廣西貴港市覃塘高級(jí)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

廣西貴港市覃塘高級(jí)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．經(jīng)過點(diǎn)，且被圓所截得的弦最短時(shí)的直線的方程為（）A. B.C. D.2．過原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A. B.C. D.3．過兩點(diǎn)、的直線的傾斜角為，則的值為（）A.或 B.C. D.4．已知曲線與直線總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.5．若直線：與直線：平行，則a的值是（）A.1 B.C.或6 D.或76．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（）A.25或－5 B.25C.5 D.21或－98．焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.9．如圖所示，已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，在軸上，，且是的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)到直線的距離為3，則橢圓的方程為（）A B.C. D.10．若離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為1，2，3，…，n，且取每一個(gè)值的概率相同，若，則n的值為（）A.4 B.6C.9 D.1011．由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：，其中每個(gè)數(shù)據(jù)都小于，另一組數(shù)據(jù)2、的中位數(shù)可以表示為（）A. B.C. D.12．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若曲線在處的切線平行于x軸，則___________.14．教育部門對(duì)某校學(xué)生的閱讀素養(yǎng)進(jìn)行調(diào)研，在該校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行百分制檢測(cè)，現(xiàn)將所得的成績(jī)按照，分成6組，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出了頻率分布直方圖(如圖所示)，則成績(jī)?cè)谶@組的學(xué)生人數(shù)是________.15．圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為__________.16．命題的否定是____________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，（1）證明是等比數(shù)列，（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和18．（12分）如圖，四邊形為矩形，，，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，平面.（1）若，求與所成角的余弦值；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖，底面是矩形的直棱柱中，；（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大??；20．（12分）已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）過定點(diǎn)的直線l交動(dòng)點(diǎn)P的軌跡于不同的兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為，求證直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)21．（12分）已知橢圓，點(diǎn)在上，，且（1）求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；（不需要證明）（2）過A點(diǎn)作的垂線，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.22．（10分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax2+2bx在x＝處有極大值.（1）求a、b的值；（2）求f（x）在[0，2]上的值域.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】當(dāng)是弦中點(diǎn)，她能時(shí)，弦長(zhǎng)最短．由此可得直線斜率，得直線方程【詳解】根據(jù)題意，圓心為，當(dāng)與直線垂直時(shí)，點(diǎn)被圓所截得的弦最短，此時(shí)，則直線的斜率，則直線的方程為，變形可得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交弦長(zhǎng)問題，掌握垂徑定理是求解圓弦長(zhǎng)問題的關(guān)鍵2、A【解析】直線AC、BD與坐標(biāo)軸重合時(shí)求出四邊形面積，與坐標(biāo)軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為橢圓頂點(diǎn)時(shí)，而，四邊形ABCD的面積，當(dāng)直線AC斜率存在且不0時(shí)，設(shè)其方程為，由消去y得：，設(shè)，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A3、D【解析】利用斜率公式可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.詳解】由斜率公式可得，即，解得.故選：D.4、D【解析】對(duì)曲線化簡(jiǎn)可知曲線表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，對(duì)直線方程化簡(jiǎn)可得直線過定點(diǎn)，畫出圖形，由圖可知，，然后求出直線的斜率即可【詳解】由，得，因?yàn)椋郧€表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，由，得，所以，得，所以直線過定點(diǎn)，如圖所示設(shè)曲線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，直線過定點(diǎn)，為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖可知，若曲線與直線總有公共點(diǎn)，則，得，設(shè)直線為，則，解得，或，所以，所以，所以，故選：D5、D【解析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出【詳解】依題意可知，顯然，所以由可得，，解得或7故選：D6、C【解析】根據(jù)雙曲線的定義求得，利用可得離心率范圍【詳解】因?yàn)?，又，所以，，又，即，，所以離心率故選：C7、A【解析】根據(jù)平行直線的性質(zhì)，結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€：與：平行，所以有，因?yàn)閮蓷l平行直線：與：間距離為3，所以，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故選：A8、A【解析】直接由焦點(diǎn)位置及焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】由焦點(diǎn)在軸的正半軸上知拋物線開口向上，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A.9、D【解析】由題設(shè)可得，直線的方程為，點(diǎn)線距離公式表示到直線的距離，又聯(lián)立解得即可得出答案.【詳解】且，則△是等邊三角形，設(shè)，則①，∴直線方程為，即，∴到直線的距離為②，又③，聯(lián)立①②③，解得，，故橢圓方程為.故選：D.10、D【解析】根據(jù)分布列即可求出【詳解】因?yàn)?，所以故選：D11、C【解析】先根據(jù)題意對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，然后由中位數(shù)的定義求解即可【詳解】因?yàn)橛尚〉酱笈帕械囊唤M數(shù)據(jù)：，其中每個(gè)數(shù)據(jù)都小于，所以另一組數(shù)據(jù)2、從小到大的排列為，所以這一組數(shù)的中位數(shù)為，故選：C12、A【解析】將拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即可得到答案；【詳解】拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，準(zhǔn)線方程為，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)在時(shí)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)值為0求得a的值【詳解】由，得，則，∵曲線在點(diǎn)處的切線平行于x軸，∴，即.故答案為：14、20【解析】根據(jù)頻率分布直方圖求出成績(jī)?cè)谶@組的頻率，從而可得出答案.【詳解】解：由頻率分布直方圖可知，成績(jī)?cè)谶@組的頻率為，所以成績(jī)?cè)谶@組的學(xué)生人數(shù)為（人）.故答案為：20.15、【解析】先求得圓心到直線的距離，結(jié)合圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，即可求解.【詳解】由題意，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故答案為：16、##【解析】根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識(shí)寫出正確答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，要注意否定結(jié)論，所以命題否定是：故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】（1）利用定義法證明是一個(gè)與n無關(guān)的非零常數(shù)，從而得出結(jié)論；（2）由（1）求出，利用分組求和法求【詳解】（1）由得，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,，所以，（2）由（1）知的通項(xiàng)公式為；則所以【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的證明以及分組求和法，屬于基礎(chǔ)題18、（1）（2）【解析】（1）以為原點(diǎn)，、所在的直線為、軸，以過點(diǎn)垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得與所成角的余弦值；（2）計(jì)算出平面的法向量，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】解：如圖，以為原點(diǎn)，、所在的直線為、軸，以過點(diǎn)垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，則，則，故，因?yàn)槠矫妫矫?，則，若，則，故、、、，則，，.因此，若，則與所成角的余弦值為.【小問2詳解】解：若，則、，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，所以直線與平面所成角的正弦值為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過證明和可得答案；（2）連接，則為直線與平面所成角的平面角，在直角三角形中計(jì)算即可.【小問1詳解】棱柱為直棱柱，面，又面，又直棱柱的底面是矩形，，又，平面，平面，平面；【小問2詳解】連接，面，則為直線與平面所成角的平面角在直角三角形中，則，，所以直線與平面所成角的大小為.20、（1）（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】（1）直接由斜率關(guān)系計(jì)算得到；（2）設(shè)出直線，聯(lián)立橢圓方程，韋達(dá)定理求出，再結(jié)合三點(diǎn)共線，求出參數(shù)，得到過定點(diǎn).小問1詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由已知有，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；【小問2詳解】由已知條件可知直線和直線斜率一定存在，設(shè)直線方程為，，，則，由，可得，則，即為，，，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，即，即，即，即，即得，整理，得，滿足，則直線方程為，恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于設(shè)出帶有兩個(gè)參數(shù)的直線的方程，聯(lián)立橢圓方程后，利用題干中的條件，解出一個(gè)參數(shù)或得到兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，即可求出定點(diǎn).21、（1）（2）存在，【解析】（1）分斜率存在和斜率不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理列出方程，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解；（2）結(jié)合第一問的定點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合直角三角形斜邊中線得到存在點(diǎn)，使得為定值，求出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，因?yàn)?，所以，即，根?jù)，代入整理可得：，所以，整理化簡(jiǎn)得:，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線過點(diǎn)【小問2詳解】由（1）可知因?yàn)?，取中點(diǎn)，則此時(shí)，【點(diǎn)睛】直線過定點(diǎn)問題，一般處理思路是分斜率存在和斜率不存在兩種情況，特別是斜率存在時(shí)，