新高考數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)分章節(jié)特訓(xùn)專題07隨機(jī)事件的概率(原卷版+解析)

專題7隨機(jī)事件的概率例1．從裝有兩個白球和兩個黃球的口袋中任取2個球，以下給出了四組事件：①至少有1個白球與至少有1個黃球；②至少有1個黃球與都是黃球；③恰有1個白球與恰有1個黃球；④恰有1個白球與都是黃球．其中互斥而不對立的事件共有（）A．0組 B．1組C．2組 D．3組例2．設(shè)A與B是互斥事件，A，B的對立事件分別記為A，B，則下列說法正確的是（）A．與互斥 B．與互斥C． D．例3．一袋中裝有5個大小形狀完全相同的小球，其中紅球3個，白球2個，從中任取2個小球，若事件“2個小球全是紅球”的概率為，則概率為的事件是（）A．恰有一個紅球 B．兩個小球都是白球C．至多有一個紅球 D．至少有一個紅球例4．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋ǎ〢． B． C． D．例5．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．至少有一個黑球與都是紅球B．至少有一個黑球與都是黑球C．至少有一個黑球與至少有一個紅球D．恰有1個黑球與恰有2個黑球例6．給出下列四個命題：①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件；②“當(dāng)x為某一實(shí)數(shù)時，可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“從100個燈泡(含有10個次品)中取出5個，5個全是次品”是隨機(jī)事件．其中正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1C．2 D．3例7．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是”為事件，“向上的點(diǎn)數(shù)是”為事件，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．與是對立事件 B．與是互斥事件C． D．例8．根據(jù)某醫(yī)療研究所的調(diào)查，某地區(qū)居民血型的分布為型，型，型，型.現(xiàn)有一血液為型病人需要輸血，若在該地區(qū)任選一人，那么能為病人輸血的概率為（）A． B．C． D．例9．把語文、數(shù)學(xué)、英語三本學(xué)習(xí)書隨機(jī)地分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人一本，則事件A：“甲分得語文書”，事件B：“乙分得數(shù)學(xué)書”，事件C：“丙分得英語書”，則下列說法正確的是（）A．A與B是不可能事件 B．A＋B＋C是必然事件C．A與B不是互斥事件 D．B與C既是互斥事件也是對立事件例10．一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，給出下列4個結(jié)論，其中正確的有（）A．從中任取3球，恰有一個白球的概率是B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數(shù)的方差為C．現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為例11．某教授為了測試貧困地區(qū)和發(fā)達(dá)地區(qū)的同齡兒童的智力，出了10道智力題，每道題10分，然后作了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：貧困地區(qū)參加測試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)162752104256402得60分以上的頻率發(fā)達(dá)地區(qū)參加測試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)172956111276440得60分以上的頻率（1）計(jì)算兩地區(qū)參加測試的兒童得60分以上的頻率(保留兩位小數(shù))；（2）根據(jù)頻率估計(jì)兩地區(qū)參加測試的兒童得60分以上的概率.例12．某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運(yùn)動員參加某運(yùn)動會的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況．規(guī)定一名運(yùn)動員出線記1分，未出線記0分．假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為，，，他們出線與未出線是相互獨(dú)立的．（1）求在這次選拔賽中，這三名運(yùn)動員至少有一名出線的概率；（2）記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運(yùn)動員的得分之和為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列．例13．移動公司在國慶期間推出套餐，對國慶節(jié)當(dāng)日辦理套餐的客戶進(jìn)行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐1的客戶可獲得優(yōu)惠元，選擇套餐2的客戶可獲得優(yōu)惠元，選擇套餐3的客戶可獲得優(yōu)惠元．國慶節(jié)當(dāng)天參與活動的人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示，現(xiàn)將頻率視為概率．（1）求從中任選1人獲得優(yōu)惠金額不低于300元的概率；（2）若采用分層抽樣的方式從參加活動的客戶中選出6人，再從該6人中隨機(jī)選出2人，求這2人獲得相等優(yōu)惠金額的概率．例14．甲?乙兩隊(duì)舉行圍棋擂臺賽，規(guī)則如下：兩隊(duì)各出3人，排定1，2，3號.第一局，雙方1號隊(duì)員出場比賽，負(fù)的一方淘汰，該隊(duì)下一號隊(duì)員上場比賽.當(dāng)某隊(duì)3名隊(duì)員都被淘汰完，比賽結(jié)束，未淘汰完的一方獲勝.如圖表格中，第m行?第n列的數(shù)據(jù)是甲隊(duì)第m號隊(duì)員能戰(zhàn)勝乙隊(duì)第n號隊(duì)員的概率.0.50.30.20.60.50.30.80.70.6（1）求甲隊(duì)2號隊(duì)員把乙隊(duì)3名隊(duì)員都淘汰的概率；（2）比較第三局比賽，甲隊(duì)隊(duì)員和乙隊(duì)隊(duì)員哪個獲勝的概率更大一些？例15．某射手射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：X78910P0.10.40.30.2現(xiàn)該射手進(jìn)行兩次射擊，以兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為ξ.（1）求ξ＞7的概率；（2）求ξ的分布列．例16．已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查.（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；②設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.例17．袋中有紅球和白球若干(都多于2個)，從中任意取出兩個小球，設(shè)恰有一個紅球的概率為，沒有紅球的概率為，則至多有一個紅球的概率為________．例18．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，那么摸出黑球的概率是________．例19．若隨機(jī)事件、互斥，、發(fā)生的概率均不等于0，且分別為，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____．例20．下列四種說法：①命題“，使得”的否定是“，都有”；②“”是“直線與直線相互垂直”的必要不充分條件；③過點(diǎn)（，1）且與函數(shù)圖象相切的直線方程是．④一個袋子裝有2個紅球和2個白球，現(xiàn)從袋中取出1個球，然后放回袋中，再取出一個球，則兩次取出的兩個球恰好是同色的概率是.其中正確說法的序號是_________．專題7隨機(jī)事件的概率例1．從裝有兩個白球和兩個黃球的口袋中任取2個球，以下給出了四組事件：①至少有1個白球與至少有1個黃球；②至少有1個黃球與都是黃球；③恰有1個白球與恰有1個黃球；④恰有1個白球與都是黃球．其中互斥而不對立的事件共有（）A．0組 B．1組C．2組 D．3組【解析】①中“至少有1個白球”與“至少有1個黃球”可以同時發(fā)生，如恰有1個白球和1個黃球，①中的兩個事件不是互斥事件．②中“至少有1個黃球”說明可以是1個白球和1個黃球或2個黃球，則兩個事件不互斥．③中“恰有1個白球”與“恰有1個黃球”，都是指有1個白球和1個黃球，因此兩個事件是同一事件．④中兩事件不能同時發(fā)生，也可能都不發(fā)生，因此兩事件是互斥事件，但不是對立事件;故選:B.例2．設(shè)A與B是互斥事件，A，B的對立事件分別記為A，B，則下列說法正確的是（）A．與互斥 B．與互斥C． D．【解析】根據(jù)互斥事件的定義可知，A與，與都有可能同時發(fā)生，所以A與互斥，與互斥是不正確的；P(A+B)=P(A)+P(B)正確；與既不一定互斥，也不一定對立，所以D錯誤.故選：C．例3．一袋中裝有5個大小形狀完全相同的小球，其中紅球3個，白球2個，從中任取2個小球，若事件“2個小球全是紅球”的概率為，則概率為的事件是（）A．恰有一個紅球 B．兩個小球都是白球C．至多有一個紅球 D．至少有一個紅球【解析】因?yàn)?，所以概率為的事件是?個小球全是紅球”的對立事件，應(yīng)為：“一個紅球一個白球”與“兩個都是白球”的和事件，即為“至多有一個紅球”．故選：C.例4．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋ǎ〢． B． C． D．【解析】由題意，甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可得甲不輸?shù)母怕蕿?故選：A.例5．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．至少有一個黑球與都是紅球B．至少有一個黑球與都是黑球C．至少有一個黑球與至少有一個紅球D．恰有1個黑球與恰有2個黑球【解析】從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，可能的結(jié)果有：“兩個黑球”，“一黑一紅”，“兩個紅球”.“至少有一個黑球”包含事件：“兩個黑球”，“一黑一紅”，A中，事件“至少有一個黑球”與事件“都是紅球”是對立事件，不符合要求；B中，事件“至少有一個黑球”包含事件“都是黑球”，兩個事件是包含關(guān)系，不是互斥事件，不符合要求；C中，事件“至少有一個紅球”包含事件：“兩個紅球”，“一黑一紅”，兩個事件都包含事件“一黑一紅”，不是互斥事件；D中，“恰有1個黑球”表示事件“一黑一紅”，與事件“恰有2個黑球”是互斥事件，但是不對立．故選：D.例6．給出下列四個命題：①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件；②“當(dāng)x為某一實(shí)數(shù)時，可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“從100個燈泡(含有10個次品)中取出5個，5個全是次品”是隨機(jī)事件．其中正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1C．2 D．3【解析】對于①，三個球全部放入兩個盒子，有兩種情況：1+2和3+0，故必有一個盒子有一個以上的球，所以該事件是必然事件，①正確；對于②，x=0時x2=0，所以該事件不是不可能事件，②錯誤；對于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以該事件是隨機(jī)事件，③錯誤；對于④，“從100個燈泡(含有10個次品)中取出5個，5個全是次品”，發(fā)生與否是隨機(jī)的，所以該事件是隨機(jī)事件，④正確．故正確命題有2個.故選：C．例7．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是”為事件，“向上的點(diǎn)數(shù)是”為事件，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．與是對立事件 B．與是互斥事件C． D．【解析】由題意知，為不可能事件，表示向上的點(diǎn)數(shù)是，所以，事件與事件是互斥事件，不是對立事件.故選：B.例8．根據(jù)某醫(yī)療研究所的調(diào)查，某地區(qū)居民血型的分布為型，型，型，型.現(xiàn)有一血液為型病人需要輸血，若在該地區(qū)任選一人，那么能為病人輸血的概率為（）A． B．C． D．【解析】由題意可知，能為型病人輸血的有型和型，因此，在該地區(qū)任選一人，那么能為病人輸血的概率為.故選：D.例9．把語文、數(shù)學(xué)、英語三本學(xué)習(xí)書隨機(jī)地分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人一本，則事件A：“甲分得語文書”，事件B：“乙分得數(shù)學(xué)書”，事件C：“丙分得英語書”，則下列說法正確的是（）A．A與B是不可能事件 B．A＋B＋C是必然事件C．A與B不是互斥事件 D．B與C既是互斥事件也是對立事件【解析】事件A，B，C都是隨機(jī)事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故A，B選項(xiàng)都不正確；A，B可能同時發(fā)生，故A，B不互斥，C選項(xiàng)正確，B與C既不是互斥事件也不是對立事件，D選項(xiàng)錯誤，因此選項(xiàng)A，B，D錯，C正確.例10．一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，給出下列4個結(jié)論，其中正確的有（）A．從中任取3球，恰有一個白球的概率是B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數(shù)的方差為C．現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為【解析】A.恰有一個白球的概率，故A正確；B.每次任取一球，取到紅球次數(shù)X～B，其方差為，故B正確；C．設(shè)A＝{第一次取到紅球}，B＝{第二次取到紅球}．則P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝，故C錯誤；D．每次取到紅球的概率P＝，所以至少有一次取到紅球的概率為，故D正確．故選：ABD.例11．某教授為了測試貧困地區(qū)和發(fā)達(dá)地區(qū)的同齡兒童的智力，出了10道智力題，每道題10分，然后作了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：貧困地區(qū)參加測試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)162752104256402得60分以上的頻率發(fā)達(dá)地區(qū)參加測試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)172956111276440得60分以上的頻率（1）計(jì)算兩地區(qū)參加測試的兒童得60分以上的頻率(保留兩位小數(shù))；（2）根據(jù)頻率估計(jì)兩地區(qū)參加測試的兒童得60分以上的概率.【解析】（1）貧困地區(qū)表格從左到右分別為0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；發(fā)達(dá)地區(qū)表格從左到右分別為0.57，0.58，0.56，0.56，0.55，0.55.（2）根據(jù)頻率估計(jì)貧困地區(qū)參加測試的兒童得60分以上的概率為0.52，發(fā)達(dá)地區(qū)參加測試的兒童得60分以上的概率為0.56.例12．某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運(yùn)動員參加某運(yùn)動會的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況．規(guī)定一名運(yùn)動員出線記1分，未出線記0分．假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為，，，他們出線與未出線是相互獨(dú)立的．（1）求在這次選拔賽中，這三名運(yùn)動員至少有一名出線的概率；（2）記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運(yùn)動員的得分之和為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列．【解析】（1）記“甲出線”為事件，“乙出線”為事件，“丙出線”為事件，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件，則.（2）由題意可得，的所有可能取值為，，，，；；；；的分布列為：例13．移動公司在國慶期間推出套餐，對國慶節(jié)當(dāng)日辦理套餐的客戶進(jìn)行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐1的客戶可獲得優(yōu)惠元，選擇套餐2的客戶可獲得優(yōu)惠元，選擇套餐3的客戶可獲得優(yōu)惠元．國慶節(jié)當(dāng)天參與活動的人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示，現(xiàn)將頻率視為概率．（1）求從中任選1人獲得優(yōu)惠金額不低于300元的概率；（2）若采用分層抽樣的方式從參加活動的客戶中選出6人，再從該6人中隨機(jī)選出2人，求這2人獲得相等優(yōu)惠金額的概率．【解析】（1）設(shè)事件為“從中任選人獲得優(yōu)惠金額不低于元”，則.（2）設(shè)事件為“從這人中選出人，他們獲得相等優(yōu)惠金額”，由題意按分層抽樣方式選出的人中，獲得優(yōu)惠元的有人，獲得優(yōu)惠元的有人，獲得優(yōu)惠元的有人，分別記為：，，，，，，從中選出人的所有基本事件如下：，，，，，，，，，，，，，，，共個．其中使得事件B成立的有，，，，共4個．則.故這人獲得相等優(yōu)惠金額的概率為.例14．甲?乙兩隊(duì)舉行圍棋擂臺賽，規(guī)則如下：兩隊(duì)各出3人，排定1，2，3號.第一局，雙方1號隊(duì)員出場比賽，負(fù)的一方淘汰，該隊(duì)下一號隊(duì)員上場比賽.當(dāng)某隊(duì)3名隊(duì)員都被淘汰完，比賽結(jié)束，未淘汰完的一方獲勝.如圖表格中，第m行?第n列的數(shù)據(jù)是甲隊(duì)第m號隊(duì)員能戰(zhàn)勝乙隊(duì)第n號隊(duì)員的概率.0.50.30.20.60.50.30.80.70.6（1）求甲隊(duì)2號隊(duì)員把乙隊(duì)3名隊(duì)員都淘汰的概率；（2）比較第三局比賽，甲隊(duì)隊(duì)員和乙隊(duì)隊(duì)員哪個獲勝的概率更大一些？【解析】解：（1）甲隊(duì)2號隊(duì)員把乙隊(duì)3名隊(duì)員都淘汰的概率為（2）第3局比賽甲隊(duì)隊(duì)員獲勝可分為3個互斥事件（i）甲隊(duì)1號勝乙隊(duì)3號，概率為；（ii）甲隊(duì)2號勝乙隊(duì)2號，概率為；(iii)甲隊(duì)3號勝乙隊(duì)1號，概率為故第3局甲隊(duì)隊(duì)員勝的概率為.則第3局乙隊(duì)隊(duì)員勝的概率為因?yàn)?，故甲?duì)隊(duì)員獲勝的概率更大一些．例15．某射手射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：X78910P0.10.40.30.2現(xiàn)該射手進(jìn)行兩次射擊，以兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為ξ.（1）求ξ＞7的概率；（2）求ξ的分布列．【解析】（1）P(ξ＞7)＝1－P(ξ＝7)＝1－0.1×0.1＝0.99.（2）ξ的可能取值為7，8，9，10.P(ξ＝7)＝0.12＝0.01，P(ξ＝8)＝2×0.1×0.4＋0.42＝0.24，P(ξ＝9)＝2×0.1×0.3＋2×0.4×0.3＋0.32＝0.39，P(ξ＝10)＝2×0.1×0.2＋2×0.4×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36.∴ξ的分布列為X78910P0.010.240.390.36例16．已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查.（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；②設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人.（2）①隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3.P（X=k）=（k=0，1，2，3）.所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P②設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，由①知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.所以，事件A發(fā)生的概率為.例17．袋中有紅球和白球若干(都多于2個)，從中任意取出兩個小球，設(shè)恰有一個紅球的概率為，沒有紅球的概率