江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考試題數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)一?單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.計(jì)算：的結(jié)果是（）A B.C. D.2已知，，則（）A. B. C. D.3.已知向量，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.4.若?是兩個(gè)不重合的平面：①若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則；②設(shè)?相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則；③若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則．以上說法中成立的有（）個(gè)A.0 B.1 C.2 D.35.如圖，“蘑菇”形狀的幾何體是由半個(gè)球體和一個(gè)圓柱體組成，球的半徑為2，圓柱的底面半徑為1，高為3，則該幾何體的表面積為（）A. B. C. D.6.一組數(shù)據(jù)按從大到小順序排列為8，7，，4，4，1，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的平均值、方差和第60百分位數(shù)分別是（）A.6，，5 B.5，5，5 C.5，，6 D.4，5，67.在中，是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．若，的面積為，則取最小值時(shí)，則（）A.2 B. C.6 D.48.《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱長(zhǎng)都為1，則這個(gè)幾何體的外接球的體積為（）A. B. C. D.二?多選題（本大題共3小題，共18.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.下列說法正確的是（）A.，B.C.若，，則的最小值為1D.若是關(guān)于x的方程的根，則10.某市2022年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟(jì)收入較前一年增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟(jì)收入的變化情況，統(tǒng)計(jì)了該市招商引資前后的年經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下扇形圖：則下列結(jié)論中正確的是（）A.招商引資后，工資凈收入較前一年增加B.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的1.25倍C.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟(jì)收入的D.招商引資后，經(jīng)營(yíng)凈收入較前一年增加了一倍11.已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則（）A. B.C.若A與B互斥，則 D.一定有三?填空題（本大題共3小題，共15.0分）12.為獲得某中學(xué)高一學(xué)生的身高（單位：）信息，采用隨機(jī)抽樣方法抽取了樣本量為50的樣本，其中男女生樣本量均為25，計(jì)算得到男生樣本的均值為176，標(biāo)準(zhǔn)差為10，女生樣本的均值為166，標(biāo)準(zhǔn)差為20.則總樣本的方差為__________.13.設(shè)點(diǎn)Q在半徑為1的圓P上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)P在半徑為2的圓O上運(yùn)動(dòng)．O為定點(diǎn)，P，Q兩點(diǎn)的初始位置如圖所示，其中，當(dāng)點(diǎn)P轉(zhuǎn)過角度時(shí)，點(diǎn)Q轉(zhuǎn)過角度，則在運(yùn)動(dòng)過程中的取值范圍為______．14.如圖，已知在矩形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，點(diǎn)的位置記為，此時(shí)，則二面角的余弦值為__________．四?解答題（本大題共5小題，共77.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.某區(qū)為了全面提升高中體育特長(zhǎng)生的身體素質(zhì)，開設(shè)“田徑隊(duì)”和“足球隊(duì)”專業(yè)訓(xùn)練，在學(xué)年末體育素質(zhì)達(dá)標(biāo)測(cè)試時(shí)，從這兩支隊(duì)伍中各隨機(jī)抽取100人進(jìn)行專項(xiàng)體能測(cè)試，得到如下頻率分布直方圖：（1）估計(jì)兩組測(cè)試的平均成績(jī)，（2）若測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的為優(yōu)秀，從兩組測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中按分層抽樣的方法選出7人參加學(xué)校代表隊(duì)，再從這人中選出2人做正，副隊(duì)長(zhǎng)，求正、副隊(duì)長(zhǎng)都來自“田徑隊(duì)”的概率．1611分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.17.龍光塔始建于明朝萬歷二年，位于無錫市錫山山頂，如圖，某學(xué)習(xí)小組為了在塔外測(cè)量龍光塔的高度，在與塔底B水平的C處測(cè)量得塔頂A的仰角為.受錫山地形所限，他們沿斜坡從C點(diǎn)下行14米到達(dá)D點(diǎn)（與A，B，C共面）后，測(cè)量得塔頂A的仰角為.已知C，D兩點(diǎn)的海拔高度差為2米.（1）記斜坡CD與水平方向的夾角為銳角，計(jì)算的余弦值；（2）計(jì)算龍光塔的高度.18.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，A＝45°，，E為AB中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△PDE，使平面PDE⊥平面BCD，F(xiàn)為線段PC的中點(diǎn)．（1）證明：平面PDE；（2）已知M為線段DE的中點(diǎn)，求直線MF與平面PDE所成的角的正切值．19.在棱長(zhǎng)均為的正三棱柱中，為的中點(diǎn)．過的截面與棱，分別交于點(diǎn)，．（1）若為的中點(diǎn)，求三棱柱被截面分成上下兩部分的體積比；（2）若四棱錐的體積為，求截面與底面所成二面角的正弦值；（3）設(shè)截面的面積為，面積為，面積為，當(dāng)點(diǎn)在棱上變動(dòng)時(shí)，求的取值范圍．?dāng)?shù)學(xué)一?單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.計(jì)算：的結(jié)果是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】.故選：D2.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)給定式子平方，再進(jìn)行相加得到，最后利用兩角和的正弦公式求解即可.【詳解】若，則若，則，將兩式子相加可得，化簡(jiǎn)得，由兩角和的正弦公式得，故C正確.故選：C3.已知向量，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的意義求解即得.【詳解】由，得，所以在方向上的投影向量為.故選：A4.若?是兩個(gè)不重合的平面：①若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則；②設(shè)?相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則；③若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則．以上說法中成立的有（）個(gè)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】①：根據(jù)線面平行和面面平行的判定方法即可判斷；②：根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定放假即可判斷；③：根據(jù)線面平行判定方法即可判斷．【詳解】對(duì)①，平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于面內(nèi)兩條直線，可得這兩條相交直線均平行于面，由平面與平面平行的判定定理可知①正確；對(duì)②，設(shè)?相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則這條直線不一定垂直于β，故根據(jù)平面與平面垂直的判定定理可知α與β不一定垂直；故②錯(cuò)誤；對(duì)③，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知③正確．故選：C．5.如圖，“蘑菇”形狀的幾何體是由半個(gè)球體和一個(gè)圓柱體組成，球的半徑為2，圓柱的底面半徑為1，高為3，則該幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知該幾何體的體積是由半球的表面積加上圓柱的側(cè)面積，再加上圓的面積即可.【詳解】解：由題意得，球的半徑，圓柱的底面半徑，高，則該幾何體的表面積為.故選：D.6.一組數(shù)據(jù)按從大到小的順序排列為8，7，，4，4，1，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的平均值、方差和第60百分位數(shù)分別是（）A.6，，5 B.5，5，5 C.5，，6 D.4，5，6【答案】C【解析】【分析】利用中位數(shù)與眾數(shù)的定義得到關(guān)于的方程，從而得解.【詳解】依題意，將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列得，，，，，，則中位數(shù)，眾數(shù)為，由題意知，解得，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的方差是，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是；故選：C.7.在中，是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．若，的面積為，則取最小值時(shí)，則（）A.2 B. C.6 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題中條件，先得到，再由向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合基本不等式，得到的最小值，以及取得最小值時(shí)與的值，最后根據(jù)余弦定理，即可求出結(jié)果.【詳解】在中，由，的面積為，得，則，由是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，在中，由余弦定理得：，所以.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)平面向量數(shù)量積以及平面向量基本定理，確定取得最小值的條件，根據(jù)三角形面積公式，以及余弦定理，求解即可.8.《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱長(zhǎng)都為1，則這個(gè)幾何體的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件找出外接球的球心，求出半徑，再利用球的體積公式即可求解.【詳解】連接,交于點(diǎn),取的中點(diǎn)，則平面,,取的中點(diǎn),連接,作,垂足為，如圖所示由題意可知，，所以,所以,,所以,又,所以，即這個(gè)幾何體的外接球的球心為，半徑為，所以這個(gè)幾何體的外接球的體積為.故選：B.二?多選題（本大題共3小題，共18.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.下列說法正確的是（）A，B.C.若，，則的最小值為1D.若是關(guān)于x的方程的根，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，可判斷A；根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)可判斷B；設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式，可得，以及，結(jié)合x的范圍可判斷C；將代入方程，結(jié)合復(fù)數(shù)的相等，求出p，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，設(shè)復(fù)數(shù)，則，，故，A正確；對(duì)于B，由于，故，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，設(shè)，由于，則，故，由，得，則，故當(dāng)時(shí)，的最小值為1，C正確；對(duì)于D，是關(guān)于x的方程的根，故，即，故，D正確，故選：ACD10.某市2022年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟(jì)收入較前一年增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟(jì)收入的變化情況，統(tǒng)計(jì)了該市招商引資前后的年經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下扇形圖：則下列結(jié)論中正確的是（）A.招商引資后，工資凈收入較前一年增加B.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的1.25倍C.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟(jì)收入的D.招商引資后，經(jīng)營(yíng)凈收入較前一年增加了一倍【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)已知條件及扇形圖的特點(diǎn)即可求解.【詳解】設(shè)招商引資前經(jīng)濟(jì)收入為，而招商引資后經(jīng)濟(jì)收入為，則對(duì)于A，招商引資前工資性收入為，而招商引資后的工資性收入為，所以工資凈收入增加了，故A正確；對(duì)于B，招商引資前轉(zhuǎn)移凈收入為，招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為，所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的倍，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和為，所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和低于該年經(jīng)濟(jì)收入的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，招商引資前經(jīng)營(yíng)凈收入為，招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為，所以招商引資后，經(jīng)營(yíng)凈收入較前一年增加了一倍，故D正確.故選：AD.11.已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則（）A. B.C.若A與B互斥，則 D.一定有【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A，利用對(duì)立事件的概率公式即可判斷；對(duì)于BC，利用和事件與交事件的概率公式，結(jié)合互斥事件的定義計(jì)算判斷即可；對(duì)于D，舉反例即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋智?，則，所以，即，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)锳與B互斥，所以，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，記事件“拋擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)小于3”，事件“拋擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為4”，則滿足，，但不成立，故D錯(cuò)誤；故選：AB.三?填空題（本大題共3小題，共15.0分）12.為獲得某中學(xué)高一學(xué)生的身高（單位：）信息，采用隨機(jī)抽樣方法抽取了樣本量為50的樣本，其中男女生樣本量均為25，計(jì)算得到男生樣本的均值為176，標(biāo)準(zhǔn)差為10，女生樣本的均值為166，標(biāo)準(zhǔn)差為20.則總樣本的方差為__________.【答案】275【解析】【分析】結(jié)合平均值和方差公式,即可求解.【詳解】記男生樣本為,均值為,方差為,女生樣本為,均值為,方差為,容量為50的樣本均值為,方差為，則，，∴，則.故答案為：275.13.設(shè)點(diǎn)Q在半徑為1的圓P上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)P在半徑為2的圓O上運(yùn)動(dòng)．O為定點(diǎn)，P，Q兩點(diǎn)的初始位置如圖所示，其中，當(dāng)點(diǎn)P轉(zhuǎn)過角度時(shí)，點(diǎn)Q轉(zhuǎn)過角度，則在運(yùn)動(dòng)過程中的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，由于,所以，故，故的取值范圍為，故答案為：14.如圖，已知在矩形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，點(diǎn)的位置記為，此時(shí)，則二面角的余弦值為__________．【答案】##【解析】【分析】過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，證明二面角的平面角為，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解．【詳解】在三棱錐中，，∴，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接．∵即在矩形ABCD中，AC⊥DE，∴易得平面又∵平面，∵平面，平面，平面，∴二面角的平面角為，在中，，由余弦定理可得，∴，∴，∵平面平面，∴，故，∴二面角的余弦值為．故答案為：.四?解答題（本大題共5小題，共77.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.某區(qū)為了全面提升高中體育特長(zhǎng)生的身體素質(zhì)，開設(shè)“田徑隊(duì)”和“足球隊(duì)”專業(yè)訓(xùn)練，在學(xué)年末體育素質(zhì)達(dá)標(biāo)測(cè)試時(shí)，從這兩支隊(duì)伍中各隨機(jī)抽取100人進(jìn)行專項(xiàng)體能測(cè)試，得到如下頻率分布直方圖：（1）估計(jì)兩組測(cè)試的平均成績(jī)，（2）若測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的為優(yōu)秀，從兩組測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中按分層抽樣的方法選出7人參加學(xué)校代表隊(duì)，再從這人中選出2人做正，副隊(duì)長(zhǎng)，求正、副隊(duì)長(zhǎng)都來自“田徑隊(duì)”的概率．【答案】（1）“田徑隊(duì)”平均成績(jī)?yōu)?3，“足球隊(duì)”的平均成績(jī)?yōu)?1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和為1計(jì)算得到，，再根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算得到答案.（2）確定抽取的比例為，列舉出所有情況，統(tǒng)計(jì)滿足條件的情況，得到概率.【小問1詳解】由田徑隊(duì)的頻率分布直方圖得：，解得，同理可得．其中“田徑隊(duì)”的平均成績(jī)?yōu)椋?，“足球?duì)”的平均成績(jī)?yōu)椋?【小問2詳解】“田徑隊(duì)”中90分以上的有（人），“足球隊(duì)”中90分以上有（人）．所以抽取的比例為，在“田徑隊(duì)”抽?。ㄈ耍涀鱝，b，c，d；在“足球隊(duì)”抽?。ㄈ耍涀鰽，B，C．從中任選2人包含的基本事件有：ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21個(gè)，正、副隊(duì)長(zhǎng)都來自“田徑隊(duì)”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6個(gè)，故正、副隊(duì)長(zhǎng)都來自“田徑隊(duì)”的概率為．16.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.【答案】（1）；（2）0.1【解析】【分析】(1)本題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果；(2)本題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”，然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果．【詳解】(1)由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”所以(2)由題意可知，包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”所以【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的相關(guān)性質(zhì)，能否通過題意得出以及所包含的事件是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，考查學(xué)生從題目中獲取所需信息的能力，是中檔題．17.龍光塔始建于明朝萬歷二年，位于無錫市錫山山頂，如圖，某學(xué)習(xí)小組為了在塔外測(cè)量龍光塔的高度，在與塔底B水平的C處測(cè)量得塔頂A的仰角為.受錫山地形所限，他們沿斜坡從C點(diǎn)下行14米到達(dá)D點(diǎn)（與A，B，C共面）后，測(cè)量得塔頂A的仰角為.已知C，D兩點(diǎn)的海拔高度差為2米.（1）記斜坡CD與水平方向的夾角為銳角，計(jì)算的余弦值；（2）計(jì)算龍光塔的高度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意結(jié)合圖形，在中求得，再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得解；（2）結(jié)合圖形，分別求得，從而得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【小問1詳解】依題意，過作交于，過作，交于，如圖，則，所以在中，，又，所以，所以的余弦值為.【小問2詳解】由（1）得，，設(shè)龍光塔的高度，則在中，，則，易知四邊形是矩形，則，，又在中，，則，所以，即，故.所以龍光塔的高度為.18.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，A＝45°，，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△PDE，使平面PDE⊥平面BCD，F(xiàn)為線段PC的中點(diǎn)．（1）證明：平面PDE；（2）已知M為線段DE的中點(diǎn)，求直線MF與平面PDE所成的角的正切值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）取PD的中點(diǎn)H，證明四邊形FHEB為平行四邊形，由線面平行判定定理即可得證；（2）由題目條件易得，在由面面垂直的性質(zhì)定理證得平面⊥平面，連接,即為直線MF與平面PDE所成的角，,代入即可求出答案.【小問1詳解】取PD的中