2024高考數(shù)學統(tǒng)考一輪復習第二章函數(shù)導數(shù)及其應用第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性教師文檔教案文北師大版

PAGE第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性授課提示：對應學生用書第16頁[基礎梳理]1．函數(shù)的奇偶性奇偶性條件圖像特點偶函數(shù)對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)隨意一個x，都有f(－x)＝f(x)關于y軸對稱奇函數(shù)對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)隨意一個x，都有f(－x)＝－f(x)關于原點對稱2.周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，假如存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：假如在周期函數(shù)f(x)的全部周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期．1．奇、偶函數(shù)的一個必要不充分條件奇、偶函數(shù)定義域的特點是關于原點對稱．函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件．2．奇偶性的兩個等價定義在定義域內(nèi)恒有若f(－x)＋f(x)＝0或eq\f(f（－x）,f（x）)＝－1(f(x)≠0)，則f(x)為奇函數(shù)，若f(－x)－f(x)＝0或eq\f(f（－x）,f（x）)＝1(f(x)≠0)，則f(x)為偶函數(shù)．3．奇偶性的六個重要結論(1)假如一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么肯定有f(0)＝0.(2)假如函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關于原點對稱的非空數(shù)集．(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．(5)偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)．(6)設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函數(shù)周期性常用的結論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x，(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a≠(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a≠0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a≠0)．5．函數(shù)對稱性問題的結論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖像關于直線x＝a對稱；(2)若對于R上的隨意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖像關于直線x＝(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)關于點(b，0)中心對稱．[四基自測]1．(基礎點：函數(shù)奇偶性推斷)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()A．y＝x＋1 B．y＝－x3C．y＝eq\f(1,x) D．y＝x|x|答案：D2．(基礎點：奇函數(shù)定義)設f(x)為奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝ex－1，則f(－1)＝________．答案：1－e3．(易錯點：奇函數(shù))(2024·高考全國卷Ⅰ改編)設函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax為奇函數(shù)，則a＝________．答案：14．(基礎點：奇函數(shù)圖像對稱性)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)的對稱中心為________．答案：(0，0)授課提示：對應學生用書第17頁考點一函數(shù)奇偶性的推斷挖掘1推斷詳細函數(shù)的奇偶性/自主練透[例1](1)已知函數(shù)f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，則f(x)()A．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)[解析]x∈R，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)，又因y1＝3x為增函數(shù)，y2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)為增函數(shù)，故y＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)為增函數(shù)，故選B.[答案]B(2)函數(shù)f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)[解析]由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0,x－1＞0))，知x＞1，定義域不關于原點對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù)．[答案]C(3)函數(shù)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)，則f(x)為()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)[解析]由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1≥0，,1－x2≥0，))得x＝±1，∴f(x)的定義域為{－1，1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，故f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，故選C.[答案]C[破題技法]1.函數(shù)y＝f(x)具有奇偶性，首先其定義域必需關于原點對稱，這樣f(x)與f(－x)才有意義．2．對一個函數(shù)而言，其奇偶性結果為：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，是非奇非偶函數(shù)，必具其一．挖掘2推斷非詳細函數(shù)的奇偶性/互動探究[例2](1)已知y＝f(x)滿意f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，則以下四個選項肯定正確的是()A．f(x－1)＋1是偶函數(shù) B．f(－x＋1)－1是奇函數(shù)C．f(x＋1)＋1是偶函數(shù) D．f(x＋1)－1是奇函數(shù)[解析]依據(jù)題中條件可知函數(shù)f(x)的圖像關于點(1，1)中心對稱，故f(x＋1)的圖像關于點(0，1)中心對稱，則f(x＋1)－1的圖像關于點(0，0)中心對稱，所以f(x＋1)－1是奇函數(shù)．故選D.[答案]D(2)設函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)[解析]由題意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，對于選項A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函數(shù)，故A項錯誤；對于選項B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|·g(x)是偶函數(shù)，故B項錯誤；對于選項C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)·|g(x)|是奇函數(shù)，故C項正確；對于選項D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，故D項錯誤，選C.[答案]C[破題技法]判定奇偶性的方法(1)定義法：確定函數(shù)的奇偶性時，必需先判定函數(shù)定義域是否關于原點對稱．若對稱，再化簡解析式后驗證f(－x)＝±f(x)或其等價形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．(2)圖像法：(3)性質(zhì)法：利用奇偶性的運算關系．考點二函數(shù)的周期性及應用挖掘利用周期求值/互動探究[例](1)(2024·高考全國卷Ⅱ)已知?(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿意?(1－x)＝?(1＋x)．若?(1)＝2，則?(1)＋?(2)＋?(3)＋…＋?(50)＝()A．－50 B．0C．2 D．50[解析]∵?(x)是奇函數(shù)，∴?(－x)＝－?(x)，∴?(1－x)＝－?(x－1)．由?(1－x)＝?(1＋x)，∴－?(x－1)＝?(x＋1)，∴?(x＋2)＝－?(x)，∴?(x＋4)＝－?(x＋2)＝－[－?(x)]＝?(x)，∴函數(shù)?(x)是周期為4的周期函數(shù)．由?(x)為奇函數(shù)得?(0)＝0.又∵?(1－x)＝?(1＋x)，∴?(x)的圖像關于直線x＝1對稱，∴?(2)＝?(0)＝0，∴?(－2)＝0.又?(1)＝2，∴?(－1)＝－2，∴?(1)＋?(2)＋?(3)＋?(4)＝?(1)＋?(2)＋?(－1)＋?(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴?(1)＋?(2)＋?(3)＋?(4)＋…＋?(49)＋?(50)＝0×12＋?(49)＋?(50)＝?(1)＋?(2)＝2＋0＝2.故選C.[答案]C(2)已知函數(shù)y＝f(x)，滿意y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，且f(1)＝eq\f(π,3)，設F(x)＝f(x)＋f(－x)，則F(3)＝()A.eq\f(π,3) B．eq\f(2π,3)C．π D．eq\f(4π,3)[解析]y＝f(－x)為偶函數(shù)，則y＝f(x)為偶函數(shù)，關于x＝0對稱，y＝f(x＋2)為偶函數(shù)，關于x＝2對稱，∴T＝4，∴F(x)＝f(x)＋f(－x)＝2f(x∴F(3)＝2f而f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝f(1)＝eq\f(π,3)，∴F(3)＝eq\f(2π,3).故選B.[答案]B[破題技法]1.若函數(shù)的最小正周期為T，在圖像上表現(xiàn)為每隔T單位，圖像相同，只是位置不同，在函數(shù)值上表現(xiàn)為f(x＋T)＝f(x)．2．求函數(shù)周期的方法方法解讀適合題型定義法詳細步驟為：對于函數(shù)y＝f(x)，假如能夠找到一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函數(shù)y＝f(x)的周期非零常數(shù)T簡單確定的函數(shù)遞推法采納遞推的思路進行，再結合定義確定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a為f(x)的一個周期含有f(x＋a)與f(x)的關系式換元法通過換元思路將表達式化簡為定義式的結構，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，則x＝t＋a，則f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a為f(x)的一個周期f(bx±a)＝f(bx±c)型關系式考點三函數(shù)性質(zhì)的綜合應用挖掘1利用性質(zhì)求解析式/互動探究[例1](1)(2024·高考全國卷Ⅱ)設f(x)為奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝ex－1，則當x<0時，f(x)＝()A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1[解析]當x<0時，－x>0，∵當x≥0時，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.故選D.[答案]D(2)設f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當x∈[0，1]時，f(x)＝log2(x＋1)，則函數(shù)f(x)在[1，2]上的解析式是________．[解析]令x∈[－1，0]，則－x∈[0，1]，結合題意可得f(x)＝f(－x)＝log2(－x＋1)，令x∈[1，2]，則x－2∈[－1，0]，故f(x)＝log2[－(x－2)＋1]＝log2(3－x)．故函數(shù)f(x)在[1，2]上的解析式是f(x)＝log2(3－x)．[答案]f(x)＝log2(3－x)挖掘2求函數(shù)值/互動探究[例2](1)對隨意的實數(shù)x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的圖像關于x＝1對稱，且f(0)＝2，則f(2019)＋fA．0 B．2C．3 D．4[解析]y＝f(x－1)的圖像關于x＝1對稱，則函數(shù)y＝f(x)的圖像關于x＝0對稱，∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，對于f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，令x＝－1，則f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，則f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，則f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，則函數(shù)f(x)的周期是2，又f(0)＝2，則f(2019)＋f(2020)＝f[答案]B(2)已知函數(shù)f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)的值為()A．3 B．0C．－1 D．－2[解析]設F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，明顯F(x)為奇函數(shù)，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，所以f(－a)＝0.故選B.[答案]B挖掘3求參數(shù)/互動探究[例3](1)設函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x(a為常數(shù))．若f(x)為奇函數(shù)，則a＝________．[解析]∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，e－x＋aex＝－ex－ae－x，∴(1＋a)e－x＋(1＋a)ex＝0，∴a＝－1.[答案]－1(2)(2024·高考全國卷Ⅱ)已知f(x)是奇函數(shù)，且當x<0時，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，則a＝________．[解析]設x＞0，則－x＜0.∵當x＜0時，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝e－ax，∴f(ln2)＝e－aln2＝(eln2)－a＝2－a.又∵f(ln2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.[答案]－3(3)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))為偶函數(shù)，則a＝__________．[解析]由題意得f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))＝f(－x)＝－xln(eq\r(a＋x2)－x)，所以eq\r(a＋x2)＋x＝eq\f(1,\r(a＋x2)－x)，解得a＝1.[答案]1挖掘4解不等式、比較大小/互動探究[例4](1)(2024·高考全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿意－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是()A．[－2，2] B．[－1，1]C．[0，4] D．[1，3][解析]∵函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減，且f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故選D.[答案]D(2)已知函數(shù)f(x)＝|x|(10x－10－x)，不等式f(1－2x)＋f(3)＞0的解集為()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)[解析]∵f(－x)＝|－x|(10－x－10x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝x(10x－10－x)為增函數(shù)，∴f(x)在R上是遞增函數(shù)，故f(1－2x)＋f(3)＞0?f(1－2x)＞－f