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微分方程的解法習(xí)題課一、一階微分方程求解二、兩類(lèi)二階微分方程的解法

第9章一、一階微分方程求解1.一階標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型方程求解關(guān)鍵:辨別方程類(lèi)型,掌握求解步驟2.一階非標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型方程求解變量代換法代換因變量代換某組合式三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型可分離變量方程齊次方程線(xiàn)性方程代換自變量例1.求下列方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解(2)

這是一個(gè)齊次方程，令y=ux,化為分離變量方程:方程兩邊同除以x

即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位,用線(xiàn)性方程通解公式求解.化為例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)將方程改寫(xiě)為(伯努利方程)(分離變量方程)原方程化為令y=ut(齊次方程)令t=x–1,則可分離變量方程求解化方程為例3.設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿(mǎn)足以下條件:(1)求F(x)所滿(mǎn)足的一階微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表達(dá)式.解:(1)所以F(x)滿(mǎn)足的一階線(xiàn)性非齊次微分方程:(2)由一階線(xiàn)性微分方程解的公式得于是二、兩類(lèi)二階微分方程的解法

1.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解2.二階線(xiàn)性微分方程的解法

常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法

歐拉方程特征根:例4.求微分方程提示:故通解為滿(mǎn)足條件解滿(mǎn)足處連續(xù)且可微的解.設(shè)特解:代入方程定A,B,得得處的銜接條件可知,解滿(mǎn)足故所求解為其通解:定解問(wèn)題的解:例5.且滿(mǎn)足方程提示:

則問(wèn)題化為解初值問(wèn)題:最后求得思考:

設(shè)提示:

對(duì)積分換元,則有解初值問(wèn)題:答案:的解.例6.設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)(1)試將x＝x(y)所滿(mǎn)足的微分方程變換為y＝y(tǒng)(x)所滿(mǎn)足的微分方程;(2)求變換后的微分方程滿(mǎn)足初始條件數(shù),且解:上式兩端對(duì)

x

求導(dǎo),得(1)

由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(2003考研)代入原微分方程得①(2)

方程①的對(duì)應(yīng)齊

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