控制工程基礎(chǔ)第二章2

第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型所謂系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型就是描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式,它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與性能的內(nèi)在聯(lián)系。建立起控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、設(shè)計、綜合，是控制系統(tǒng)的基本研究方法。機(jī)械、電氣、液壓的系統(tǒng)，其輸入輸出的關(guān)系都可以用微分方程式來描述。而要了解系統(tǒng)對輸入量的動態(tài)響應(yīng)，按古典的方法就必須解微分方程式，但對高階系統(tǒng)就是很麻煩的工作。為了解決這一問題，控制工程采用了傳遞函數(shù)的概念，應(yīng)用拉普拉斯變換與反變換的數(shù)學(xué)工具，得到系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。

建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合，是控制工程的基本方法。微分方程（時間域）代數(shù)方程（復(fù)數(shù)域）傳遞函數(shù)方塊圖信號流圖拉氏變換拉氏反變換物理系統(tǒng)原始數(shù)學(xué)模型本書中所涉及的數(shù)學(xué)模型：微分方程是基本的數(shù)學(xué)模型，是列寫傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以從理論分析和試驗的方法來獲取，兩種方法是相輔相成的。理論分析可以大致確定數(shù)學(xué)模型的階次、參數(shù)與結(jié)構(gòu)，而試驗的方法可以最終確定數(shù)學(xué)模型的形式。從理論上建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，常稱為理論建模，本章重點研究。

如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性的，這種系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。一個系統(tǒng)，無論是用代數(shù)方程還是用微分方程來描述，其組成項的最高指數(shù)稱為方程的次數(shù)。一次微分方程叫做線性微分方程；除此以外非一次的微分方程稱為非線性微分方程。當(dāng)系統(tǒng)的動態(tài)特性可由線性微分方程來描述時，該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。

.線性系統(tǒng)第二節(jié)線性微分方程式的建立一．列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟： P12將系統(tǒng)劃分環(huán)節(jié)，確定各環(huán)節(jié)的輸入及輸出信號，每個環(huán)節(jié)列寫一個方程；根據(jù)物理定律或通過實驗得出的物理規(guī)律列寫各環(huán)節(jié)的原始方程，并適當(dāng)簡化，線性化；將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，削去中間變量，最后得到只含有輸入（等式右邊）、輸出變量（等式左邊）以及參量的系統(tǒng)方程式。只要保證方程的個數(shù)比中間變量個數(shù)多1，那么肯定能消除中間變量。機(jī)械系統(tǒng)微分方程——基礎(chǔ)知識1機(jī)械系統(tǒng)微分方程——基礎(chǔ)知識2機(jī)械系統(tǒng)微分方程——基礎(chǔ)知識3電氣系統(tǒng)微分方程——基礎(chǔ)知識1電氣系統(tǒng)微分方程——基礎(chǔ)知識2幾階系統(tǒng)？幾階系統(tǒng)？例1質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)例2無源電路網(wǎng)絡(luò)例3電樞控制式直流電動機(jī)（自學(xué)）將上面四個方程聯(lián)立，可得單輸入、單輸出系統(tǒng)微分方程的一般形式：

第四節(jié)拉普拉斯變換

—一種解線性微分方程的簡便方法是分析工程控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)方法

為什么將其引入？第四節(jié)拉普拉斯變換

—一種解線性微分方程的簡便方法是分析工程控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)方法

微分方程（時間域）代數(shù)方程（復(fù)數(shù)域）拉氏變換拉氏反變換傳遞函數(shù)一、拉普拉斯變換的定義：對于函數(shù)，滿足下列條件象函數(shù)原函數(shù)復(fù)變量量綱二、簡單函數(shù)的拉氏變換單位階躍函數(shù)

0t12.單位斜坡的拉氏變換例2－3求單位斜坡函數(shù)f(t)=t的拉氏變換。單位斜坡函數(shù)如圖所示，定義為

f(t)t3．求單位脈沖函數(shù)的拉氏變換f(t)tδ(t)單位脈沖函數(shù)如右圖所示解

4. 指數(shù)函數(shù)

0t1應(yīng)記住的

一些簡單函數(shù)的

拉氏變換原函數(shù)象函數(shù)二、拉氏變換的主要定理1、線性定理微分定理兩個重要推論：積分定理兩個推論：4初值定理5終值定理6時域位移定理延時定理007復(fù)域位移定理記憶：時域位移定理復(fù)域位移定理原函數(shù)象函數(shù)8相似定理9卷積分的象函數(shù)

三、拉氏反變換拉氏反變換方法：利用拉氏變換表（附錄A）,只需記住其中4個，其他可推出。利用部分分式展開法，然后再利用已知函數(shù)的拉氏變換和拉氏變換的定理原函數(shù)象函數(shù)時域位移定理復(fù)域位移定理記住以上4個拉氏變換及以上兩個定理，其中拉氏變換表P20

?？刂葡到y(tǒng)象函數(shù)的一般形式：

將分母因式分解后，包括三種不同的極點情況，采用部分分式法進(jìn)行拉氏反變換使分子為零的S值稱為函數(shù)的零點使分母為零的S值稱為函數(shù)的極點1、只含有不同單極點情況：2、含有共扼復(fù)極點情況：使方程兩邊實部和虛部分別相等，得由此得，為了確定A,用s乘以方程兩邊，并令s=0,得則F（s)的拉普拉斯反變換為則F（s)的拉普拉斯反變換為3、含有多重極點情況：其中的求法：用拉氏變換解微分方程的步驟：對微分方程進(jìn)行拉氏變換；作因變量的拉氏反變換，求出微分方程的時間解。四、用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程一、傳遞函數(shù)概念：在全部零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出象函數(shù)與輸入象函數(shù)之比。2-4傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程為：見P29例題2-17控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)典型形式：傳遞函數(shù)的性質(zhì)：傳遞函數(shù)是在拉氏變換基礎(chǔ)上，以系統(tǒng)本身參數(shù)描述的線性定常系統(tǒng)輸入量和輸出量的關(guān)系式，是s的有理真分式，它表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)在的固有特性，與輸入量無關(guān)；傳遞函數(shù)有無量綱，根據(jù)輸入、輸出量綱而定；傳遞函數(shù)不表明系統(tǒng)物理特性和物理結(jié)構(gòu)。三、傳遞函數(shù)的優(yōu)點P29下面兩行

工程中常見的系統(tǒng)，雖然物理結(jié)構(gòu)及其工作原理不同，但從傳遞函數(shù)角度看，卻是有一些典型的傳遞函數(shù)組成。我們把這些典型的傳遞函數(shù)稱為環(huán)節(jié)，它并不代表一個元件，有時可以由多個元件構(gòu)成，只是代表一種作用。對以下方程進(jìn)行拉氏變換控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)典型形式：二、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)比例環(huán)節(jié)時間域方程指出幾種常見的比例環(huán)節(jié)的物理模型？一般來說，此環(huán)節(jié)是一個元件積分環(huán)節(jié)時間域方程例題2-19指出幾種常見的比例環(huán)節(jié)的物理模型？例題2-19積分器（自學(xué)）-3一階慣性環(huán)節(jié)時間域方程時間常數(shù)例題2-20指出幾種常見的比例環(huán)節(jié)的物理模型？4微分環(huán)節(jié)1、理想微分環(huán)節(jié)2、一階微分環(huán)節(jié)（后文講）時間域方程指出幾種常見的比例環(huán)節(jié)的物理模型？理想微分環(huán)節(jié)物理模型（自學(xué)）2、近似微分環(huán)節(jié)物理模型，例題2-225二階振蕩環(huán)節(jié)時間域方程指出幾種常見的比例環(huán)節(jié)的物理模型？P12式2-2或5二階振蕩環(huán)節(jié)1、試分析該系統(tǒng)有哪些典型環(huán)節(jié)組成？控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)典型形式：2、試寫出上式的拉式反變換結(jié)果？控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)典型形式：做課后題2-3補(bǔ)充：

在控制工程領(lǐng)域，人們習(xí)慣于用方塊圖說明和討論問題，方塊圖是系統(tǒng)中各個元件功能和信號流向的圖解表示，它清楚地表明系統(tǒng)中各個環(huán)節(jié)間的相互關(guān)系，便于對系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究?？驁D結(jié)構(gòu)框圖函數(shù)框圖

第六節(jié)框圖及其應(yīng)用1、方塊圖單元-2、相加點（比較點）3、分支點（引出點）一框圖單元，相加點和分支點1串聯(lián)二框圖基本連接方式2并聯(lián)3反饋連接

-+-

聯(lián)立并削去中間變量+4、幾個概念前向通路定義：P36,G(S)為前向通道傳遞函數(shù)。G(s)H(s)稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。反饋回路定義：P36,H(s)為反饋回路傳遞函數(shù)，注意：開環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)是不一樣的當(dāng)H(s)=1時，我們將系統(tǒng)稱為單位反饋系統(tǒng)或全反饋系統(tǒng)。反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為？？？5、推導(dǎo)四個傳遞函數(shù)P361、推導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

即X(S)輸入，Y(S)輸出，N(S)=0。2、推導(dǎo)系統(tǒng)的擾動傳遞函數(shù)。

即N(S)輸入，Y(S)輸出，X(S)=0。

下面介紹，P37方框圖繪制方法。

3、推導(dǎo)系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)。

即X(S)輸入，E(S)輸出，N(S)=0。

4、推導(dǎo)系統(tǒng)的擾動偏差傳遞函數(shù)。

即N(S)輸入，E(S)輸出，X(S)=0。

6、繪制實際物理系統(tǒng)的函數(shù)方塊圖例2-23無源濾波網(wǎng)絡(luò)（P37）利用復(fù)阻抗的概念---7、方塊圖變換法則分支點可以互換；相加點可以互換；分支點可以前移或后移，但移動之后，需在此回路中乘或除以所跨接的傳遞函數(shù)；相加點可以前移或后移，但移動之后，需在此回路中除或乘以所跨接的傳遞函數(shù)；總原則，保證變換后，輸出信號不變。

方塊圖變換法則如表2-3，P38方塊圖化簡------------------------2-6