2024-2025學(xué)年北京市中國(guó)人民大學(xué)附中朝陽學(xué)校高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市中國(guó)人民大學(xué)附中朝陽學(xué)校高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共11小題，每小題5分，共55分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|?1<x<3}，B={x|x2≥4}，則A∪B=A.(?1,+∞) B.(?1,2]

C.(?∞,?2]∪(?1，+∞) D.(?∞,?2]∪(?1，3)2.若tan(π?x)=12，則cosA.±15 B.±253.已知a=log21.41，b=1.70.3，A.b>a>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b4.如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，若E為AD的中點(diǎn)，則CE=(

)A.?14AB?54AC B.5.已知數(shù)列{an}是a1>0的無窮等比數(shù)列，則“{an}為遞增數(shù)列”是“?k≥2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S5=15A.94 B.3 C.9 D.7.函數(shù)f(x)=23sin2(ωx)+sin(2ωx+2π3)，其中ω>0，其最小正周期為π，則下列說法中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是(

)

①ω=1

②函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(π3,3)對(duì)稱

③函數(shù)f(x)圖象向右移φ(φ>0)A.1 B.2 C.3 D.48.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P在以D為圓心且與AC相切的圓上，則BP?AC的取值范圍是(

)A.[?22,22] B.[0,29.已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為2.65g/m3，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.59g/m3，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量rn滿足函數(shù)模型rn=r0+(r1?r0)?5A.8 B.9 C.10 D.1110.定義滿足方程f′(x)+f(x)=1的解x0叫做函數(shù)f(x)的“自足點(diǎn)”，則下列函數(shù)不存在“自足點(diǎn)”的是(

)A.f(x)=x2?3x B.f(x)=x+1x

11.已知函數(shù)f(x)=ln|x+1|?ln|x?1|，則A.是偶函數(shù)，且在(?1,1)上單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在(1,+∞)上單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(?∞,?1)上單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在(?1,1)上單調(diào)遞減二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。12.函數(shù)y=log21+x13.在△ABC中，AB=AC=1，∠A=90°，則AB?BC=14.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n?1，{bn}的通項(xiàng)公式為bn=1?2n.記數(shù)列{an+bn}15.在△ABC中，a=6，b=4，C=2B，則△ABC的面積為______．16.已知函數(shù)f(x)=|x+m|,x≤mx2,x>m．

①函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______．

②若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

在△ABC中，已知a2+b2?2ab=c2．

(Ⅰ)求角C的大??；

(Ⅱ)若c=22，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ABC存在且唯一確定，求△ABC的面積．

條件①：sinA=45；

條件②18.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分圖象如圖所示．

(Ⅰ)求ω的值；

(Ⅱ)從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)f(x)存在，并求函數(shù)f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值．

條件①：函數(shù)f(x+5π12)是奇函數(shù)；

條件②：將函數(shù)f(x)的圖象向右平移19.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=xsin2x+cos2x．

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在(?π4,f(?π4))處的切線方程；

(Ⅱ)求函數(shù)20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ax?ln(1?x)(a∈R)．

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立，求a的值；

(Ⅲ)若f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1x2，且|21.(本小題14分)

有窮數(shù)列a1，a2，…，an(n>2)中，令S(p,q)=ap+ap+1+…+aq(1≤p≤q≤n,p,q∈N?)，

當(dāng)p=q時(shí)，規(guī)定S(p,q)=ap．

(Ⅰ)已知數(shù)列?3，2，?1，3，寫出所有的有序數(shù)對(duì)(p,q)，且p<q，使得S(p,q)>0；

(Ⅱ)已知整數(shù)列a1，a2，…，an，n為偶數(shù)，若S(i,n?i+1)(i=1,2,…,n2)，滿足：當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，S(i,n?i+1)>0；當(dāng)i為偶數(shù)時(shí)，S(i,n?i+1)<0.求|a1|+|a2|+…+|an參考答案1.C

2.A

3.B

4.D

5.C

6.C

7.A

8.C

9.D

10.D

11.B

12.(?1,1)

13.?1

14.?1

?2

15.316.1

(0,2)∪(?∞,?2)

17.解：(Ⅰ)因?yàn)閍2+b2?2ab=c2，

可得a2+b2?c2=2ab，

由余弦定理可得cosC=a2+b2?c22ab=22，

而C∈(0,π)，

可得C=π4；

(Ⅱ)若選①：sinA=45>22，所以角A有兩個(gè)，不符合條件；

若選②：因?yàn)?acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理可得2sinAcosA=sinCcosB+cosCsinB=sin(B+C)=sinA，

在三角形中sinB>0，

可得cosA=12，

所以A=π3，B=π?A?C=5π12，

且sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=32?22+12?2218.解：(Ⅰ)由題意知T2=π2，即T=π，

因?yàn)棣?gt;0，所以2πω=π，解得ω=2．

(Ⅱ)選擇條件①：函數(shù)f(x+5π12)是奇函數(shù)，

則f(x+5π12)=sin[2(x+5π12)+φ]=sin(2x+5π6+φ)，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x+5π12)是奇函數(shù)，所以5π6+φ=kπ(k∈Z)，即φ=?5π6+kπ(k∈Z)，

因?yàn)棣铡?0,π2)，所以φ=π6，

于是，f(x)=sin(2x+π6)，

因?yàn)?≤x≤π2，

所以π6≤2x+π6≤7π6，

當(dāng)2x+π6=π2，即x=π6時(shí)，f(x)取得最大值為1．

當(dāng)2x+π6=7π6，即x=π2時(shí)，f(x)取得最小值為?12；

選擇條件②：將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=sinωx的圖象，

y=sin2[(x?19.解：(Ⅰ)因?yàn)閒(x)=xsin2x+cos2x，

所以f′(x)=sin2x+2xcos2x?2sin2x=2xcos2x?sin2x，

所以f(?π4)=π4，f′(?π4)=1，

故曲線y=f(x)在(?π4,f(?π4))處的切線方程為y=x+π2；

(Ⅱ)f′(x)=2xcos2x?sin2x，

設(shè)g(x)=f′(x)，則g′(x)=2cos2x?4xsin2x?2cos2x=?4xsin2x，

令g′(x)=0，得x1=?π2，x2=0，x3=π2，

故當(dāng)x∈(?2π3,?π2)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(?π2,0)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(0,π2)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(π220.解：(1)由f(x)=ax?ln(1?x)，得f′(x)=a+11?x(x<1)，

因?yàn)閒(0)=0，f′(0)=a+1，

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=(a+1)x；

(2)f′(x)=a+11?x=?ax+a+11?x(x<1)，

①當(dāng)a≥0時(shí)，f(?1)=?a?ln2<0，不符合題意；

②當(dāng)a<0時(shí)，令f(x)=0，解得x=1+1a，

當(dāng)x∈(?∞,1+1a)時(shí)，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(?∞,1+1a)上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1+1a,1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(1+1a,1)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=1+1a時(shí)，f(x)取得最小值，f(1+1a)=a+1+ln(?a)，

若f(x)≥0恒成立，則a+1+l?n(?a)≥0，

設(shè)φ(x)=x+1+ln(?x)(x<0)，則φ′(x)=1+1x=x+1x，

當(dāng)x∈(?∞,?1)時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)在區(qū)間(?∞,?1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(?1,0)時(shí)，φ′(x)<0，φ(x)在區(qū)間(?1,0)上單調(diào)遞減，

所以φ(x)≤φ(?1)=0，即a+1+ln(?a)≥0的解為a=?1，

所以a=?1；

(3)當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(?∞,1)上單調(diào)遞增，

所以21.解：(1)(p,q)為(1,4)時(shí)，S(p,q)=?3+2+(?1)+3=1>0，

(p,q)為(2,3)時(shí)，S(p,q)=2+(?1)=1>0，

(p,q)為(2,4)時(shí)，S(p,q)=2+(?1)+3=4>0，

(p,q)為(3,4)時(shí)，S(p,q)=(?1)+3=2>0，

故p<q，且使得S(p,q)>0的有序數(shù)對(duì)有(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)；

(2)由題意可得S(1,n)>0，S(2,n?1)<0，

又an為整數(shù)，故S(1,n)≥1，S(2,n?1)≤?1，

則S(1,n)?S(2,n?1)=a1+an≥2，

同理可得S(2,n?1)?S(3,n?2)=a2+an?1≤?2，

即有|a2+an?1|≥2，

同理可得，當(dāng)i≠n2時(shí)，有|ai+a