2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章概率3.1離散型隨機變量的均值學(xué)案北師大版選擇性必修第一冊

PAGE§3離散型隨機變量的均值與方差3.1離散型隨機變量的均值必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1．怎樣求隨機變量X的均值？2．均值的性質(zhì)主要有哪些？1.離散型隨機變量的均值設(shè)離散型隨機變量X的分布列如表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．(1)數(shù)學(xué)期望的意義是什么？提示：它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．(2)隨機變量的均值與樣本平均值有什么區(qū)分？提示：隨機變量的均值是一個常數(shù)，它不依靠于樣本的抽取，而樣本的平均值是一個隨機變量，它隨樣本抽取的不同而改變．對于簡潔隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本的平均值越來越接近于總體的均值．2．均值的性質(zhì)(1)假如X為(離散型)隨機變量，則Y＝aX＋b(a，b為常數(shù))也是隨機變量，并且有EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b．(2)對于隨意實數(shù)a，b，X，Y都是隨機變量，肯定有E(aX＋bY)＝aEX＋bEY.1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX是個變量，其隨X的改變而改變．()(2)隨機變量的均值反映樣本的平均水平．()(3)若隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX＝2，則E(2X)＝4.()(4)隨機變量X的均值EX＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n).()提示：(1)×.隨機變量的數(shù)學(xué)期望EX是個常量，是隨機變量X本身固有的一個數(shù)字特征．(2)×.隨機變量的均值反映隨機變量取值的平均水平．(3)√.由均值的性質(zhì)可知．(4)×.因為EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.2．已知某一隨機變量ξ的分布列如表所示，若Eξ＝6.3，則a的值為()ξa79Pb0.10.4A.4B．5C．6D．7【解析】選A.依據(jù)隨機變量ξ的分布列的性質(zhì)，可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5，又Eξ＝ab＋7×0.1＋9×0.4＝6.3.所以a＝4.3．(教材例題改編)若隨機變量X的分布列為X123Paba則X的數(shù)學(xué)期望EX＝()A．2a＋bB．a(chǎn)＋2bC．2D．3【解析】選C.由EX＝X1P(X1)＋X2P(X2)＋…＋XnP(Xn)，所以EX＝1×a＋2×b＋3×a＝2(2a＋b)，而2a＋b＝1，所以EX＝2.4．設(shè)EX＝10，則E(3X＋5)＝________．【解析】E(3X＋5)＝3EX＋5＝3×10＋5＝35.答案：355．盒子里有4個球，其中1個紅球、1個綠球、2個黃球，從盒中隨機取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止．設(shè)此過程中取到黃球的個數(shù)為ξ，則P(ξ＝0)＝________；Eξ＝________．【解析】因為ξ＝0對應(yīng)事務(wù)為第一次拿紅球或第一次拿綠球、其次次拿紅球，所以P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，隨機變量ξ＝0，1，2，P(ξ＝1)＝eq\f(2,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝2)＝1－eq\f(1,3)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，所以Eξ＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＝1.答案：eq\f(1,3)1關(guān)鍵實力·合作學(xué)習(xí)類型一求離散型隨機變量的均值(數(shù)學(xué)運算)1．(2024·武漢高二檢測)某籃球運動員每次投籃未投中的概率為0.3，投中2分球的概率為0.4，投中3分球的概率為0.3，則該運動員投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為()A．1.5B．1.6C．1.7D．1.82．已知離散型隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)meq\f(1,27)則X的數(shù)學(xué)期望EX＝()A．eq\f(2,3)B．1C．eq\f(3,2)D．23．某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參與考試的機會，一旦某次考試通過，即可領(lǐng)取駕照，不再參與以后的考試，否則就始終考到第4次為止．假如李明確定參與駕照考試，設(shè)他每次參與考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內(nèi)李明參與駕照考試次數(shù)X的分布列和X的均值．【解析】1.選C.由已知得EX＝0×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝1.7.2．選B.由eq\f(8,27)＋eq\f(4,9)＋m＋eq\f(1,27)＝1，得m＝eq\f(2,9)，所以EX＝0×eq\f(8,27)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,27)＝1.3．X的取值分別為1，2，3，4.X＝1，表明李明第一次參與駕照考試就通過了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2，表明李明在第一次考試未通過，其次次通過了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X＝3，表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考試都未通過，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.所以李明實際參與考試次數(shù)X的分布列為k1234P(X＝k)0.60.280.0960.024所以X的均值為EX＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.求離散型隨機變量X的均值的步驟(1)理解X的實際意義，并寫出X的全部取值．(2)求出X取每個值的概率．(3)寫出X的分布列(有時也可省略).(4)利用定義公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．類型二離散型隨機變量均值的性質(zhì)(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)【典例】1.(2024·合肥高二檢測)已知隨機變量X的分布列如表所示，則E(2X－5)的值等于()X12345P0.10.2b0.20.1A.1B．2C．3D．42．(2024·太原高二檢測)隨機變量ξ的分布列如下，且滿意Eξ＝2，則E(aξ＋b)的值()ξ123PabcA.等于0B．等于1C．等于2D．無法確定，與a，b有關(guān)【解析】1.選A.由題得0.1＋0.2＋b＋0.2＋0.1＝1，所以b＝0.4，所以EX＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝3，所以E(2X－5)＝2EX－5＝2×3－5＝1.2．選B.由隨機變量ξ的分布列得到：a＋2b＋3c＝2，又a＋b＋c＝1，解得a＝c，所以2a＋b＝1，所以E(aξ＋b)＝aEξ＋b＝2a＋b＝1.aX＋b型的隨機變量均值的求法對于aX＋b型的隨機變量，可利用均值的性質(zhì)求解，即E(aX＋b)＝aEX＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比較兩種方式明顯前者較便利．(2024·天津高二檢測)已知離散型隨機變量ξ的分布列如下，若隨機變量η＝3ξ＋1，則η的數(shù)學(xué)期望為()ξ012P0.42kkA.3.2B．3.4C．3.6D．3.8【解析】選B.由題意，依據(jù)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)，可得0.4＋2k＋k＝1，解得k＝0.2，所以數(shù)學(xué)期望為Eξ＝0×0.4＋1×0.4＋2×0.2＝0.8，又由隨機變量η＝3ξ＋1，所以Eη＝3Eξ＋1＝3×0.8＋1＝3.4.類型三離散型隨機變量均值的實際應(yīng)用(數(shù)據(jù)分析)【典例】隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而生產(chǎn)1件次品虧損2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：元)為X.(1)求X的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的均值)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%，假如此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？【思路導(dǎo)引】eq\x(依據(jù)利潤的意義寫出X的取值)→eq\x(寫出X的分布列)→eq\x(求出均值EX)→eq\x(利用期望回答問題)【解析】(1)X的全部可能取值為6，2，1，－2.P(X＝6)＝eq\f(126,200)＝0.63，P(X＝2)＝eq\f(50,200)＝0.25，P(X＝1)＝eq\f(20,200)＝0.1，P(X＝－2)＝eq\f(4,200)＝0.02.故X的分布列為：X621－2P0.630.250.10.02(2)EX＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為EX＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29).依題意，EX≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多為3%.概率模型的三個解答步驟(1)審題，確定實際問題是哪一種概率模型，可能用到的事務(wù)類型，所用的公式有哪些．(2)確定隨機變量的分布列，計算隨機變量的均值．(3)比照實際意義，回答概率、均值等所表示的結(jié)論．在一次射擊競賽中，戰(zhàn)士甲得1分、2分、3分的概率分別為0.4，0.1，0.5；戰(zhàn)士乙得1分、2分、3分的概率分別為0.1，0.6，0.3，那么兩名戰(zhàn)士中獲勝希望較大的是誰？【解析】設(shè)這次射擊競賽戰(zhàn)士甲得X1分，戰(zhàn)士乙得X2分，則分布列分別如下：X1123P0.40.10.5X2123P0.10.60.3依據(jù)均值公式得EX1＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1；EX2＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2；因為EX2＞EX1，故這次射擊競賽戰(zhàn)士乙得分的均值較大，所以戰(zhàn)士乙獲勝的希望較大．備選類型利用基本不等式解決與離散型隨機變量有關(guān)的最值問題(數(shù)學(xué)運算)【典例】一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c∈(0，1))，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2(不計其他得分狀況)，則ab的最大值為()A．eq\f(1,48)B．eq\f(1,24)C．eq\f(1,12)D．eq\f(1,6)【解析】選D.3a＋2b＋0·c＝2，即3a＋2b＝2，所以6ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋2b,2)))eq\s\up12(2)＝1，因此ab≤eq\f(1,6)，當(dāng)且僅當(dāng)3a＝2b時取等號．本典例中條件不變，求eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值．【解析】eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,3b)))eq\f(3a＋2b,2)＝eq\f(1,2)(6＋eq\f(2,3)＋eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(2,3)＋2\r(\f(4b,a)·\f(a,b))))＝eq\f(16,3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)時取等號．所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值為eq\f(16,3).先依據(jù)數(shù)學(xué)期望公式得等量關(guān)系，再依據(jù)基本不等式求最值課堂檢測·素養(yǎng)達標1．已知Y＝5X＋1，EY＝6，則EX的值為()A．eq\f(6,5)B．5C．1D．31【解析】選C.因為EY＝E(5X＋1)＝5EX＋1＝6，所以EX＝1.2．今有兩臺獨立工作在兩地的雷達，每臺雷達發(fā)覺飛行目標的概率分別為0.9和0.85，設(shè)發(fā)覺目標的雷達臺數(shù)為X，則EX為()A．0.765B．1.75C．1.765D．0.22【解析】選B.X的取值為0，1，2，所以P(X＝0)＝0.1×0.15＝0.015，P(X＝1)＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，EX＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.3．已知0<a<eq\f(2,3)，隨機變量ξ的分布列如圖，則當(dāng)a增大時，ξ的期望Eξ的改變狀況是()ξ－101Peq\f(1,3)abA．Eξ增大B．Eξ減小C．Eξ先增后減D．Eξ先減后增【解析】選B.由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Eξ＝－\f(1,3)＋b,\f(1,3)＋a＋b＝1))?Eξ＝－eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)－a＝eq\f(1,3)－a，所以當(dāng)a增大時，ξ的期望Eξ減?。?．某船隊若出海后天氣好，可獲得5000元；若出海后天氣壞，將損失2000元；若不出海也要損失1000元．依據(jù)預(yù)料知天氣好的概率為0.6，則出海的期望效益是()A．2000元B．2200元C．2400元D．26