ)集設(shè)u為全集，集合

CA={x|}

A^U,由U中所有（/

______________的元

素組成的集合，叫做

集合A相對(duì)于全集U

中的補(bǔ)集

2,交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì)

交集的運(yùn)算性質(zhì)并集的運(yùn)算性質(zhì)補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì)

ABqA,ABjBABoA,ABqBC"=CuU=

AB=BAAB=BAAA=

A（5）=

AA=A（/）—A0=

A（QA）=

AB=A<=>AB=Bo

c=

(QA)(Q8)=(QA)?6)=。

說明：從“文字語言，符號(hào)語言，圖形語言”三個(gè)角度理解集合的知識(shí)，特別學(xué)會(huì)借助圖形

語言解題，即“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。

1.1.6集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算

7

【例1】⑴已知集合A={l,2,3},6={x[—3<x<3},則AB=()

A,{-2,-1,0,1,2,3}B,{-2,-1,0,1,2}C,{1,2,3}D,{1,2}

⑵已知集合A={x|x<2},6={x|3—2x>0},下列選項(xiàng)中正確的是()

A,A8=B,AB=(f>C,AB=|x<jD,AB=R

變式：

1.己知集合A={l,2,3,4},8={y|y=3x-2,xeA},則A3=()

A,{1}B,⑷C,{1,3}D,{1,4}

2.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x—y=4},則MN=()

A,x=3,y=-1B,(3,—1)C,{3,—1}D,{(3,-1)}

3.已知集合A={x|x為不超過10的質(zhì)數(shù)},8={0,2,4,6,8},則AB=。

4.已知集合A={x|x>0},B={y|y<3},則AB=。

【例2】⑴設(shè)集合/={幻％2=@,汽={幻0<%<1},則MN=()

A,1x|0<x<l}B,1x|0<x<l}C,1x|0<x<l}D,

⑵集合4={0,4,a},8={l,a4},若AB={0,1,2,4,16),則a=()

A,0B,1C,2D,4

變式：

1.設(shè)集合A={x|(x+l)(x—2)<0},3={x[l<x<3},則AB=。

2.設(shè)集合4={1,2,3},8=卜|(%+1)(工一2)<0@=)},則4B=o

3.設(shè)集合P={x|x2?2},M={4},若PM=P,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

4.設(shè)集合24={工|—2<工<9},3={》|》43或％26},求AB；

5.設(shè)集合A={x|0<x—“<3},3={x|xW0或xN3},分別求下列條件下的實(shí)數(shù)m的

取值范圍。(1)A8=。；(2)AB=B.

【例3]全集[/={0,1,2,3,4}544,7,8},95M。，},則

(GA)(QB)=。

8

變式：

1.設(shè)集合A={0,,4,6,8,10},8={4,8},則=；

2.設(shè)全集。={1,2,3,4,5,6},4={1,2},5={2,3,4},則4（QB）=；

3.設(shè)全集。={1,2,3,4,5,6},。={1,3,5},0={1,2,4},則（。/）Q=；

4.設(shè)全集A={4,5,6,7,9},B={3,4,7,8,9},t/=Aa則Cu（AB）=

【例4】設(shè)全集A={1,a,b},B={。,標(biāo),,若A=3,求/?"+。

變式：

1.己知集合用={a,a+d,a+2d},N={a,aq,a/},其中aoO,且M=N,求q的值;

2.己知集合A=1〃2,K』={"/,，“+〃,0},若A=B,求實(shí)數(shù)〃?,〃的值。

【課后練習(xí)】

1.設(shè)集合A={1,2,3},3={2,3,4},則AB=；

2.己知集合4={幻—2<》<2},8={—2,0,1,2},則4B=；

3.設(shè)全集U=R4={x|x<—2或x>2},則QA=；

4.己知集合尸={2,3,4,5,6},。={3,4,5,7},若知=尸。，則M的子集個(gè)數(shù)為

5.若集合A={xeR\ax2-3x+2=0］中只有一個(gè)元素，則a=。

6.設(shè)集合4={-1,1,3},8={a+2,/+4},48={3},則實(shí)數(shù)a=。

3

7.己知集合A={x|xeZ,且上一ez}，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為________。

2-x

8.若集合A={x|—2<x<l},B={x|x<—1或x>3},則AB=。

9.設(shè)全集為R,A={x|0<x<2},3={x|xNl},則A?B）=。

9

10.設(shè)集合4={1,2,6},8={2,4}]={劃一14%45},則(4B)C=

11.設(shè)全集U=R,A={x|l〈xW3},8={x|2<x<4},C={x|aWxWa+l},

⑴分別求AB,A(CRB)；

(2)若8C=8,求實(shí)數(shù)。的取值范圍。

12.已知集合A={x|幺—以+人=o},8={x|Jr2+cx+15=()},AB={3},AB-

{3,5},

⑴求實(shí)數(shù)a,仇c的值；

(2)設(shè)集合P={x|分2+法+c<7},求集合PZ。

x-2a

13.己知集合A={x[(x-2)(x—3a-l)<0},6={x<0

x-a2

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求4B；

(2)求使B^A成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍。

第四課：集合的綜合問題

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；

2.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集;

10

3.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集;

4.能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用.

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

集合中元素的痔祖

(Wg

-I集合的分類I-Q

E]--1集合的表示方汨1-1特征性質(zhì)描述法I

L|維恩（Venn1函函

T元素與聲｛號(hào)］

匚凝一I真子集I

「包含關(guān)系一耳氟｛

II麗

「I集合與集合I一

i-O

運(yùn)算關(guān)系I——MJ

5國

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一：集合的基本概念

1.集合的概念

一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，如1?10內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，包括2,3,5,7,則

3是我們所要研究的對(duì)象，它是其中的一個(gè)元素，把一些元素組成的總體叫做集合，如上述

2,3,5,7就組成了一個(gè)集合。

2.元素與集合的關(guān)系

（1）屬于：如果。是集合A的元素，就說。屬于A,記作aeA。要注意上”的方向,

不能把a(bǔ)eA顛倒過來寫.

（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說。不屬于集合A,記作a^A。

3.集合中元素的特征

（1）確定性：集合中的元素必須是確定的。任何一個(gè)對(duì)象都能明確判斷出它是否為某個(gè)

集合的元素；

（2）互異性：集合中的任意兩個(gè)元素都是不同的，也就是同一個(gè)元素在集合中不能重復(fù)

出現(xiàn)。

（3）無序性：集合與組成它的元素的順序無關(guān)。如集合｛1,2,3｝與｛3,1,2｝是同一個(gè)

集合。

4.集合的分類

集合可根據(jù)它含有的元素個(gè)數(shù)的多少分為兩類：

11

有限集：含有有限個(gè)元素的集合。

無限集：含有無限個(gè)元素的集合。

要點(diǎn)詮釋：

把不含有任何元素的集合叫做空集，記作0,空集歸入有限集。

要點(diǎn)二：集合間的關(guān)系

1.子集：對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，那么

集合A叫做集合B的子集，記作A=B,對(duì)于任何集合A規(guī)定0=A。

兩個(gè)集合A與B之間的關(guān)系如下：

fA=8=4uB且BuA

4=雙一一

<一［AwBoADB

AUB

其中記號(hào)AtJB（或BOA）表示集合A不包含于集合B（或集合B不包含集合A）。

2.子集具有以下性質(zhì)：

（1）AUA,即任何一個(gè)集合都這是它本身的子集。

（2）如果B^A,那么A=B。

（3）如果A=B=C,那么A=

（4）如果AD8,那么ADC。

3.包含的定義也可以表述成：如果由任一xGA,可以推出xEB,那么（或

83A）。

不包含的定義也可以表述成：兩個(gè)集合A與B,如果集合A中存在至少一個(gè)元素不是集

合B的元素，那么A（JB（或5。A）。

4.有限集合的子集個(gè)數(shù)：

（1）n個(gè)元素的集合有2n個(gè)子集。

（2）n個(gè)元素的集合有2n—l個(gè)真子集。

（3）n個(gè)元素的集合有2。一1個(gè)非空子集。

（4）n個(gè)元素的集合有2n—2個(gè)非空真子集。

要點(diǎn)詮釋：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.換言之，任何集合至少有一個(gè)子

集.

要點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算

1.用定義求兩個(gè)集合的交集與并集時(shí)，要注意“或”“且”的意義，“或”是兩個(gè)皆可

的意思，“且”是兩者都有的意思，在使用時(shí)不要混淆。

2.用維恩圖表示交集與并集。

已知集合A與B,用陰影部分表示ACB,AUB,如下圖所示。

12

ACiBAQB=0AHB=BAC\B=AACIBH

AUBAUBAUB=AAUB=BAUB=A

3.關(guān)于交集、并集的有關(guān)性質(zhì)及結(jié)論歸結(jié)如下：

(1)AAA=A,AH0=0,ADB=(BnA)qA(或B)；

AUA=A,AU0=A,AUB=(BUA)oA(或B)。

(2)A@A)=0；A&A)=U。

（3）德摩根定律：（職1）（，）=%（AB）；（翔4）（，）=%（A8）。；

（4）AB=AoAq8；AB=A<=>8=4。

4.全集與補(bǔ)集

（1）它們是相互依存不可分離的兩個(gè)概念.把我們所研究的各個(gè)集合的全部元素看成

是一個(gè)集合，則稱之為全集。而補(bǔ)集則是在AqU時(shí)，由所有不屬于A但屬于U的元素組

成的集合，記作許A。數(shù)學(xué)表達(dá)式：若AqU,則U中子集A的補(bǔ)集為

2A={x|X6(0.您

（2）補(bǔ)集與全集的性質(zhì)

①旗0A)=A

②A=。，a,A屋U。

③gU=0,Q,0=U。

5.空集的性質(zhì)

空集的特殊屬性，即空集雖空，但空有所用。對(duì)任意集合A,有010,0e{0}:

A0=0；A0=A；0cA?

【典型例題】

類型一：集合的含義與表示

【例1].選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑稀?/p>

（1）“mathematics"中字母構(gòu)成的集合;

（2）不等式爐+1：0的解集;

（3）函數(shù)y=?-4的自變量的取值范圍.

13

變式：

龍+y=5

【變式1】將集合4(x,y)|〈、表示成列舉法，正確的是()

I⑵-y=lj

A.{2,3}B.{(2,3)}C.{x=2,y=3}D.(2,3)

【變式2】已知集合4={(乂))I為實(shí)數(shù)，且f+y2=i},B={(x,y)x,y為

實(shí)數(shù)，且了=%},則AcB的元素個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

[例2].若含有三個(gè)元素的集合可表示為?],也可以表示為付3+乩。},求

產(chǎn)叫產(chǎn)。的值。

變式：

【變式1】若一3e{a—3,2a+l,/+i}。求實(shí)數(shù)。的值。

【例3].已知集合A={x|—2x+3=0,，”e??}

(1)若A是空集，求m的取值范圍。

(2)若A中只有一個(gè)元素，求加的值。

(3)若A中至多只有一個(gè)元素，求m的取值范圍。

類型二：集合的基本關(guān)系

【例4】.設(shè)集合A={xI1WXW3},B={xIx-a20},或ADB,則a的取值范圍是

變式：

【變式1】已知集合A={xI或x<—1},B={xI2a<x<a+l),若BqA,求a的取值范

圍。

【變式2】若集合B={1,2,3,4,5},C={小于10的正奇數(shù)},且集合A滿足AqB,AqC,

則集合A的個(gè)數(shù)是o

[例5].設(shè)集合A={x|X[+4x=0,xe7?},8={x|J?+2(?+l)x+?2—1=0,xe

B^A,求實(shí)數(shù)。的范圍。

類型三：集合的基本運(yùn)算

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【例6].已知全集U=R,集合乂=僅|一24-1忘2}和N={x|x=2k-1,k=l,2,…}的關(guān)系的

韋恩(Venn)圖如下圖所示，則陰影部分所示的集合的元素區(qū)有()

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.無窮多個(gè)

變式：

【變式1]已知全集U=R,則正確表示集合軌={-1,0,1}和2{x|x2+x=()|關(guān)系的韋

A={x|3<x<7},B={x|2<x<10},

求為(48)及(\A)B.

【例7】.若集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={2,3},C={2,一4},滿足AflBB0,且AH

C=0,則實(shí)數(shù)a的值是。

【例8】.設(shè)集合A={x|a-4<x<a+4},B={xIx<T或x>5},若AUB=R,則a的取值范

圍是。

變式：

【變式1]已知集合A={x|-24W5},B={xIk+lWxW2k-1},若AAB=0,求實(shí)數(shù)k

的取值范圍。

【例9】.設(shè)集合A={xIl<x<5},B={xIxVa或x》a+2},若AdRB=0,則a的取值范

圍是。

變式:

15

【變式1】已知集合人="I-2Wx<7},dL,B={x\k+\<x<k+4],若AUB=R,求實(shí)數(shù)

k的取值范圍。

第5課：充分必要條件，命題，全稱量詞與

存在量詞

i.命題

概念使用語言、符號(hào)或者式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句

特點(diǎn)(1)能判斷真假；(2)陳述句

分類真命題、假命題

2.四種命題及其相互關(guān)系

(1)四種命題間的相互關(guān)系:

(2)四種命題中真假性的等價(jià)關(guān)系：原命題等價(jià)于逆否命題,原命題的否命題等價(jià)于逆全

題:在四種形式的命題中真命題的個(gè)數(shù)只能是曳必.

①.命題pAq,PVq,rp的真假判斷

PqpAqpVgrp

真真真真假

真假假真假

假真假真

假假假假真

②.全稱量詞和存在量詞

量詞名稱常見量詞符號(hào)表示

全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個(gè)等V

存在量詞存在一個(gè)、至少一個(gè)、有些、某些等3.

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③.全稱命題和特稱命題

名稱

全稱命題特稱命題

形式

對(duì)M中的任意一個(gè)x,有p（x）成存在M中的一個(gè)xo,使p（xo）成

結(jié)構(gòu)

立立

簡記p(x)三的￡一，。（趣）

否定VXSM,/(力

3.充要條件

若p0q,則p是q的充分條件,q是p的必要p成立的對(duì)象的集合為A,g成立的對(duì)象的集

條件合為B

〃是a的充分不必要

paq且q0/p4是B的真子集

條件

p是q的必要不充分

p今/q且q0P5是A的真子集集合與

條件

充要條件

p是q的充要條件poq4=5

〃是。的既不充分也

p0/q且q0/pA,B互不包含

不必要條件

2.小結(jié)：小范圍二>大范圍；大范圍。=小范圍。

題型一命題的四種形式

【例1］對(duì)于下述命題P,寫出"P”形式的命題，并判斷"P"與'"P"的真假:

（1）P：有一個(gè)素?cái)?shù)是偶數(shù)；（2）P：任意正整數(shù)都是質(zhì)數(shù)或合數(shù)；

（3）P：三角形有且只有一個(gè)外接圓。

變式：

1、判斷下列全稱命題的真假：（1）所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；（2）V尤eR,x2+121；（3）對(duì)每一個(gè)

無理數(shù)x,/也是無理數(shù)。

2、下列有關(guān)命題的說法正確的是（）

A,命題“若則x=l”的否命題為：“若Y=1,貝!lx。1”

B,若pVg為真命題,則p,q均為真命題

C,若“存在xeR,使得f+x+i<0”的否定是：“對(duì)任意XGR,均有f+x+ivo”

D,命題“若x=y,則k|=3”的逆否命題為真命題

3.命題0：2x0GR,XO+1WO的否定是（）

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2

A.3X?GR,xi—x()+1>0B.VxGR,x—x+lWO

2

C.VxGR,x-x+l>0D.3X0GR,XJ-XO+1<O

答案：C

4.已知命題p：x2+4x+32o,q：xGZ,且“pAg”與“q"同時(shí)為假命題，則x=.

解析：若p為真，則X2一1或xW—3,

因?yàn)椤皉/，為假，則i為真，即xGZ,

又因?yàn)椤皃Ag”為假，

所以p為假，

故一3<x<-1,

由題意，得x=-2.

答案：一2

命題”全等三角形的面積一定都相等”的否定是.

答案：存在兩個(gè)全等三角形的面積不相等

6.命題“若必=0,則a=0或6=0”,其否定為.

答案：若a方=0,則a#0且6W0

【例2】已知原命題“若X=1且>=2,則x+y=3"，分別寫出：

(1)逆命題：;⑵否命題：

(3)逆否命題：o

變式：

1.命題“末位數(shù)字是0或5的整數(shù)能被5整除”的否定是

;它的否命題是

2.命題“若7x+10=0,則x=2或x=5"的否定是。

3.寫出命題“若x=3,則d-2x+3=0”的否命題：o

4.命題“若Y<1,則—1<x<1”的逆否命題是。

5.命題“已知eR,若孫=0,則x=0或y=0的否定是一—.。

【例3】命題：“若沖=0,則中至少有一個(gè)為0,”分別寫出它的逆命題、否命題、逆

否命題。

逆命題：；否命題：；

逆否命題：.

變式：

1.給定下列命題：

(1)“若x+y=O,則互為相反數(shù)”的逆命題；

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(2)“全等三角形的面積相等”的否命題；

(3)“若則f+2x+q=0有實(shí)根”的逆否命題；

(4)“不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等的逆命題；其中真命題為—

2.給定下列命題：

(1)若攵>0,則方程d+2x—4=0有實(shí)數(shù)根；

(2)“若a>b,則a+c>8+c”的否命題；

(3)“矩形的對(duì)角線相等”的逆命題；

(4)“若孫=0,則中至少有一個(gè)為0”的否命題；

(5)“若/=o,則〃/全為0”的逆否命題。其中真命題為

【例4】、設(shè)集合A,B,則“A3=A”是“418”的()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C,充要條件D,既不充分也不必要條件

變式：

1.設(shè)aeR,則“a>l”是“a?〉］”的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C,充要條件D,既不充分也不必要條件

2.錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C,充要條件D,既不充分也不必要條件

3.設(shè)p：實(shí)數(shù)滿足尤>1且y>l,q：實(shí)數(shù)滿足x+y>2,則p是4的()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C,充要條件D,既不充分也不必要條件

4.設(shè)x>0,yeR,則“x>y”是“兇>3”的()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C,充要條件D,既不充分也不必要條件

5.命題P：|4x—3區(qū)1；q：Y—2(2a+l)x+a(a+l)W0,若"是飛的必要不充分條件,

求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

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【課后練習(xí)】

1.設(shè)xGZ,集合A是奇數(shù)集，集合5是偶數(shù)集.若命題p：VxGA,2x￡B,貝"）

A.-p：B.rp：V超A,2超8

C.,p：3xo^A,2x?GBD."p：SX()6A,2XO$B

2.已知命題p：若x>y,則一x<一y；命題g：若x>y,則x2>V.在命題①0/\g；②pVg；③

pAO；④「p）Vg中,真命題是（

A.0（3）B.①④C.(2X3)D.②④

3.給定命題p：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有aF+ax+AO成立；q.關(guān)于x的方程x2—x+a=O有實(shí)

數(shù)根.如果pVg為真命題，pAg為假命題，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

4.已知p：BxoGR?mxS+l^O,q：VxGR,x2+mx+l>0,若pVg為假命題，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是（）

A.[2,+8）B.（-8,-2]

C.（-8,-2]U[2,+~）D.[-2,2]

5.已知函數(shù)八*）=丫2+噸+1,若命題“球。>0,於。）<0"為真，則m的取值范圍是.

6.命題"mxoWO,就20"的否定是（）

A.Vx^O,好<0B.VxWO,x22。

C.3x（）>0,xJ>0D.3x（）<0,x/WO

7,已知命題p：對(duì)任意xGR,總有|x|，0；

q：x=l是方程x+2=0的根.

則下列命題為真命題的是（）

A.pNqB.fpAq

C.rpZqD.p/\q

8.已知命題p：“x>3”是“*2>9”的充要條件，命題q：”2>巾是?>〃,的充要條件，貝（]（）

A.pVg為真B.pAg為真

C.p真g假D.pVg為假

9.若命題“mxoGR,蝙+（a-l）xo+l<O”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[—1,3]B.（—1,3）

C.（-8,-1]U[3,+~）D.（一8,-1）U（3,+~）

10.命題"V"GN",<"）GN"且八"）W“”的否定形式是（）

A.VnGN*,A"游N*且N")>"

20

B.VnGN*,八")eN*或八〃)>〃

C.3noGN