2024-2025學年新教材高中數(shù)學第七章隨機變量及其分布7.4.2超幾何分布課時作業(yè)含解析新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE課時作業(yè)(十二)超幾何分布[練基礎(chǔ)]1．已知在15個村莊中有7個村莊交通不便利，現(xiàn)從中隨意選10個村莊，用X表示10個村莊中交通不便利的村莊數(shù)，則下列概率等于eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))·Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(15)))的是()A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)2．一批產(chǎn)品共有50件，其中5件次品，45件合格品，從這批產(chǎn)品中隨意抽取2件，其中出現(xiàn)次品的概率是()A．eq\f(44,245)B．eq\f(9,49)C．eq\f(46,245)D．eq\f(47,245)3．有8名學生，其中有5名男生．從中選出4名代表，選出的代表中男生人數(shù)為X，則其數(shù)學期望E(X)＝()A．2B．2.5C．3D．3.54．在一次抽獎中，一個箱子里有編號為1至10的10個號碼球(球的大小、質(zhì)地完全相同，但編號不同)，其中有n個號碼為中獎號碼，若從中隨意取出4個號碼球，其中恰有1個中獎號碼的概率為eq\f(8,21)，則這10個小球中，中獎號碼球的個數(shù)為()A．2B．3C．4D．55．已知一盒子中有圍棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．隨意取出2粒，若X表示取得白子的個數(shù)，則X的均值E(X)＝________．6．某學校從4名男生和2名女生中任選3人作為參與兩會的志愿者，設(shè)隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，則P(X≤1)＝________．7．現(xiàn)有10張獎券，其中8張2元的、2張5元的，從中同時任取3張，求所得金額的分布列．8．老師要從10篇課文中隨機抽3篇讓學生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格．某同學只能背誦其中的6篇，試求：(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的概率分布．(2)他能及格的概率．9．某高校志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同).(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．[提實力]10．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．我國的PM2.5標準采納世界衛(wèi)生組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標．某試點城市環(huán)保局從該市市區(qū)2024年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示(十位為莖，個位為葉).(1)從這15天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽出三天，求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率；(2)從這15天的數(shù)據(jù)中任取三天的數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望．11．為探討家用轎車在高速馬路上的車速狀況，交通部門隨機選取100名家用轎車駕駛員進行調(diào)查，得到在高速馬路上行駛時的平均車速狀況：在55名男駕駛員中，平均車速超過100km/h的有40名，不超過100km/h的有15名；在45名女駕駛員中，平均車速超過100km/h的有20名，不超過100km/h的有25名．(1)在被調(diào)查的駕駛員中，從平均車速不超過100km/h的駕駛員中隨機抽取2名，求這2名駕駛員中恰好有1名男駕駛員的概率；(2)以上述樣本數(shù)據(jù)估計總體，從高速馬路上行駛的家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車中平均車速超過100km/h且為男駕駛員的車輛數(shù)為X，求X的分布列．[戰(zhàn)疑難]12．一批產(chǎn)品共100件，其中有3件不合格品，從中隨機抽取n(n∈N*)件，用X表示所抽取的n件產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)．(1)若n＝2，求X的分布列；(2)求使X＝1的概率取得最大值時的n的值．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(9901)≈99.50)課時作業(yè)(十二)1．解析：X聽從超幾何分布，則P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(15)))，故選C.答案：C2．解析：方法一隨意抽取的2件產(chǎn)品中次品數(shù)X聽從超幾何分布，其中P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(45)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(50)))＝eq\f(9,49)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(45)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(50)))＝eq\f(2,245)，因此出現(xiàn)次品的概率為P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(47,245).方法二隨意抽取的2件產(chǎn)品中次品數(shù)X聽從超幾何分布，其中P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(45)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(50)))，故所求概率為P＝1－P(X＝0)＝1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(45)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(50)))＝eq\f(47,245).故選D.答案：D3．解析：隨機變量X的全部可能取值為1，2，3，4.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(4－k),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)))(k＝1，2，3，4).所以，隨機變量X的分布列為X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝1×eq\f(1,14)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(3,7)＋4×eq\f(1,14)＝eq\f(5,2)，故選B.答案：B4．解析：由題意，可得eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10－n)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10)))＝eq\f(8,21)，∴n(10－n)(9－n)(8－n)＝480，將選項中的值代入檢驗，知選C.答案：C5．解析：方法一隨機變量X的取值為0，1，2，則P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(7))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))＝eq\f(1,15).∴E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).方法二由題意知，隨機變量X聽從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝2，則由超幾何分布的均值公式和方差公式知E(X)＝eq\f(nM,N)＝eq\f(2×3,10)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)6．解析：由題意可知X的可能取值為0，1，2，且X聽從超幾何分布，即P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))，k＝0，1，2，所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＋eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)7．解析：設(shè)所得金額為X，則X的全部可能取值為6，9，12.P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)，P(X＝9)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)，P(X＝12)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,15).故X的分布列為X6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)8.解析：(1)設(shè)抽到他能背誦的課文的數(shù)量為X，則P(X＝r)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(3－r),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))(r＝0，1，2，3).所以P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,6).所以X的概率分布為X0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)(2)能及格的概率為：P(ξ≥2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).9．解析：(1)設(shè)“選出的3名同學是來自互不相同的學院”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＋Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(49,60).故選出的3名同學是來自互不相同學院的概率為eq\f(49,60).(2)隨機變量X的全部可能取值為0，1，2，3.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))(k＝0，1，2，3).隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).10．解析：(1)由題意知，這15天中達到一級標準的有5天，未達到一級標準的有10天．記“從這15天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達到一級”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))×Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＝eq\f(45,91).(2)由題意知，這15天中，超標的有5天，未超標的有10天．依據(jù)條件，ξ聽從超幾何分布，其中N＝15，M＝5，n＝3，ξ全部可能的取值為0，1，2，3，P(ξ＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(10)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))(k＝0，1，2，3).ξ的分布列為ξ0123Peq\f(24,91)eq\f(45,91)eq\f(20,91)eq\f(2,91)E(ξ)＝eq\f(nM,N)＝eq\f(3×5,15)＝1.11．解析：(1)平均車速不超過100km/h的駕駛員有40名，從中隨機抽取2名的方法總數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(40)).記“這2名駕駛員中恰好有1名男駕駛員”為事務(wù)A，則事務(wù)A所包含的基本領(lǐng)件數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(15))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(25))，所以所求的概率P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(15))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(25)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(40)))＝eq\f(15×25,20×39)＝eq\f(25,52).(2)依據(jù)樣本估計總體的思想，從總體中任取1輛車，平均車速超過100km/h且為男駕駛員的概率為eq\f(40,100)＝eq\f(2,5)，故X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(0)＝eq\f(8,125)，所以X的分布列為X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)12.解析：(1)當n＝2時，X的全部可能取值為0