3.1.1-函數(shù)及其表示方法教學(xué)設(shè)計

第三章函數(shù)3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1.1函數(shù)及其表示方法教學(xué)設(shè)計函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決實際問題匯總發(fā)揮重要作用。函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線。本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念，不僅把函數(shù)理解為刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)語言和工具，也把函數(shù)理解為實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系；能用代數(shù)運算和函數(shù)圖象揭示函數(shù)的主要性質(zhì)；在現(xiàn)實問題中，能利用函數(shù)構(gòu)建模型，解決問題。【教學(xué)目標】1、在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用。了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域和值域。在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用。3、通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用?！竞诵乃仞B(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象：兩個變量關(guān)系中提出函數(shù)概念.直觀想象：用圖像法表示函數(shù)數(shù)學(xué)運算:對函數(shù)的定義域、值域的計算。數(shù)據(jù)分析：函數(shù)定義域和應(yīng)用數(shù)據(jù)的有效性?！窘虒W(xué)重點】了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù).了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用（函數(shù)分段不超過三段）.【教學(xué)難點】求函數(shù)的定義域和值域回顧初中所學(xué)的函數(shù)，在情境與問題中感受高中函數(shù)表達方式與初中的不同。一、函數(shù)的概念我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一些函數(shù)的知識，例如已經(jīng)總結(jié)出：在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù).再例如，我們知道y=2x是正比例函數(shù)，y=-3x-1是一次函數(shù)，y=-2是反比例函數(shù)，y=x2+2x-3是二次函數(shù)，等等。（1）國家統(tǒng)計局的課題組公布，如果將2005年中國創(chuàng)新指數(shù)記為100，近些年來中國創(chuàng)新指數(shù)的情況如下表所示。以y表示年度值，（1）國家統(tǒng)計局的課題組公布，如果將2005年中國創(chuàng)新指數(shù)記為100，近些年來中國創(chuàng)新指數(shù)的情況如下表所示。以y表示年度值，i表示中國創(chuàng)新指數(shù)的取值，則i是y的的函數(shù)嗎？如果是，這個函數(shù)用數(shù)學(xué)符號可以怎樣表示？（2）利用醫(yī)療儀器可以方便地測量出心臟在各時刻的指標值，據(jù)此可以描繪出心電圖，如下圖所示。醫(yī)生在看心電圖時，會根據(jù)圖形的整體形態(tài)來給出診斷結(jié)果（如根據(jù)兩個峰值的間距來得出心率等）.如果用t表示測量的時間，v表示測量的指標值，則v是t的函數(shù)嗎？如果是，這個函數(shù)用數(shù)學(xué)符號可以怎樣表示？初中實際上是用變量的觀點和解析式來描述函數(shù)的，但從情境與問題中的兩個實例可知，初中的方法有一定的局限性：情境與問題中的i是y的函數(shù)，v是t的函數(shù)，但是這兩個函數(shù)與初中的函數(shù)有所不同，比如都很難用一個解析式表示，而且每個變量的取值范圍也有了限制，等等。一般地，給定兩個非空實數(shù)集A與B，以及對應(yīng)關(guān)系f，如果對于集合A中的每一個實數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的實數(shù)y與x對應(yīng)，則稱f為定義在集合A上的一個函數(shù)，記作y=f（x），x∈A，其中x稱為自變量，y稱為因變量，自變量取值的范圍（即數(shù)集A）稱為這個函數(shù)的定義域，所有函數(shù)值組成的集合{y∈B|y=f（x），x∈A}稱為函數(shù)的值域.函數(shù)的這種定義強調(diào)的是“對應(yīng)關(guān)系”，對應(yīng)關(guān)系也可用其他小寫英文字母如g，h等表示。值得注意的是，這種函數(shù)的表示中，自變量與因變量用什么字母來表示是無關(guān)緊要的，例如函數(shù)f（x）=2x+1，x∈R與y=2s+1，s∈R應(yīng)該看成同一個函數(shù).習(xí)慣上，人們總用x表示自變量，y表示因變量.更一般地，如果兩個函數(shù)表達式表示的函數(shù)定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同（即對自變量的每一個值，兩個函數(shù)表達式得到的函數(shù)值都相等），則稱這兩個函數(shù)表達式表示的就是同一個函數(shù).例如y=，，x∈R與g（x）=|x|，x∈R表示同一個函數(shù).在表示函數(shù)時，如果不會產(chǎn)生歧義，函數(shù)的定義域通常省略不寫，此時就約定：函數(shù)的定義域就是使得這個函數(shù)有意義的所有實數(shù)組成的集合。在上述約定下，以下表達式都可以表示函數(shù)f（x）=2x+1，x∈R：f（x）=2x+1，y=2x+1.【典型例題】例1求下列函數(shù)的定義域：（1）f（x）=（2）g（x）=解（1）因為函數(shù)有意義當且僅當x+1≥0解得x＞-1，所以函數(shù)的定義域為（-1，+∞）（2）因為函數(shù)有意義當且僅當x≠0x+2≠0解得x≠0且x≠-2，因此函數(shù)的定義域為（-∞，-2）∪（-2，0）∪（0，+∞）以下都是求函數(shù)定義域常用的依據(jù)：（1）分式中分母不能為零；（2）二次根式中的被開方數(shù)要大于或等于零.例2設(shè)函數(shù)g（x）=的值域為S，分別判斷-和3是否是S中的元素.解由于≥0恒成立，所以=-無解，因此-?S.當=3時，可解得x=8，即g（8）=3，所以3∈S.例2的解法，實質(zhì)上是在用方程判斷一個數(shù)是否屬于函數(shù)的值域.例3已知f(x)=（1）求f（-1），f（0）和f（2）；（2）求函數(shù)f（x）的值域.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】判斷方程判斷方程是否有解，由此給出求函數(shù)f（x）值域的一種方法。解（1）由已知可得f（-1）=f（0）=f（2）=（2）（方法一）因為x≥0，所以x2+1≥1恒成立，從而可知又因為當x的絕對值逐漸變大時，函數(shù)值會逐漸接近于0，但不會等于0，因此所求函數(shù)的值域為（0，1].（方法二）假設(shè)t是所求值域中的元素，則關(guān)于x的方程應(yīng)該有解，即應(yīng)該有解，從而即解得0<t≤1.因此所求值域為（0，1].例3（2）中的方法一實質(zhì)上用的是不等式的性質(zhì).二、函數(shù)的表示方法前面我們所接觸到的函數(shù)y=f（x）中，絕大多數(shù)f（x）都是用代數(shù)式（或解析式）來表示的，例如f（x）=2x+1，這種表示函數(shù)的方法稱為解析法.前面給出的關(guān)于中國創(chuàng)新指數(shù)的函數(shù)，實際上是用列表的形式給出了函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，這種表示函數(shù)的方法稱為列表法.如果將這個函數(shù)記為i=f（y），則從表格中可以看出f（2013）=152.6，f（2015）=171.5另外，如果將這個函數(shù)的定義域記為D，值域記為S，則有D={2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，S={116.5,125.5,131.8,139.6,148.2,152.6,158.2,171.5}前面給出的與心電圖有關(guān)的函數(shù)，實際上是用圖的形式給出了函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.一般地，將函數(shù)y=f（x），x∈A中的自變量x和對應(yīng)的函數(shù)值y，分別看成平面直角坐標系中點的橫坐標與縱坐標，則滿足條件的點（x，y）組成的集合F稱為函數(shù)的圖像，即F={（x，y）|y=f（x），x∈A）.這就是說，如果F是函數(shù)y=f（x）的圖像，則圖像上任意一點的坐標（x，y）都滿足函數(shù)關(guān)系y=f（x）；反之，滿足函數(shù)關(guān)系y=f（x）的點（x，y）都在函數(shù)的圖像F上.用函數(shù)的圖像表示函數(shù)的方法稱為圖像法.從理論上來說，要作出一個函數(shù)的圖像，只需描出所有點即可.但是，很多函數(shù)的圖像都由無窮多個點組成，描出所有點并不現(xiàn)實.因此，實際作圖時，經(jīng)常先描出函數(shù)圖像上一些有代表性的點，然后再根據(jù)有關(guān)性質(zhì)作出函數(shù)圖像，這稱為描點作圖法.例如，我們知道，一次的數(shù)y=-x+1的圖像是一條直線，又易知圖像過點（0，1）和（1，0），所以容易作出其圖像如下圖所示.【典型例題】例4北京市自2014年5月1日起，居民用水實行階梯水價：年用水量不超過180m3的部分，水價為5元/m3；超過180m3但不超過260m3的部分，水價為7元/m3.如果北京市一居民年用水量為xm3，其要繳納的水費為f（x）元。假設(shè)0≤x≤260，試寫出f（x）的解析式，并作出f（x）的圖像.解如果x∈[0，180]，則f（x）=5x；如果x∈（180，260]，按照題意有f（x）=5×80+7（x-180）=7x-360.因此f（x）=5x，x∈[0，180]7x-360，x∈（180，260]注意到f（x）在不同的區(qū)間上，解析式都是一次函數(shù)的形式，因此y=f（x）在每個區(qū)間上的圖像都是直線的一部分，又因為f（180）=5×180=900，f（260）=7×60-360=1460，由此可作出函數(shù)圖像如下所示.如果一個函數(shù)，在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對應(yīng)方式，則稱其為分段函數(shù).【嘗試與發(fā)現(xiàn)】函數(shù)D（x）=1，函數(shù)D（x）=1，x∈Q=0，x?Q被稱為秋利克雷函數(shù)，你能說出這個函數(shù)的定義域、值域嗎？你能作出這個函數(shù)的圖像嗎？可以看出，狄利克雷函數(shù)的定義域為R，值域為{0，1}，但它的圖像不能形象地展示出來。例5設(shè)x為任意一個實數(shù)，y是不超過x的最大整數(shù)，判斷這種對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)。如果是，作出這個函數(shù)的圖像；如果不是，說明理由?！緡L試與發(fā)現(xiàn)】依照題意填寫下表，然后判斷對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)。依照題意填寫下表，然后判斷對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)。解因為當n∈Z且x∈[n，n+1）時，有y=n，因為任何一個實數(shù)x，都必定在某個形如[n，n+1）的區(qū)間內(nèi).因此給定一個x，有唯一的y與之對應(yīng)，所以這種對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)。由上可看出，在每一個區(qū)間[n，n+1）內(nèi)，函數(shù)的圖像是直線的一部分，由此可作出這個函數(shù)的圖像如下圖所示。例5中的函數(shù)通常稱為取整函數(shù)，記作y=[x]，其定義域是R，值域是Z這個函數(shù)早在18世紀就被“數(shù)學(xué)王子”高斯提出，因此也被稱為高斯取整函數(shù).在以后的學(xué)習(xí)中，我們還會碰到值域只有一個元素的函數(shù)，這類函數(shù)通常稱為常數(shù)函數(shù).也就是說，常數(shù)函數(shù)中所有自變量對應(yīng)的函數(shù)值都相等.例如f（x）=7，x∈R是一個常數(shù)函數(shù)，它的值域是{7}，圖像是一條垂直于y軸的直線.例6已知函數(shù)y=，指出這個函數(shù)的定義域、值域，并作出這個函數(shù)的圖像.解函數(shù)的定義域為[0，+∞）.由y=在y≥0時有解可知，函數(shù)的值域為[0，+∞）.通過描點作圖法，可以作出這個函數(shù)的圖像如下圖所示.由上可以看出，函數(shù)可以通過多種方式表示，而且函數(shù)的解析式也具有多種形式.在確定函數(shù)的解析式時，可以借助方程或方程組的知識，使用待定系數(shù)法完成，如例7所示.例7已知二次函數(shù)的圖像過點（-1，4），（0，1），（1，2），求這個二次函數(shù)的解析式.解設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），則a-b+c=4，c=1，a+b+c=2.由此可解得a=2，b=-1，c=1，因此所求函數(shù)解析式為y=2x2-x+1.例8已知f（x）=x2，求f（x-1）.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】求出f（求出f（0），f（1），f（2）的值，再求出f（a），f（a-1）.解由已知可得f（x-1）=(x-1)2=x2-2x+1.例8中，如果設(shè)g（x）=f（x-1），則有g(shù)（x）=x2-2x+1，因此g（x）與f（x）是不同的函數(shù).【探索與研究】已知f（已知f（x-1）=x2，你能求出f（x）的解析式嗎？試總結(jié)f（x）與f（x-1）的關(guān)系.三、用信息技術(shù)作函數(shù)圖像