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文檔簡介

第4章*二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用應(yīng)用第4節(jié)一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計(jì)算估計(jì)誤差本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的概念全微分一、全微分的概念

定義:

如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D

的內(nèi)點(diǎn)(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D

內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D

內(nèi)可微.(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微當(dāng)函數(shù)可微時(shí):得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,則該函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:因函數(shù)在點(diǎn)(x,y)可微,故

必存在,且有得到對(duì)x

的偏增量因此有反例:函數(shù)易知

但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微

!即:定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.所以函數(shù)在點(diǎn)可微.注意到,故有例1.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:可知當(dāng)*二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用近似計(jì)算由全微分定義較小時(shí),及有近似等式:(可用于誤差分析或近似計(jì)算)(可用于近似計(jì)算)半徑由20cm增大解:

已知即受壓后圓柱體體積減少了

例3.有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到20.05cm

,則高度由100cm減少到99cm

,體積的近似改變量.

求此圓柱體例4.計(jì)算的近似值.

解:設(shè),則

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