理科數(shù)學一輪復習高考幫試題第8章第2講空間點直線平面之間的位置關系（考題幫數(shù)學理）

第二講空間點、直線、平面之間的位置關系題組空間點、直線、平面之間的位置關系1.[2016浙江,2,5分][理]已知互相垂直的平面α,β交于直線l,若直線m,n滿足m∥α,n⊥β,則()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n2.[2015廣東,6,5分]若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是()A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交3.[2015北京,4,5分][理]設α,β是兩個不同的平面,m是直線且m?α.“m∥β”是“α∥β”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.[2016全國卷Ⅱ,14,5分][理]α,β是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m?α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.其中正確的命題有.(填寫所有正確命題的編號)

5.[2016浙江,14,4分]如圖821,已知平面四邊形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=5,∠ADC=90°.沿直線AC將△ACD翻折成△ACD',直線AC與BD'所成角的余弦的最大值是.

圖821A組基礎題1.[2018益陽市、湘潭市高三調(diào)考,10]G,N,M,H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有()A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④2.[2018重慶六校第一次聯(lián)考,4]設a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則α∥β的一個充分條件是()A.存在一條直線a,a∥α,a∥βB.存在一條直線a,a?α,a∥βC.存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥αD.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α3.[2017湖北七市高三聯(lián)考,5]設直線m與平面α相交但不垂直,則下列說法中正確的()A.在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B.過直線m有且只有一個平面與平面α垂直C.與直線m垂直的直線不可能與平面α平行D.與直線m平行的平面不可能與平面α垂直4.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市聯(lián)考,11]α,β,γ是三個不同的平面,m,n是兩條不同的直線,下列命題正確的是()A.若α∩β=m,n?α,m⊥n,則α⊥βB.若α⊥β,α∩β=m,α∩γ=n,則m⊥nC.若m不垂直于平面α,則m不可能垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線D.若m⊥α,n⊥β,m∥n,則α∥β5.[2017廣東省惠州市高三三調(diào),11]如圖822是一幾何體的平面展開圖,其中四邊形ABCD為正方形,E,F分別為PA,PD的中點,在此幾何體中,給出下面4個結論:其中正確的有()圖822①直線BE與直線CF異面;②直線BE與直線AF異面;③直線EF∥平面PBC;④平面BCE⊥平面PAD.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個B組提升題6.[2018湘東五校聯(lián)考,5]已知直線m,l,平面α,β,且m⊥α,l?β,給出下列命題:①若α∥β,則m⊥l;②若α⊥β,則m∥l;③若m⊥l,則α⊥β;④若m∥l,則α⊥β.其中正確的命題是()A.①④ B.③④ C.①② D.①③7.[2018遼寧省五校聯(lián)考,10]在四面體ABCD中,若AB=CD=3,AC=BD=2,AD=BC=5,則直線AB與CD所成角的余弦值為()A.13 B.14 C.148.[2017成都市三診,8][數(shù)學文化題]在我國古代數(shù)學名著《九章算術》中,將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖823,在鱉臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,則異面直線AC與BD所成角的余弦值為()圖823A.12 B.12 C.32 9.[2017武漢市武昌區(qū)高三三調(diào),16]若四面體ABCD的三組對棱分別相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,給出下列結論:①四面體ABCD每組對棱相互垂直;②四面體ABCD每個面的面積相等;③從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°;④連接四面體ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分;⑤從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長.其中正確結論的序號是.(寫出所有正確結論的序號)

答案1.C因為α∩β=l,所以l?β,又n⊥β,所以n⊥l.故選C.2.D可用反證法.假設l與l1,l2都不相交,因為l與l1都在平面α內(nèi),于是l∥l1,同理l∥l2,于是l1∥l2,與已知矛盾,故l至少與l1,l2中的一條相交.故選D.3.B若m?α且m∥β,則平面α與平面β不一定平行,有可能相交;而m?α且α∥β一定可以推出m∥β,所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件.故選B.4.②③④對于命題①,可運用長方體舉反例證明其錯誤:圖D824如圖D824,不妨設AA'為直線m,CD為直線n,ABCD所在的平面為α,ABC'D'所在的平面為β,顯然這些直線和平面滿足題目條件,但α⊥β不成立.命題②正確,證明如下:設過直線n的某平面與平面α相交于直線l,則l∥n,由m⊥α知m⊥l,從而m⊥n,結論正確.由平面與平面平行的定義知命題③正確.由平行的傳遞性及線面角的定義知命題④正確.5.66作BE∥AC,BE=AC,連接D'E,則∠D'BE為所求的角或其補角,作D'N⊥AC于點N,設M為AC的中點,連接BM,則BM⊥AC,作NF∥BM交BE于F,連接D'F,設∠D'NF=θ,∵D'N=56=306,BM=FN=152=302,∴D'F2=2535cosθ,∵AC⊥D'N,AC⊥FN,∴D'F⊥AC,∴D'F⊥BE,又BF=MN=63,∴在Rt△D'FB中,D'B2=95cosθ,∴cos∠D'BE=BFD'B=6A組基礎題1.C由題意,可知題圖①中,GH∥MN,因此直線GH與MN共面;題圖②中,G,H,N三點共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面;題圖③中,連接MG,則GM∥HN,因此直線GH與MN共面;題圖④中,連接GN,G,M,N三點共面,但H?平面GMN,所以直線GH與MN異面.故選C.2.D對于選項A,若存在一條直線a,a∥α,α∥β,則α∥β或α與β相交,若α∥β,則存在一條直線a,使得a∥α,a∥β,所以選項A的內(nèi)容是α∥β的一個必要條件;同理,選項B,C的內(nèi)容也是α∥β的一個必要條件而不是充分條件;對于選項D,可以通過平移把兩條異面直線平移到一個平面中,成為相交直線,則有α∥β,所以選項D的內(nèi)容是α∥β的一個充分條件.故選D.3.B對于選項A,在平面α內(nèi)可能有無數(shù)條直線與直線m垂直,這些直線是互相平行的,選項A錯誤;對于選項B,只要m?α,過直線m必有并且也只有一個平面與平面α垂直,選項B正確;對于選項C,類似于選項A,在平面α外可能有無數(shù)條直線垂直于直線m并且平行于平面α,選項C錯誤;對于選項D,與直線m平行且與平面α垂直的平面有無數(shù)個,選項D錯誤.選B.4.D對于選項A,直線n是否垂直于平面β未知,所以平面α不一定垂直于平面β,選項A錯誤;對于選項B,由條件只能推出直線m與n共面,不能推出m⊥n,選項B錯誤;對于選項C,命題“若m不垂直于平面α,則m不可能垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線”的逆否命題是“若直線m垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則m垂直平面α”,這不符合線面垂直的判定定理,選項C錯誤;對于選項D,因為n⊥β,m∥n,所以m⊥β,又m⊥α,所以α∥β,選項D正確.選D.5.B將展開圖還原為幾何體(如圖D825),圖D825因為E,F分別為PA,PD的中點,所以EF∥AD∥BC,即直線BE與CF共面,①錯;因為B?平面PAD,E∈平面PAD,E?AF,所以BE與AF是異面直線,②正確;因為EF∥AD∥BC,EF?平面PBC,BC?平面PBC,所以EF∥平面PBC,③正確;平面PAD與平面BCE不一定垂直,④錯.故選B.B組提升題6.A對于①,若α∥β,m⊥α,l?β,則m⊥l,故①正確,排除B.對于④,若m∥l,m⊥α,則l⊥α,又l?β,所以α⊥β,故④正確.選A.圖D8267.D如圖D826所示,設長方體AECGHDFB中CE,CF,FB的長分別為a,b,c,CD與EF交于點O,則a2+b2=3,b2+c2=5,a2+c2=4,解得a=1,b=2,c=3,即CE=1,CF=2,FB=3,∵EF8.A如圖D827,圖D827分別取AB,AD,BC,BD的中點E,F,G,O,連接EF,EG,OG,FO,FG,則EF∥BD,EG∥AC,所以∠FEG為異面直線AC與BD所成角.易知FO∥AB,因為AB⊥平面BCD,所以FO⊥OG,設AB=2a,則EG=EF=2a,FG=a2+a2=2a,所以∠FEG=60°,所以異面直線AC與BD9.②④⑤對于①,如圖D828,AE,CF分別為BD邊上的高,由三角形全等可知DE=BF,當且僅當AD=AB,CD=BC時,E,F重合,此時AC⊥BD,所以當四面體ABCD為正四面體時,每組對棱相互垂直,故①錯誤;對于②,因為AB=CD,AC=BD,AD=BC,所以四面體四個面全等,所以四面體ABCD每個面的面積相等,故②正確;對于③,當四面體為正四面體時,同一個頂點出發(fā)的任意兩條棱的夾角均為60°,此時四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等于180°,故③錯誤;對于④,如圖D829,G,H,I,J為各邊中點,因為A