恒成立問題常見類型及其解法

恒成立問題常見類型及解法“恒成立”問題是數(shù)學(xué)中常見的問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換主元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法,在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。恒成立問題在解題過程中解法通常有:①變量分離法；②構(gòu)造函數(shù)法；③更換主元法；④數(shù)形結(jié)合法.一、變量分離法：例1：當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，ax-2>0恒成立，求a的取值范圍.變量分離法：將不等式中的兩個(gè)變量分別置于不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解.

例2:

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.

解：當(dāng)時(shí)，由得.令則易知在上是減函數(shù)，，∴.所以二、構(gòu)造函數(shù)法：nmoxynm

oxynoxym例1：當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，ax-2>0恒成立，求a的取值范圍.例2:

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.

解：原不等式可轉(zhuǎn)化為

對

例3：不等式

對

恒成立，求的范圍。

ⅱ）當(dāng)

時(shí)由圖可得以下充要條件：得綜合可得的取值范圍為.ⅰ)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，對一切恒成立；恒成立1oyx原不等式等價(jià)于

則

另解：變式：不等式對恒成立，求的范圍.令t=x-1>0,則p>-[t+4+4/t]∈(-∞,-8]例4：設(shè)

，如果

恒成立，求

的范圍.設(shè)

解：原不等式等價(jià)于可求得三.變換主元法：

數(shù)形結(jié)合法4.數(shù)形結(jié)合法4.

數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，要熟練掌握一些概念和運(yùn)算的幾何意義及常見曲線的代數(shù)特征.

4.數(shù)形結(jié)合法要使對一切，恒成立，例6：當(dāng)

時(shí)，不等式

恒成立，求的范圍.

解：設(shè)則的圖象為下圖所示的拋物線，xyo121y1=(x-1)2顯然,并且必須也只需當(dāng)時(shí)，的函數(shù)值大于

的函數(shù)值即可。

y2=logaxxyo121y1=(x-1)2y2=logax歸納變量分離構(gòu)造函數(shù)變換主元實(shí)質(zhì)通過構(gòu)造函數(shù)，化歸到函數(shù)的性質(zhì)（最值）或圖像解決數(shù)