2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)5.2正弦函數(shù)的性質(zhì)課時(shí)作業(yè)含解析北師大版必修4

PAGE第一章三角函數(shù)[課時(shí)作業(yè)][A組基礎(chǔ)鞏固]1．函數(shù)y＝2sinx－3的值域是()A．[－1,1] B．[－5，－1]C．[－5，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：∵－1≤sinx≤1，∴－2≤2sinx≤2，∴－5≤2sinx－3≤－1，即－5≤y≤－1.答案：B2．函數(shù)f(x)＝x·sin(π＋x)的奇偶性是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)解析：函數(shù)的定義域是R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而f(x)＝x·(－sinx)＝－xsinx，∵f(－x)＝－(－x)·sin(－x)＝－xsinx＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．答案：B3．已知sinα＞sinβ，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，則()A．α＋β＞π B．α＋β＜πC．α－β≥－eq\f(3,2)π D．α－β≤－eq\f(3,2)π解析：∵β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，∴π－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，且sin(π－β)＝sinβ.∵y＝sinx在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))時(shí)單調(diào)遞增，sinα＞sinβ.∴sinα＞sin(π－β)?α＞π－β?α＋β＞π，故選A.答案：A4．函數(shù)f(x)＝sinx在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，且f(a)＝－1，f(b)＝1，則coseq\f(a＋b,2)＝()A．0 B.eq\f(\r(2),2)C．－1 D．1解析：由題意知可取[a，b]＝[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，故coseq\f(a＋b,2)＝cos0＝1.答案：D5．若f(x)＝5sinx在[－b，－a]上是增加的，則f(x)在[a，b]上是()A．增加的 B．削減的C．奇函數(shù) D．偶函數(shù)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝5sinx，x∈R是奇函數(shù)，所以在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，所以由f(x)在[－b，－a]上是增加的知f(x)在[a，b]上也是增加的．答案：A6．函數(shù)y＝lgsineq\f(x,2)的定義域是________．解析：由sineq\f(x,2)＞0，得2kπ＜eq\f(x,2)＜2kπ＋π，k∈Z，解得4kπ＜x＜4kπ＋2π，k∈Z.答案：(4kπ，4kπ＋2π)，k∈Z7．若函數(shù)y＝sinx在區(qū)間[－eq\f(π,2)，a]上為增函數(shù)，則a的取值范圍是________．解析：由正弦函數(shù)的圖像知，要使y＝sinx在[－eq\f(π,2)，a]上為增函數(shù)，需滿意－eq\f(π,2)＜a≤eq\f(π,2).答案：(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]8．下列說法正確的是________(只填序號(hào))．①y＝|sinx|的定義域?yàn)镽；②y＝3sinx＋1的最小值為1；③y＝－sinx為奇函數(shù)；④y＝sinx－1的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)．解析：當(dāng)sinx＝－1時(shí)，y＝3sinx＋1的值為－2，②錯(cuò)誤；y＝sinx－1的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，④錯(cuò)誤．應(yīng)填①③.答案：①③9．求函數(shù)y＝eq\r(81－x2)＋log2(2sinx－eq\r(2))的定義域．解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(81－x2≥0，,2sinx－\r(2)＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－9≤x≤9，,\f(π,4)＋2kπ＜x＜\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.))∴由圖可知，所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x|－eq\f(7π,4)＜x＜－eq\f(5π,4)，或eq\f(π,4)＜x＜eq\f(3π,4)，或eq\f(9π,4)＜x＜eq\f(11π,4)}．10．(1)比較大?。簊ineq\f(π,4)與sineq\f(2π,3)；(2)銳角三角形ABC中，比較sinA與cosB的大小．解析：(1)∵sineq\f(2π,3)＝sin(π－eq\f(π,3))＝sineq\f(π,3)，0＜eq\f(π,4)＜eq\f(π,3)＜eq\f(π,2)，y＝sinx在(0，eq\f(π,2))上是增加的，∴sineq\f(π,4)＜sineq\f(π,3)，即sineq\f(π,4)＜sineq\f(2π,3).(2)由△ABC為銳角三角形，∴∠A＋∠B＞eq\f(π,2)，即∠A＞eq\f(π,2)－∠B，eq\f(π,2)－∠B∈(0，eq\f(π,2))．∴sinA＞sin(eq\f(π,2)－∠B)＝cosB，即sinA＞cos B.[B組實(shí)力提升]1．函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx1－sinx,1－sinx)是()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)解析：由題意，知sinx≠1，即f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx≠2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，此函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∴f(x)是非奇非偶函數(shù)．答案：D2．函數(shù)y＝sin2x－3sinx＋2的最小值為()A．2 B．0C.eq\f(1,4) D．6解析：利用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值．設(shè)sinx＝t，－1≤t≤1，則有y＝t2－3t＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2－eq\f(1,4)，所以當(dāng)t＝1，即sinx＝1時(shí)，函數(shù)y＝sin2x－3sinx＋2取最小值0.答案：B3．關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)有以下命題：①對(duì)隨意的φ，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；②不存在φ，使f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；③存在φ，使f(x)是奇函數(shù)；④對(duì)隨意的φ，f(x)都不是偶函數(shù)．其中的假命題是________．(寫出全部假命題的序號(hào))解析：易知②③成立，令φ＝eq\f(π,2)，f(x)＝cosx是偶函數(shù)，①④都不成立．答案：①④4．定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)．若f(x)的最小正周期是π，且當(dāng)x∈[0，eq\f(π,2)]時(shí)，f(x)＝sinx，則f(eq\f(5π,3))的值為________．解析：由f(x)的最小正周期是π，知f(eq\f(5π,3))＝f(eq\f(2π,3))＝f(－eq\f(π,3))．由f(x)是偶函數(shù)知f(－eq\f(π,3))＝f(eq\f(π,3))．又當(dāng)x∈[0，eq\f(π,2)]時(shí)，f(x)＝sinx，∴f(eq\f(5π,3))＝f(－eq\f(π,3))＝f(eq\f(π,3))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)5．求函數(shù)y＝－2sin2x＋5sinx－2的最值以及取得最值時(shí)相應(yīng)的x值．解析：設(shè)t＝sinx，則t∈[－1,1]．∴y＝－2t2＋5t－2＝－2(t－eq\f(5,4))2＋eq\f(9,8)，∴當(dāng)t＝－1時(shí)，ymin＝－9，此時(shí)sinx＝－1，即x＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z；當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝1.此時(shí)sinx＝1，即x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.綜上知，y的最大值為1，此時(shí)x的值為{x|x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}；y的最小值為－9，此時(shí)x的值為{x|x＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z}．6．已知函數(shù)f(x)＝，(1)求其定義域和值域；(2)推斷奇偶性；(3)推斷周期性，若是周期函數(shù)，求周期；(4)寫出單調(diào)區(qū)間．解析：(1)|sinx|＞0?sinx≠0，∴x≠kπ，k∈Z.∴所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ，k∈Z}．∵0＜|sinx|≤1，∴≥0，∴所求函數(shù)的值域是[0，＋∞)．(2)∵f(－x)＝s