湖南省長(zhǎng)沙市一中、湖南師大附中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市一中、湖南師大附中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量與向量垂直，則實(shí)數(shù)x的值為（）A.﹣1 B.1C.﹣6 D.62．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且平行于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，那么的值為（）A. B.C. D.3．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．圓的圓心和半徑分別是（）A. B.C. D.5．已知，則下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.6．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)，則（）A.2 B.C. D.7．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡(jiǎn)稱黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（）A. B.C. D.8．直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不確定9．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.10．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.411．定義“等方差數(shù)列”：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)的平方與它的前一項(xiàng)的平方的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差．設(shè)是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為4，，則數(shù)列的前24項(xiàng)和為（）A. B.3C. D.612．對(duì)于公差為1的等差數(shù)列，；公比為2的等比數(shù)列，，則下列說法不正確的是（）A.B.C.數(shù)列為等差數(shù)列D.數(shù)列的前項(xiàng)和為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為函數(shù)，則__________14．已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段為邊作正，若邊的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率____________.15．若函數(shù)解析式，則使得成立的的取值范圍是___________.16．已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）為圓上任意一點(diǎn)，過作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，判斷是否為定值?若是，求出定值：若不是，說明理由，18．（12分）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+2，x=2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求f(x)在區(qū)間(-1，4]上的最大值和最小值.19．（12分）已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，P是橢圓上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C的上頂點(diǎn)，Q為PA的中點(diǎn)，且直線PA與直線OQ的斜率之積恒為-2.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為k且過上焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M，N到y(tǒng)軸距離之和最大時(shí)，求直線l的方程.20．（12分）為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，鼓勵(lì)全民閱讀經(jīng)典書籍，某市舉行閱讀月活動(dòng)，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)某街道約10000人在該活動(dòng)月每人每日平均閱讀時(shí)間（分鐘）的頻率分布直方圖如圖：（1）求x的值；（2）從該街道任選1人，則估計(jì)這個(gè)人的每日平均閱讀時(shí)間超過60分鐘的概率.21．（12分）某種機(jī)械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價(jià)值逐年減少，通常把它使用價(jià)值逐年減少的“量”換算成費(fèi)用，稱之為“失效費(fèi)”．某種機(jī)械設(shè)備的使用年限（單位：年）與失效費(fèi)（單位：萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費(fèi)（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與關(guān)系．請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；（精確到0.01）（2）求出關(guān)于的線性回歸方程，并估算該種機(jī)械設(shè)備使用8年的失效費(fèi)參考公式：相關(guān)系數(shù)線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)計(jì)算公式：，參考數(shù)據(jù)：，，22．（10分）如圖所示，第九屆亞洲機(jī)器人錦標(biāo)賽VEX中國(guó)選拔賽永州賽區(qū)中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形坐標(biāo)場(chǎng)地ABCD（包含邊界和內(nèi)部，A為坐標(biāo)原點(diǎn)），AD長(zhǎng)為10米，在AB邊上距離A點(diǎn)4米的F處放置一只電子狗，在距離A點(diǎn)2米的E處放置一個(gè)機(jī)器人，機(jī)器人行走速度為v，電子狗行走速度為，若電子狗和機(jī)器人在場(chǎng)地內(nèi)沿直線方向同時(shí)到達(dá)場(chǎng)地內(nèi)某點(diǎn)M，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，點(diǎn)M叫成功點(diǎn).（1）求在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)成功點(diǎn)M的軌跡方程；（2）P為矩形場(chǎng)地AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，若存在兩個(gè)成功點(diǎn)到直線FP的距離為，且直線FP與點(diǎn)M的軌跡沒有公共點(diǎn)，求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式代入可得的值【詳解】解：向量，與向量垂直，則，由數(shù)量積的坐標(biāo)公式可得：，解得，故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及數(shù)量積的坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題2、A【解析】根據(jù)橢圓的方程求出，再由橢圓的對(duì)稱性及定義求解即可.【詳解】由橢圓的對(duì)稱性可知，,所以，又橢圓方程為，所以，解得，所以，故選：A3、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在有解，進(jìn)而求函數(shù)的最值，即可求出的范圍.【詳解】∵，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調(diào)遞增，，故.故選：D.4、B【解析】將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.【詳解】解：.故選：B.5、B【解析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.【詳解】對(duì)于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以不成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，故D不正確.故選：B6、C【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義可得，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，，故.故選：C7、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線中的，所以離心率，因?yàn)殡p曲線是黃金雙曲線，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A8、A【解析】首先求出直線過定點(diǎn)，再判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，即可判斷；【詳解】解：直線恒過定點(diǎn)，又，即點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與圓相交；故選：A9、D【解析】利用特殊值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，利用函數(shù)單調(diào)性證明正確選項(xiàng).【詳解】時(shí)，，但，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.時(shí)，，但，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.時(shí)，，但，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.在上遞增，所以，即D選項(xiàng)正確.故選：D10、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.11、C【解析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭欠焦顬?的等方差數(shù)列，所以，，∴，∴，∴，故選：C12、B【解析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判定選項(xiàng)A正確；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，即判定選項(xiàng)B錯(cuò)誤；利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和等差數(shù)列的定義判定選項(xiàng)C正確；利用錯(cuò)位相減法求和，即判定選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于A:由條件可得，，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：由條件可得，，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，則，即數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，上面兩式相減可得，所以，即選項(xiàng)D正確.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)解析式，可求得解析式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.詳解】∵，∴，∴.故答案為：.14、##【解析】根據(jù)線段為邊作正，得到M在y軸上，求得M的坐標(biāo)，再由，得到邊的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程求解.【詳解】以線段為邊作正，則M在y軸上，設(shè)，則，因?yàn)?，所以邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)檫叺闹悬c(diǎn)在雙曲線上，所以，因?yàn)?，所以，即，解得，因?yàn)?，所以，故答案為?5、【解析】由題意先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再利用的導(dǎo)函數(shù)判斷在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性得上單調(diào)遞減.要使成立，即，解不等式即可得到答案.【詳解】，，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減.要使成立，即.故答案為：.16、1【解析】利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離即可.【詳解】，，∴則點(diǎn)P到平面的距離為.故答案為：1.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）是；【解析】（1）由離心率和焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)可求出，結(jié)合關(guān)系式得出，即可得出橢圓的方程；（2）由平行于軸特殊情況求出，即；當(dāng)平行于軸時(shí)，設(shè)過的直線為，聯(lián)立橢圓方程，令化簡(jiǎn)得關(guān)于的二次方程，由韋達(dá)定理即可求解.【小問1詳解】由題可知，，解得，又，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】如圖所示，當(dāng)平行于軸時(shí)，恰好平行于軸，，，；當(dāng)不平行于軸時(shí)，設(shè)，設(shè)過點(diǎn)的直線為，聯(lián)立得，令得，化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，又，故，即.綜上所述，.18、（1）；（2）最大值為18，最小值為.【解析】（1）解方程即得解；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分析即得解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幱袠O值，所以，即，所以.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，符合題意.所以.【小問2詳解】解：由（1）可知，所以，令，得，當(dāng)時(shí)，由得，；由得，或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，又.所以的最小值為，又，所以的最大值為，所以在的最大值為18，最小值為.19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，求出直線、直線的斜率相乘可得，結(jié)合可得答案；（2）設(shè)直線l的方程為與橢圓方程聯(lián)立，代入得，設(shè)，再利用基本不等式可得答案.【小問1詳解】由題意可得，，即，則，設(shè)點(diǎn)，∵Q為的中點(diǎn)，∴，∴直線斜率，直線的斜率，∴，又∵，∴，則，解得，∴橢圓C的方程為.【小問2詳解】由（1）知，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立化簡(jiǎn)得，，設(shè)，則，易知M，N到y(tǒng)軸的距離之和為，，設(shè)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí)直線l的方程為.20、（1）（2）0.7【解析】（1）利用概率和為1計(jì)算可得的值；（2）求頻率分布直方圖中每人每日平均閱讀時(shí)間超過60分鐘的概率即為這個(gè)人閱讀時(shí)間超過60分鐘的概率.【小問1詳解】由得【小問2詳解】，估計(jì)這個(gè)人的每日平均閱讀時(shí)間超過60分鐘的概率為21、（1）答案見解析；（2）；失效費(fèi)為6.3萬元【解析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算出相關(guān)系數(shù)可得結(jié)果；（2）根據(jù)公式求出和可得關(guān)于的線性回歸方程，再代入可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，知，，∴結(jié)合參考數(shù)據(jù)知：因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，所以與的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系（2）∵，∴∴關(guān)于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程得萬元，∴估算該種機(jī)械設(shè)備使用8年的失效費(fèi)為6.3萬元22、（1）（2）【解析】（1）分別以為軸，建