浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高三下學(xué)期適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷-1

浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2024屆高三下學(xué)期適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷說明:本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘，本次考試不得使用計算器，請考生將所有題目都做在答題卷上.一、單選題:本大題共8小題，毎小題5分，共40分.1.設(shè)集合，則的子集個數(shù)是（）A.3 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】化簡集合，求出判斷子集個數(shù).【詳解】，，，所以的子集個數(shù)為個.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位)，若且，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式即可得解.【詳解】由且，得，解得，則.故選：B.3.已知是邊長為1的正三角形，是上一點且，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得，由三點共線求得，利用向量數(shù)量積運算求解.【詳解】，，且，而三點共線，，即，，所以.故選：A.4.已知數(shù)列滿足點在直線上，的前n項和為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出，從而可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合即可求解.【詳解】因為數(shù)列滿足點在直線上，所以.因為，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，則.設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，，所以，即的最小值為.故選:C.5.已知棱長為1的正方體分別是AB和BC的中點，則MN到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】延長交延長線于點，連接，由幾何關(guān)系證明MN到平面的距離即點到平面的距離，再由等體積法求出結(jié)果即可；【詳解】延長交延長線于點，連接，，因為分別是AB和BC的中點，則，由正方體的性質(zhì)可得，所以，又平面，平面，所以平面，所以MN到平面的距離即點到平面的距離，設(shè)為，則，因為正方體的棱長為1，所以，，，所以，即，故選：C.6.已知函數(shù)的最小值為，則（）A. B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】先由二倍角的余弦公式，輔助角公式化簡，再由與相交的兩個交點的最近距離為，結(jié)合解出即可.【詳解】，因為，所以，因為當(dāng)時，對應(yīng)的的值分別為，所以與相交的兩個交點的最近距離為，又的最小值為，所以，即，故選：A.7.已知橢圓的左、右焦點分別為，點A，B在上，直線傾斜角為，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由橢圓焦半徑公式求出，結(jié)合條件列式運算得解.【詳解】根據(jù)題意，，所以直線的傾斜角為，由橢圓焦半徑公式得，，，，即，化簡得，.故選：D.8.己知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明，代入可比較大小，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷的大小，從而可求解.【詳解】設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，即，所以，即，所以，即.由，可得，即，即，所以，即.綜上所述，.故選:B.二、多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分.9.下列選項中正確的有（）A.若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于1B.在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高C.已知隨機變量服從正態(tài)分布，則D.若數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2【答案】BD【解析】【分析】由線性相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可得A錯誤；由殘差圖的意義可得B正確；由正態(tài)分布的對稱性可得C錯誤；利用方差的性質(zhì)可得D正確；【詳解】A：若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于1，故A錯誤；B：在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高，故B正確；C：由隨機變量服從正態(tài)分布，所以根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得，故C錯誤；D：設(shè)數(shù)據(jù)的方差為，因為數(shù)據(jù)的方差為8，所以，解得，故D正確；故選：BD.10.設(shè)拋物線，弦AB過焦點，過A，B分別作拋物線的切線交于點，則下列結(jié)論一定成立的是（）A.存在點，使得 B.的最小值為2C. D.面積的最小值為4【答案】BCD【解析】【分析】設(shè),聯(lián)立直線和拋物線的方程，得,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的方程，可得，，再逐項判斷即可.【詳解】易知，準線方程為，設(shè),由，消去可得,，則.不妨設(shè)在第一象限，因為，則,則則的方程為，即，即，即，即.同理可得的方程為.聯(lián)立，可得，即,則在拋物線的準線上.又，所以，即.對于A，因為，所以，即，故A錯誤；對于B，設(shè)準線與軸交于點，因為在拋物線的準線上，所以，即的最小值為2，故B正確；對于C，因為，，所以∽，所以，即，故C正確；對于D，.設(shè)到直線的距離為,則,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故面積的最小值為4，故D正確.故選:BCD.【點睛】關(guān)鍵點睛：已知切點和拋物線，則拋物線在處的切線方程為；已知切點和拋物線，則拋物線在處的切線方程為.11.已知數(shù)列，其前n項和為，若存在常數(shù)，對任意的，恒有，則稱為數(shù)列.則下列說法正確的是（）A.若是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，則為數(shù)列B.若為數(shù)列，則也為數(shù)列C.若為數(shù)列，則也為數(shù)列D.若均為數(shù)列，則也為數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】對A，根據(jù)題意可得，利用數(shù)列的定義求解判斷；對B，舉反例不合題意；對C，根據(jù)條件得，結(jié)合數(shù)列的定義和絕對值三角不等式可判斷；對D，由數(shù)列是數(shù)列，可得，，結(jié)合絕對值三角不等式可證，得解.【詳解】對于A，，于是，，故A正確；對于B，若，顯然數(shù)列是數(shù)列，，但，所以數(shù)列不是數(shù)列，故B錯誤；對于C，因為數(shù)列是數(shù)列，所以存在正數(shù)，對于任意的，有，即，所以，所以數(shù)列是數(shù)列，故C正確；對于D，若數(shù)列是數(shù)列，則存在正數(shù)，對任意的，有，，因為，同理可得，記，，則有，所以數(shù)列也是數(shù)列，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題是新定義問題的求解，關(guān)鍵是理解新定義，將新定義問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來進行求解.三、填空題:本大題共3小題，每題5分，共15分.答案填在題中的橫線上.12.已知雙曲線的離心率，則雙曲線的漸近線方程為____________.【答案】【解析】【分析】由雙曲線的離心率可得到，再由焦點在軸上的漸近線方程為求出即可.【詳解】因為雙曲線的離心率，所以，又雙曲線，所以漸近線方程為，故答案為：.13.已知圓錐的軸截面面積為，則該圓錐的外接球半徑的最小值為____________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，可得，，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最值.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則，設(shè)圓錐的外接球的半徑為，則無論球心在圓錐內(nèi)還是圓錐外，都有，則，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故答案為：2.14.面積為1的滿足為的內(nèi)角平分線且D在線段上，當(dāng)邊的長度最?時，的值是____________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，，由得，且，進而，在中，由余弦定理結(jié)合基本不等式求得的最小值時，，從而得到答案.詳解】設(shè)，，則，從而，因為，又，所以，且，從而，在中，由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)取最小值時，，此時，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵是利用余弦定理求出的表達式，并結(jié)合條件和基本不等式得到的最小值時的條件.四、解答題:本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性;（2）若對任意的恒成立，求的范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后分和討論導(dǎo)數(shù)的正負即可；（2）當(dāng)時，代入函數(shù)求出，當(dāng)時，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后再次構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)分析單調(diào)性，最終求出即可；【小問1詳解】，當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，解得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】當(dāng)時，，符合題意，此時；當(dāng)時，因為恒成立，即恒成立，令，則，再令，則恒成立，則在單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以16.在空間四邊形ABCD中，.（1）求證:平面平面ABC;（2）對角線BD上是否存在一點，使得直線AD與平面ACE所成角為.若存在求出的值，若不存在說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）取的中點，連,可證明，，根據(jù)線面垂直與面面垂直的判定定理即可證明；（2）以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出與平面法向量的坐標(biāo)，根據(jù)即可求解.【小問1詳解】取的中點，連,因為，所以，且.又，則，且.又，則，則.因為平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】易知兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,,則.設(shè)，則.則.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即.又,所以，即，即，解得或（舍去），因為，所以,所以，所以.故.17.鎮(zhèn)海中學(xué)籃球訓(xùn)練營有一項三人間的傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.若剛好抽到甲乙丙三個人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為，（1）寫出，，的值;（2）求與的關(guān)系式，并求;（3）第1次仍由甲將球傳出，若首次出現(xiàn)連續(xù)兩次球沒在甲手中，則傳球結(jié)束，記此時的傳球次數(shù)為，求的期望.【答案】（1），，；（2），；（3）4【解析】【分析】（1）分析傳球的情況，寫出，，的值；（2）分析傳球次時的情況，得到與的關(guān)系式，利用待定系數(shù)法，構(gòu)造新數(shù)列，求出新數(shù)列的通項公式，從而得到的通項公式；（3）分析傳球兩次結(jié)束的情況，以及傳球兩次后求回到甲手中的情況，列出關(guān)系式，求出.【小問1詳解】傳球一次，球一定不在甲手中，所以；傳球兩次，球在甲手中時，有兩種情況，甲乙甲，甲丙甲，所以；傳球三次，球在甲手中，說明傳球兩次時球不在甲手中，概率為，此時傳給甲的概率為，所以.【小問2詳解】傳球次時球在甲手中，說明傳球次時球不在甲手中，概率為，此時，傳球給甲的概率為，所以有，所以，所以，因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，，故與的關(guān)系式為，.【小問3詳解】的最小取值為2，表示傳球2次后，球連續(xù)兩次不在甲手中，有兩種情況，甲乙丙，甲丙乙，所以，若傳球2次后，球在甲手中，則回到了最初的狀態(tài)，所以有，即，解得，所以的期望為4.18.已知，動點滿足，動點的軌跡為曲線交于另外一點交于另外一點.（1）求曲線的標(biāo)準方程;（2）已知是定值，求該定值;（3）求面積的范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)點的坐標(biāo)，由題意可得點的恒縱坐標(biāo)的關(guān)系，即可得到曲線的標(biāo)準方程；（2）設(shè)直線和直線的方程，然后與橢圓的方程聯(lián)立，即可得到的坐標(biāo)關(guān)系，進而可得為定值；（3）由題意可得的比值，由題意可得面積的表達式，再由函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】令且，因為，所以，整理可得，所以的標(biāo)準方程為.【小問2詳解】設(shè)，，，設(shè)直線和直線的方程分別為，，聯(lián)立直線與橢圓方程，整理可得，則，，聯(lián)立直線與橢圓方程，整理可得，可得，，又因為，，所以，所以，即，同理可得，，即，所以.設(shè)，，，設(shè)，則有，又，可得，同理可得，所以.【小問3詳解】不妨設(shè)，于是，因此，又因為，所以，設(shè)，，則，，，所以在單調(diào)遞增，則.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了橢圓中的定值問題與橢圓中的三角形面積問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，表示出三角形面積公式，代入計算.19.已知無窮數(shù)列，構(gòu)造新數(shù)列滿足，滿足，，滿足，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等差數(shù)列；同理令，，，，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等比數(shù)列.（1）已知為二階等差數(shù)列，且，，，求的通項公式；（2）若為階等差數(shù)列，為一階等比數(shù)列，證明：為階等比數(shù)列；（3）已知，令的前項和為，，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）直接根據(jù)二階等差數(shù)列的定義求解；（2）先確定是階等差數(shù)列的充分必要條件，再對已知條件進行轉(zhuǎn)化即可；（3）先用數(shù)學(xué)歸納法證明，再利用該結(jié)果證明結(jié)論；或者先用導(dǎo)數(shù)方法證明，再利用該結(jié)果證明結(jié)論.【小問1詳解】由知，故可設(shè).所以，故.從而，代入，可得，所以.故的通項公式為：.【小問2詳解】先證明2個引理.引理1：對任意非負整數(shù)，存在，使得對任意正整數(shù)成立，這里約定.證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論.當(dāng)時，有，取即可，故結(jié)論成立；假設(shè)結(jié)論對成立，則.故可設(shè)，這就得到.所以取，，即可，這得到結(jié)論對成立.由數(shù)學(xué)歸納法即知引理1成立.引理2：是階等差數(shù)列的充分必要條件是能夠表示為關(guān)于的至多次的多項式形式，即.證明：我們對使用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時，結(jié)論顯然成立；對，假設(shè)結(jié)論對成立，考慮的情形：一方面，如果，則有.故由于結(jié)論對成立，知是階等差數(shù)列，所以是階等差數(shù)列；另一方面，如果是階等差數(shù)列，則是階等差數(shù)列.故由于結(jié)論對成立，知的通項公式具有形式.故.據(jù)引理1可知，每個都可以表示為的形式，故.綜上，結(jié)論對成立.由數(shù)學(xué)歸納法知引理2成立.回到原題.由于為一階等比數(shù)列，故恒