《導(dǎo)數(shù)及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《導(dǎo)數(shù)及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計教學(xué)設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖問題探究1探究1已知物體運動的位移與時間的關(guān)系為.（1）分別求出物體在與這兩段時間內(nèi)的平均速度;（2）思考物體在時的速度該如何定義,并指出這一速度的實際意義.結(jié)論:（1）根據(jù)平均速度等于平均變化率可知,在內(nèi),物體的平均速度為；在這段時間內(nèi),物體的平均速度為.（2）不難想到,如果記時物體的速度為,那么當(dāng)很小時,物體在以2和為端點的閉區(qū)間上的平均速度應(yīng)該是的近似值，即.而且當(dāng)無限接近于0時,近似會越來越精確,此時,可以看出是無限接近于2的,如下表所示.因此,可以認為時,物體的速度這個速度通常稱為瞬時速度(簡稱為速度).這一速度的實際意義是,在附近的任意一小段時間內(nèi),物體運動的位移的近似值為.教師出示問題,引導(dǎo)學(xué)生計算物體在與,3]這兩段時間段內(nèi)的平均速度,學(xué)生完成計算后回答.教師引導(dǎo)學(xué)生分別計算上述問題的2.001時間段內(nèi)的平均速度,說出自己的發(fā)現(xiàn),并初步修正到最終的結(jié)論上.培養(yǎng)學(xué)生的動手能力以及數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).通過問題的探究體會逼近的數(shù)學(xué)思想方法.提醒學(xué)生符號表示的意義.概念形成11.瞬時變化率(即導(dǎo)數(shù))的概念一般地,設(shè)函數(shù)在附近有定義,自變量在處的改變量為,當(dāng)無限接近于0時,若平均變化率無限接近于一個常數(shù),那么稱常數(shù)為函數(shù)在處的瞬時變化率.此時,也稱在處可導(dǎo),并稱為在的導(dǎo)數(shù),即.2.瞬時變化率的實際意義瞬時變化率的實際意義是當(dāng)自變量在處的改變量很小時,因變量對應(yīng)的改變量的近似值為.先讓學(xué)生根據(jù)自己的理解說一說瞬時變化率的概念和實際意義，然后教師給予必要的解釋和總結(jié).通過對導(dǎo)數(shù)概念的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).問題探究2探究2已知函數(shù),設(shè)自變量在處的改變量為.（1）依照定義求出;（2）設(shè)為函數(shù)圖像上一點,探討無限接近于0時,直線具有什么樣的性質(zhì).結(jié)論:(1)顯然,平均變化率.可以看出,當(dāng)無限接近于0時,無限接近于1,因此.（2）從幾何上來看,如圖所示,點對應(yīng)的都小于0,而且對應(yīng)的更加接近于0,這也就是說,直線的斜率都小于1,且的斜率更接近于1;類似地,點對應(yīng)的都大于0,而且對應(yīng)的更加接近于0,直線的斜率都大于1,且的斜率更接近于1.因此,若為函數(shù)圖像上一點,則無限接近于0時,直線的斜率將無限接近于1,直線將無限接近于過點且斜率為1的直線.這里的直線就是曲線在處的切線.教師出示問題,引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出,學(xué)生動手計算,得出結(jié)果.教師利用信息技術(shù)工具動態(tài)演示函數(shù)圖上的直線的斜率的變化過程,再次強調(diào)可以是正值,也可以是負值,但不能為0.小組展開討論,利用極限思想,得出當(dāng)無限接近于0時,直線的斜率無限接近1,直線將無限接近直線.直線就是曲線在處的切線.通過觀察和討論，探究得出導(dǎo)數(shù)的幾何意義，培養(yǎng)學(xué)生利用極限思想解決問題的能力.概念形成21.曲線的割線與切線一般地,如圖所示,設(shè)是平面上的一條曲線,是曲線上的一個定點,是曲線上附近的點,則稱直線為曲線的割線,如果無限接近于時,割線無限接近于通過的一條直線,則稱直線為曲線在點處的切線.2.切線的斜率與切線的方程依照切線的定義可知,如果將函數(shù)的圖像看成曲線(稱為曲線,下同),而且曲線在點處的切線為,則很小時,是附近的一點,割線的斜率是，則當(dāng)無限接近于0時,切線的斜率將無限趨近于切線的斜率.這就是說,就是曲線在點處(也稱在處)切線的斜率,即.從而根據(jù)直線的點斜式方程可知,切線的方程是.3.利用導(dǎo)數(shù)估計函數(shù)值當(dāng)很小時,,這就是“以直代曲”的思想.教師歸納曲線在某一點處的割線與切線的定義，以及割線斜率與切線斜率的關(guān)系，學(xué)生理解并記憶.教師指導(dǎo)學(xué)生寫出切線的方程.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).應(yīng)用舉例例1已知函數(shù),求在處的導(dǎo)數(shù).解當(dāng)自變量在處的改變量為時,平均變化率.可以看出,當(dāng)無限接近于0時,無限接近于,因此.練習(xí):教材第72頁練習(xí)第2題.例2在生產(chǎn)過程中,產(chǎn)品的總成本一般來說是產(chǎn)量,的函數(shù),記作,稱為總成本函數(shù),為了方便起見,經(jīng)濟學(xué)家一般假設(shè)能在某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)地取值,并將總成本函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)稱為在處的邊際成本,用表示,即.已知某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為,求邊際成本,并說明其實際意義.解設(shè)時產(chǎn)量的改變量為,則.令,可得.因此,產(chǎn)量為300的邊際成本為600,其實際意義是:此時多生產(chǎn)1件產(chǎn)品,成本要增加600.練習(xí):教材第68頁例.例3已知函數(shù)，求曲線在處切線的方程解因為.，又因為，所以所求切線方程為，即.練習(xí)：教材第70頁例4.教師出示例1，先讓學(xué)生板演，再評價講解.學(xué)生完成練習(xí)交流討論，教師巡視，收集信息，及時評價.學(xué)生自學(xué)例2，教師指導(dǎo)評價.學(xué)生完成練習(xí)，師生共同核對答案.教師出示例3，引導(dǎo)學(xué)生完成后再評價講解.教師讓學(xué)生板演，找學(xué)生評價，共同核對答案.讓學(xué)生掌握求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)的方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，以及用所學(xué)知識解決實際問題的能力.強化導(dǎo)數(shù)的幾何意義，掌握求曲線在某點處切線的方程的方法.課堂小結(jié)1.（1）瞬時速度與瞬時變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念；（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義2.本節(jié)用到了極限思想、以直代曲的思想.學(xué)生歸納小結(jié)，教師補充完善.構(gòu)建知識和方法框架，從整體上把握本節(jié)所學(xué)內(nèi)容.布置作業(yè)1.教材第72頁練習(xí)A第4題.2.教材第72頁練習(xí)B第1，2，3，4，5題.學(xué)生獨立完成，教師批閱.通過完成作業(yè)，鞏固本節(jié)所學(xué)知識.板書設(shè)計導(dǎo)數(shù)及其幾何意義1.瞬時變化率與導(dǎo)數(shù)（1）瞬時變化率(即導(dǎo)數(shù))的概念一般地,設(shè)函數(shù)在附近有定義,自變量在處的改變量為,當(dāng)無限接近于0時,若平均變化率無限接近于一個常數(shù),那么稱常數(shù)為函數(shù)在處的瞬時變化率.此時,也稱在處可導(dǎo),并稱為在的導(dǎo)數(shù),即（2）瞬時變化率的實際意義瞬時變化率的實際意義是當(dāng)自變量在處