猜想01一元二次方程的應(yīng)用（8種常見題型專練）

猜想01一元二次方程的應(yīng)用（8種常見題型專練）題型一：數(shù)字問題題型二：傳播問題題型三：單循環(huán)問題題型四：雙循環(huán)問題題型五：增長率問題題型六：商品銷售問題題型七：圖形面積問題題型八：動態(tài)幾何問題題型一：數(shù)字問題一．選擇題（共1小題）1．（2021春?包河區(qū)校級期末）一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)大4．設(shè)個位數(shù)字為x，則方程為（）A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x+4 C．x2+（x﹣4）2＝10x+x﹣4﹣4 D．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x+4【分析】根據(jù)個位數(shù)與十位數(shù)的關(guān)系，可知十位數(shù)為x+4，那么這兩位數(shù)為：10（x+4）+x，這兩個數(shù)的平方和為：x2+（x+4）2，再根據(jù)兩數(shù)的值相差4即可得出答案．【解答】解：依題意得：十位數(shù)字為：x+4，這個數(shù)為：x+10（x+4）這兩個數(shù)的平方和為：x2+（x+4）2，∵兩數(shù)相差4，∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）+4．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)的表示方法，要會利用未知數(shù)表示兩位數(shù)，然后根據(jù)題意列出對應(yīng)的方程求解．二．填空題（共1小題）2．（2022秋?山亭區(qū)期末）方程x2﹣2x+m＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為1．【分析】由題可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，即可得m的值．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，解得m＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程根的判別式，若一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則Δ＝b2﹣4ac＞0；若一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則Δ＝b2﹣4ac＝0；若一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則Δ＝b2﹣4ac＜0．三．解答題（共2小題）3．（2021秋?新民市期末）2021年7月1日是建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用小方框圈出四個數(shù)（如圖所示），圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積能否為33或65，若能求出最小數(shù)；若不能請說明理由．【分析】設(shè)這個最小數(shù)為x，則最大數(shù)為（x+8），根據(jù)最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65或33，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)最小的數(shù)為x，由題意得x（x+8）＝33，解得x1＝﹣11，x2＝3．由表格知不符合實(shí)際舍去；由題意得x（x+8）＝65，解得x1＝﹣13（舍去），x2＝5，所以當(dāng)最大數(shù)與最小數(shù)乘積為65時，最小的數(shù)是5．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?連云港期末）一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，個位數(shù)字的平方剛好等于這個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)是多少？【分析】先設(shè)個位數(shù)字為x，那么十位數(shù)字是（x﹣3），這個兩位數(shù)是[10（x﹣3）+x]，然后根據(jù)個位數(shù)字的平方剛好等于這個兩位數(shù)即可列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)個位數(shù)字為x，那么十位數(shù)字是（x﹣3），這個兩位數(shù)是10（x﹣3）+x，依題意得：x2＝10（x﹣3）+x，∴x2﹣11x+30＝0，∴x1＝5，x2＝6，∴x﹣3＝2或3．答：這個兩位數(shù)是25或36．【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確理解關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．題型二：傳播問題一．選擇題（共5小題）1．（2022秋?邢臺期末）德爾塔（Delta）是一種全球流行的新冠病毒變異毒株，其傳染性極強(qiáng)．某地有1人感染了德爾塔，因?yàn)闆]有及時隔離治療，經(jīng)過兩輪傳染后，一共有144人感染了德爾塔病毒，設(shè)每輪傳染中平均1人傳染了x人，下面所列方程正確的是（）A．1+x+x2＝144 B．x（x+1）＝144 C．1+x+x（x+1）＝144 D．1+（1+x）+x（x+1）＝144【分析】設(shè)每輪傳染中平均1人傳染了x人，則第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有x（x+1）人被傳染，根據(jù)“某地有1人感染了德爾塔，因?yàn)闆]有及時隔離治療，經(jīng)過兩輪傳染后，一共有144人感染了德爾塔病毒”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均1人傳染了x人，則第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有x（x+1）人被傳染，根據(jù)題意得：1+x+x（x+1）＝144．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?江津區(qū)期末）奧密克戎是新冠病毒的變異毒株，傳染性強(qiáng)，有一人感染了此病毒，未被有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染，共有196名感染者，在每輪傳染中，設(shè)平均一個人傳染了x人，則可列方程為（）A．1+x＝196 B．（1+x）2＝196 C．1+x2＝196 D．1+x+x2＝196【分析】由“在每輪傳染中，平均一個人傳染了x人”，可得出在第一輪及第二輪傳染中的感染人數(shù)，結(jié)合“經(jīng)過兩輪傳染，共有196名感染者”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵在每輪傳染中，平均一個人傳染了x人，∴第一輪傳染中有x人被感染，第二輪傳染中有x（1+x）人被感染．根據(jù)題意得：1+x+x（1+x）＝196，即（1+x）2＝196．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?自貢期末）某地有兩人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后又有70人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為（）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，則第一輪傳染中有2x人被傳染，第二輪傳染中有x（2+2x）人被傳染，根據(jù)“某地有兩人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后又有70人患了流感”，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，則第一輪傳染中有2x人被傳染，第二輪傳染中有x（2+2x）人被傳染，根據(jù)題意得：2x+x（2+2x）＝70，整理得：x2+2x﹣35＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣7（不符合題意，舍去），∴每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為5人．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?齊河縣期末）新冠病毒傳染性極強(qiáng)，如果有1人患病，經(jīng)過兩輪傳染后有361人患病，設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，下列方程正確的是（）A．（1+x）2＝361 B．x2＝361 C．1+x+x2＝361 D．x（1+x）＝361【分析】由每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，可得出第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有x（1+x）人被傳染，結(jié)合“有1人患病，經(jīng)過兩輪傳染后有361人患病”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，化簡后即可得出結(jié)論．【解答】解：∵每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，∴第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有x（1+x）人被傳染．根據(jù)題意得：1+x+x（1+x）＝361，即（1+x）2＝361．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?新華區(qū)校級期末）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有81人患了流感，每輪傳染中平均每人傳染了x個人，下列結(jié)論：①1輪后有（x+1）個人患了流感；②第2輪又增加（x+1）2個人患流感；③依題意可得方程（x+1）2＝81；④不考慮其他因素經(jīng)過三輪一共會有648人感染．所以正確的結(jié)論為（）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【分析】根據(jù)每輪傳染中平均每人傳染了x個人，可得出第1輪傳染中有x人被傳染，第2輪傳染中有x（1+x）人被傳染，進(jìn)而可得出1輪后有（x+1）個人患了流感，結(jié)合“有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有81人患了流感”，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，將其正值代入81（x+1）中，可求出經(jīng)過三輪傳染后患病人數(shù)．【解答】解：∵有一人患了流感，且每輪傳染中平均每人傳染了x個人，∴第1輪傳染中有x人被傳染，第2輪傳染中有x（1+x）人被傳染，結(jié)論②不符合題意；∴1輪后有（x+1）個人患了流感，結(jié)論①符合題意；根據(jù)題意得：1+x+x（1+x）＝81，即（x+1）2＝81，結(jié)論③符合題意；解得：x1＝8，x2＝﹣10（不符合題意），∴不考慮其他因素經(jīng)過三輪一共會有81（x+1）＝81×（8+1）＝729人感染，結(jié)論④不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共2小題）6．（2022秋?綏中縣期末）雞瘟是一種傳播速度很強(qiáng)的傳染病，一輪傳染為一天時間，紅發(fā)養(yǎng)雞場某日發(fā)現(xiàn)一例，兩天后發(fā)現(xiàn)共有169只雞患有這種?。裘坷‰u傳染健康雞的只數(shù)均相同，設(shè)每只病雞傳染健康雞的只數(shù)為x只，則可列方程為1+x+x（1+x）＝169．【分析】由每只病雞傳染健康雞的只數(shù)為x只，可得出第一天有x只雞被傳染，第二天有x（1+x）只雞被傳染，結(jié)合“紅發(fā)養(yǎng)雞場某日發(fā)現(xiàn)一例，兩天后發(fā)現(xiàn)共有169只雞患有這種病”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵每只病雞傳染健康雞的只數(shù)為x只，∴第一天有x只雞被傳染，第二天有x（1+x）只雞被傳染，根據(jù)題意得：1+x+x（1+x）＝169．故答案為：1+x+x（1+x）＝169．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?萬全區(qū)期末）請根據(jù)圖片內(nèi)容填空：每輪傳染中，平均一個人傳染了10人.【分析】設(shè)每輪傳染中，平均一個人傳染了x人，根據(jù)“感染1個人，此人未被有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有121名感染者”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每輪傳染中，平均一個人傳染了x人，依題意得：1+x+x（1+x）＝121，即（1+x）2＝121，解得：x1＝10，x2＝﹣12（不符合題意，舍去），∴每輪傳染中，平均一個人傳染了10人．故答案為：10．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）8．（2021秋?海陵區(qū)校級期末）流行病學(xué)中有一個叫做基本傳染數(shù)R0的數(shù)字，簡單來說，就是一個人在一個周期內(nèi)會感染幾個人，有一個人感染了新冠病毒，經(jīng)過兩個周期的傳染后共有36人感染，求新冠病毒的基本傳染數(shù)R0．【分析】利用經(jīng)過兩個周期的傳染后感染新冠的人數(shù)＝1×（1+R0）2，即可得出關(guān)于R0的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：依題意得：（1+R0）2＝36，解得：R0＝5或R0＝﹣7（不合題意，舍去）．答：新冠病毒的基本傳染數(shù)R0為5．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?驛城區(qū)期末）新型冠狀病毒肺炎是一種急性感染性肺炎．2020年2月7日，國家衛(wèi)健委決定將“新型冠狀病毒感染的肺炎”命名為“新型冠狀病毒肺炎”，簡稱“新冠肺炎”．2021年10月30日，張文宏教授表示，未來全國和全世界都接種疫苗后，人們還是應(yīng)該盡量減少聚集，在室內(nèi)擁擠的地方戴口罩，加強(qiáng)通風(fēng)．2020年1月，武漢某小區(qū)有一人患了新冠肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎，求每輪傳染中平均一個人傳染了多少人？【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x人，則第一輪有x人被傳染，第二輪有（1+x）x人被傳染，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x人，則第一輪有x人被傳染，第二輪有（1+x）x人被傳染，依題意得：1+x+（1+x）x＝169，解得：x1＝12，x2＝﹣14（不符合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均一個人傳染了12人．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?寧強(qiáng)縣期末）新冠肺炎是一種傳染性極強(qiáng)的疾病，如果有一人患病，經(jīng)過兩輪傳染后有121人患病，設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了多少個人？【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有x（1+x）人被傳染，根據(jù)“有一人患病，經(jīng)過兩輪傳染后有121人患病”，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有x（1+x）人被傳染，根據(jù)題意得：1+x+x（1+x）＝121，即（1+x）2＝121，解得：x1＝10，x2＝﹣12（不符合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均一個人傳染了10個人．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?天河區(qū)校級期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻持續(xù)蔓延，這是對人類的考驗(yàn)，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有196人患新冠肺炎，求每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？【分析】設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，則第一輪中有x人被傳染，第二輪中有x（1+x）人被感染，根據(jù)“若一人攜帶病毒，未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有196人患新冠肺炎”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，則第一輪中有x人被傳染，第二輪中有x（1+x）人被感染，根據(jù)題意得：1+x+x（1+x）＝196，整理得：（1+x）2＝196，解得：x1＝13，x2＝﹣15（不符合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均每個人傳染了13個人．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋?鳳翔縣期末）有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后有若干人被傳染上流感．假設(shè)在每輪的傳染中平均一個人傳染了x個人．（1）第二輪被傳染上流感人數(shù)是x（x+1）；（用含x的代數(shù)式表示）（2）在進(jìn)入第二輪傳染之前，如果有4名患者被及時隔離（未治愈），經(jīng)過兩輪傳染后是否會有81人患病的情況發(fā)生，并說明理由．【分析】（1）利用第二輪被傳染上流感人數(shù)＝在每輪的傳染中平均一個人傳染的人數(shù)×（第一輪被傳染上流感人數(shù)+1），即可用含x的代數(shù)式表示出第二輪被傳染上流感人數(shù)；（2）經(jīng)過兩輪傳染后會有81人患病的情況發(fā)生，利用經(jīng)過兩輪傳染后患病的人數(shù)＝1+第一輪被傳染上流感人數(shù)+第二輪被傳染上流感人數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，由其正值為正整數(shù)，可得出第二輪傳染后會有81人患病的情況發(fā)生．【解答】解：（1）∵在每輪的傳染中平均一個人傳染了x個人，∴第一輪被傳染上流感人數(shù)是x，第二輪被傳染上流感人數(shù)是x（x+1）．故答案為：x（x+1）．（2）經(jīng)過兩輪傳染后會有81人患病的情況發(fā)生，理由如下：依題意得：1+x+x（x+1﹣4）＝81，整理得：x2﹣2x﹣80＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣8（不合題意，舍去），∵x1＝10為正整數(shù)，∴第二輪傳染后會有81人患病的情況發(fā)生．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出第二輪被傳染上流感人數(shù)；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．13．（2021秋?玉山縣期末）某種病毒傳播速度非?？?，如果最初有兩個人感染這種病毒，經(jīng)兩輪傳播后，就有五十個人被感染，求每輪傳播中平均一個人會傳染給幾個人？若病毒得不到有效控制，三輪傳播后將有多少人被感染？【分析】設(shè)每輪傳播中平均一個人會傳染給x個人，則第一輪會傳染給2x人，第二輪會傳染給x（2+2x）人，根據(jù)經(jīng)兩輪傳播后共五十個人被感染，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每輪傳播中平均一個人會傳染給4個人，再利用經(jīng)過三輪傳播后被感染的人數(shù)＝經(jīng)過兩輪傳播后被感染的人數(shù)×（1+每輪傳播中平均一個人傳染的人數(shù)），即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每輪傳播中平均一個人會傳染給x個人，則第一輪會傳染給2x人，第二輪會傳染給x（2+2x）人，依題意得：2+2x+x（2+2x）＝50，整理得：x2+2x﹣24＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣6（不合題意，舍去），∴50（1+4）＝50×5＝250（人）．答：每輪傳播中平均一個人會傳染給4個人，若病毒得不到有效控制，三輪傳播后將有250人被感染．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14．（2021秋?衡山縣期末）某種流感病毒，有一人患了這種流感，在每輪傳染中一人將平均傳給x人．（1）求第一輪后患病的人數(shù)；（用含x的代數(shù)式表示）（2）在進(jìn)入第二輪傳染之前，有兩位患者被及時隔離并治愈，問第二輪傳染后總共是否會有21人患病的情況發(fā)生，請說明理由．【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人．開始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個人，他傳染了x人，則第一輪后共有（1+x）人患了流感；（2）第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了x人，因進(jìn)入第二輪傳染之前，有兩位患者被及時隔離并治愈，則第二輪后共有x﹣1+x（x﹣1）人患了流感，而此時患流感人數(shù)為21，根據(jù)這個等量關(guān)系列出方程若能求得正整數(shù)解即可會有21人患?。窘獯稹拷猓海?）（1+x）人，（2）設(shè)在每輪傳染中一人將平均傳給x人根據(jù)題意得：x﹣1+x（x﹣1）＝21整理得：x2﹣1＝21解得：，∵x1，x2都不是正整數(shù)，∴第二輪傳染后共會有21人患病的情況不會發(fā)生．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)進(jìn)入第二輪傳染之前，有兩位患者被及時隔離并治愈列出方程并求解．題型三：單循環(huán)問題一．選擇題（共6小題）1．（2022秋?大豐區(qū)期末）為了迎接第二十二屆世界杯足球賽，卡塔爾某地區(qū)舉行了足球邀請賽，規(guī)定參賽的每兩個隊(duì)之間比賽一場，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場比賽．設(shè)比賽組織者邀請了x個隊(duì)參賽，則下列方程正確的是（）A． B．x（x﹣1）＝4 C．x（x+1）＝28 D．【分析】利用比賽的總場數(shù)＝參賽隊(duì)伍數(shù)×（參賽隊(duì)伍數(shù)﹣1）÷2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝4×7，即x（x﹣1）＝28．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?潼南區(qū)期末）第22屆世界杯足球賽于2022年11月21日至12月18日在卡塔爾舉行，在此期間足球成為某市熱點(diǎn)話題．為滿足廣大足球愛好者的需求，某市準(zhǔn)備舉行足球邀請賽，規(guī)定參賽的每兩個隊(duì)之間比賽一場，共安排了66場比賽，設(shè)比賽組織者邀請了x個隊(duì)比賽，則下列方程正確的是（）A．x（x﹣1）＝66 B．x（x+1）＝66 C．＝66 D．＝66【分析】利用比賽的總場數(shù)＝參賽隊(duì)伍數(shù)×（參賽隊(duì)伍數(shù)﹣1）÷2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得x（x﹣1）＝66．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?離石區(qū)期末）2022年11月20日，第二十二屆世界杯足球賽在卡塔爾開幕．為了迎接世界杯的到來，某市舉行了足球邀請賽，規(guī)定參賽的每兩個隊(duì)之間比賽一場，共安排了60場比賽．設(shè)比賽組織者邀請了x個隊(duì)參賽，則下列方程正確的是（）A．x（x+1）＝60 B．x（x﹣1）＝60 C．x（x+1）＝60 D．x（x﹣1）＝60【分析】利用比賽的總場數(shù)＝參賽隊(duì)伍數(shù)×（參賽隊(duì)伍數(shù)﹣1）÷2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得x（x﹣1）＝60．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?河西區(qū)校級期末）男籃世界杯小組賽，每兩隊(duì)之間進(jìn)行一場比賽，小組賽共進(jìn)行了6場比賽，設(shè)該小組有x支球隊(duì)，則可列方程為（）A．x（x﹣1）＝6 B．x（x+1）＝6 C． D．【分析】設(shè)該小組有x支球隊(duì)，則每個隊(duì)參加（x﹣1）場比賽，則共有x（x﹣1）場比賽，從而可以列出一個一元二次方程．【解答】解：設(shè)該小組有x支球隊(duì)，則共有x（x﹣1）場比賽，由題意得：x（x﹣1）＝6，故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)要求我們掌握單循環(huán)制比賽的特點(diǎn)：如果有n支球隊(duì)參加，那么就有n（n﹣1）場比賽，此類雖然不難求出x的值，但要注意舍去不合題意的解．5．（2022秋?開封期末）為響應(yīng)“足球進(jìn)校園”的號召，某校組織足球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩個隊(duì)之間都要比賽一場），計(jì)劃安排28場比賽，則參賽的足球隊(duì)個數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】設(shè)共有x個球隊(duì)參賽，利用計(jì)劃安排比賽的總場數(shù)＝參賽隊(duì)伍個數(shù)×（參賽隊(duì)伍個數(shù)﹣1）÷2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)共有x個球隊(duì)參賽，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝28，整理得：x2﹣x﹣56＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合題意，舍去），∴共有8個球隊(duì)參賽．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?番禺區(qū)校級期末）學(xué)校要組織一次籃球賽，賽制為單循環(huán)，共21場比賽．若比賽組織者計(jì)劃邀請x個隊(duì)參賽，則x滿足的關(guān)系式為（）A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21 C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21【分析】關(guān)系式為：×球隊(duì)總數(shù)×每支球隊(duì)需賽的場數(shù)＝21，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【解答】解：每支球隊(duì)都需要與其他球隊(duì)賽（x﹣1）場，但兩隊(duì)之間只有一場比賽，所以可列方程為：x（x﹣1）＝21．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是得到比賽總場數(shù)的等量關(guān)系，注意，若2隊(duì)之間的比賽只有1場，最后的總場數(shù)應(yīng)除以2．二．填空題（共4小題）7．（2022秋?荔灣區(qū)校級期末）卡塔爾足球世界杯小組賽，每兩隊(duì)之間進(jìn)行一場比賽，小組賽共進(jìn)行了6場比賽，則該小組有4支球隊(duì)．【分析】設(shè)該小組有x支球隊(duì)，利用比賽的總場數(shù)＝小組球隊(duì)數(shù)×（小組球隊(duì)數(shù)﹣1）÷2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該小組有x支球隊(duì)，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝6，整理得：x2﹣x﹣12＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣3（不符合題意，舍去），∴該小組有4支球隊(duì)．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?和平區(qū)期末）一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手，經(jīng)統(tǒng)計(jì)所有人一共握了10次手，則這次會議到會的人數(shù)是5人．【分析】設(shè)這次會議到會的人數(shù)是x人，利用握手總次數(shù)＝參會人數(shù)×（參會人數(shù)﹣1）÷2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)這次會議到會的人數(shù)是x人，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝10，整理得：x2﹣x﹣20＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣4（不符合題意，舍去），∴這次會議到會的人數(shù)是5人．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?襄州區(qū)期末）某校九年級舉行籃球賽，初賽采用單循環(huán)制（每兩個班之間都進(jìn)行一場比賽），據(jù)統(tǒng)計(jì)，比賽共進(jìn)行了28場，則九年級共有8個班．【分析】賽制為單循環(huán)形式（每兩班之間都賽一場），x個班比賽總場數(shù)＝x（x﹣1）÷2，即可列方程求解．【解答】解：設(shè)九年級共有x個班級．依題意得：x（x﹣1）＝28．解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合題意舍去）．故答案為：8．【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)比賽場數(shù)與參賽隊(duì)之間的關(guān)系為：比賽場數(shù)＝隊(duì)數(shù)×（隊(duì)數(shù)﹣1）÷2，進(jìn)而得出方程是解題關(guān)鍵．10．（2021秋?灤州市期末）要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場），計(jì)劃安排21場比賽，應(yīng)邀請7個球隊(duì)參加比賽．【分析】賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場），x個球隊(duì)比賽總場數(shù)＝．即可列方程求解．【解答】解：設(shè)有x個隊(duì)，每個隊(duì)都要賽（x﹣1）場，但兩隊(duì)之間只有一場比賽，x（x﹣1）÷2＝21，解得x＝7或﹣6（舍去）．故應(yīng)邀請7個球隊(duì)參加比賽．【點(diǎn)評】解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，得到總場數(shù)的等量關(guān)系．三．解答題（共2小題）11．（2021秋?魯?shù)榭h期末）某校在冬運(yùn)會中，其中一項(xiàng)為乒乓球賽，賽制為參賽的每兩個人之間都要比賽一場，根據(jù)勝場積分確定排名，由于場地和時間等條件，賽程安排3天，每天安排15場比賽，求共有多少學(xué)生參加了冬運(yùn)會乒乓球賽？【分析】設(shè)共有x名學(xué)生參加了冬運(yùn)會乒乓球賽，利用比賽的總場數(shù)＝參賽學(xué)生人數(shù)×（參賽學(xué)生人數(shù)﹣1）÷2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)共有x名學(xué)生參加了冬運(yùn)會乒乓球賽，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝15×3，整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合題意，舍去）．答：共有10名學(xué)生參加了冬運(yùn)會乒乓球賽．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋?老河口市期末）列方程解應(yīng)用題：參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共有多少家公司參加商品交易會？【分析】設(shè)共有x家公司參加商品交易會，就可以得出有份合同，根據(jù)總共有45份合同建立方程組，求出其解即可．【解答】解：設(shè)共有x家公司參加商品交易會，由題意，得＝45，解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）．答：共有10家公司參加商品交易會．【點(diǎn)評】本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時根據(jù)單循環(huán)問題的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．題型四：雙循環(huán)問題一．選擇題（共5小題）1．（2022秋?呈貢區(qū)期末）在一次新年聚會中，小朋友們互相贈送禮物，全部小朋友共互贈了110件禮物，若假設(shè)參加聚會小朋友的人數(shù)為x人，則根據(jù)題意可列方程為（）A．x（x﹣1）＝110 B．x（x+1）＝110 C．（x+1）2＝110 D．（x﹣1）2＝110【分析】由參加聚會小朋友的人數(shù)為x人，可得出每人需贈送出（x﹣1）件禮物，根據(jù)全部小朋友共互贈了110件禮物，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵參加聚會小朋友的人數(shù)為x人，∴每人需贈送出（x﹣1）件禮物．根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝110．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?江門期末）九（1）班畢業(yè)時，每一個同學(xué)都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張作為留念，全班共送了1560張照片，如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意可列方程為（）A．x（x﹣1）＝1560 B．x（x+1）＝1560 C．2x（x+1）＝1560 D．2x（x﹣1）＝1560【分析】由全班人數(shù)，可得出每人需送出（x﹣1）張照片，結(jié)合全班共送了1560張照片，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵全班共有x名學(xué)生，∴每人需送出（x﹣1）張照片．根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝1560．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?雞西期末）一個班級里共有x人，每人都分別給班里的其他同學(xué)發(fā)一條信息，共發(fā)信息1980條，則可列方程為（）A． B．x（x﹣1）＝1980 C． D．x（x+1）＝1980【分析】由班級的人數(shù)，可得出每人需發(fā)送（x﹣1）條信息，結(jié)合該班級共發(fā)信息1980條，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵一個班級里共有x人，∴每人需發(fā)送（x﹣1）條信息．根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝1980，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?番禺區(qū)期末）某中學(xué)一生物興趣小組的每位同學(xué)將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈送一件，全組共贈送了90件，設(shè)組員有x名同學(xué)，則根據(jù)題意列出的方程是（）A．x（x﹣1）＝90 B．x（x+1）＝90 C．x（x﹣1）＝90×2 D．x（x+1）＝90×2【分析】由全組的人數(shù)可得出每名同學(xué)需贈送出（x﹣1）件標(biāo)本，結(jié)合全組共贈送了90件標(biāo)本，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵全組共有x名同學(xué)，∴每名同學(xué)需贈送出（x﹣1）件標(biāo)本．根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝90．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?昌圖縣期末）初中畢業(yè)時，某班學(xué)生都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送1260張照片．設(shè)全班有x名同學(xué)，可列方程為（）A．x（x﹣1）＝1260 B．x（x+1）＝1260 C．x（x﹣1）＝1260×2 D．x（x+1）＝1260×2【分析】如果全班有x名同學(xué)，那么每名同學(xué)要送出（x﹣1）張，共有x名學(xué)生，那么總共送的張數(shù)應(yīng)該是x（x﹣1）張，即可列出方程．【解答】解：∵全班有x名同學(xué)，∴每名同學(xué)要送出（x﹣1）張；又∵是互送照片，∴總共送的張數(shù)應(yīng)該是x（x﹣1）＝1260．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．計(jì)算全班共送多少張，首先確定一個人送出多少張是解題關(guān)鍵．二．填空題（共3小題）6．（2021秋?峽江縣期末）某校九（1）班的學(xué)生互贈新年賀卡，共用去1560張賀卡，則九（1）班有40名學(xué)生．【分析】設(shè)九（1）班有x名學(xué)生，則每名學(xué)生需送出（x﹣1）張新年賀卡，利用九（1）班共用去賀卡的數(shù)量＝人數(shù)×每人送出新年賀卡的數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)九（1）班有x名學(xué)生，則每名學(xué)生需送出（x﹣1）張新年賀卡，依題意得：x（x﹣1）＝1560，整理得：x2﹣x﹣1560＝0，解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合題意，舍去），∴九（1）班有40名學(xué)生．故答案為：40．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?虎林市校級期末）2021年10月10日，第七屆黑龍江綠色食品產(chǎn)業(yè)博覽會開幕，虎林市組建團(tuán)隊(duì)參加，為增進(jìn)了解，在參加會議前團(tuán)隊(duì)每兩個人間互送了一次名片，一共送出90張名片，則這個團(tuán)隊(duì)有10人．【分析】設(shè)這個團(tuán)隊(duì)有x人，則每人需送出（x﹣1）張名片，根據(jù)在參加會議前該團(tuán)隊(duì)共送出90張名片，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)這個團(tuán)隊(duì)有x人，則每人需送出（x﹣1）張名片，依題意得：x（x﹣1）＝90，整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合題意，舍去），∴這個團(tuán)隊(duì)有10人．故答案為：10．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?蔚縣校級期末）一個小組有若干人，新年互送賀卡一張，共送賀卡72張，共有9人．【分析】設(shè)該小組共有x人，則每人需送出（x﹣1）張賀卡，根據(jù)全組共送賀卡72張，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該小組共有x人，則每人需送出（x﹣1）張賀卡，依題意得：x（x﹣1）＝72，整理得：x2﹣x﹣72＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合題意，舍去），∴該小組共有9人．故答案為：9．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共1小題）9．（2022秋?白云區(qū)期末）一次足球聯(lián)賽，賽制為雙循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽兩場），共要比賽90場，共有多少個隊(duì)參加比賽？【分析】每個隊(duì)都要與其余隊(duì)比賽一場，2隊(duì)之間要賽2場．等量關(guān)系為：隊(duì)的個數(shù)×（隊(duì)的個數(shù)﹣1）＝90，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)有x隊(duì)參加比賽．依題意，得x（x﹣1）＝90，（x﹣10）（x+9）＝0，解得x1＝10，x2＝﹣9（不合題意，舍去）．答：共有10支隊(duì)參加比賽．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用；得到比賽總場數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．題型五：增長率問題一．選擇題（共2小題）1．（2022秋?萬州區(qū)期末）某公司今年10月的營業(yè)額為2500萬元，按計(jì)劃12月的營業(yè)額要達(dá)到3600萬元，設(shè)該公司11，12兩月的營業(yè)額的月平均增長率為x，根據(jù)題意列方程，則下列方程正確的是（）A．2500（1+2x）＝3600 B．2500（1+2x%）＝3600 C．2500（1+x）2＝3600 D．2500（1+x%）2＝3600【分析】利用該公司12月的營業(yè)額＝該公司10月份的營業(yè)額×（1+該公司11，12兩月的營業(yè)額的月平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：2500（1+x）2＝3600．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?九龍坡區(qū)期末）某棉簽生產(chǎn)工廠2022年十月棉簽產(chǎn)值達(dá)100萬元，第四季度總產(chǎn)值達(dá)331萬元，問十一、十二月份的月平均增長率是多少？設(shè)月平均增長率的百分?jǐn)?shù)是x，則由題意可得方程為（）A．100（x+1）2＝331 B．100（x+1）+100（x+1）2＝331 C．100+100（x+1）2＝331 D．100+100（x+1）+100（x+1）2＝331【分析】由該棉簽生產(chǎn)工廠2022年十月棉簽產(chǎn)值及月平均增長率，可得出該棉簽生產(chǎn)工廠2022年十一月棉簽產(chǎn)值達(dá)100（x+1）萬元，十二月棉簽產(chǎn)值達(dá)100（x+1）2萬元，結(jié)合該棉簽生產(chǎn)工廠2022年第四季度總產(chǎn)值達(dá)331萬元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵該棉簽生產(chǎn)工廠2022年十月棉簽產(chǎn)值達(dá)100萬元，且月平均增長率的百分?jǐn)?shù)是x，∴該棉簽生產(chǎn)工廠2022年十一月棉簽產(chǎn)值達(dá)100（x+1）萬元，十二月棉簽產(chǎn)值達(dá)100（x+1）2萬元．根據(jù)題意得：100+100（x+1）+100（x+1）2＝331．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）3．（2022秋?法庫縣期末）2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文化，重走長征路”主題教育活動．據(jù)了解，某展覽中心3月份的參觀人數(shù)為10萬人，5月份的參觀人數(shù)增加到12.1萬人．設(shè)參觀人數(shù)的月平均增長率為x，則可列方程為10（1+x）2＝12.1．【分析】利用5月份的參觀人數(shù)＝3月份的參觀人數(shù)×（1+月平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：10（1+x）2＝12.1．故答案為：10（1+x）2＝12.1．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?丹東期末）為了響應(yīng)全民閱讀的號召，某校圖書館利用節(jié)假日面向社會開放．據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一個月進(jìn)館560人次，進(jìn)館人次逐月增加，第三個月進(jìn)館830人次．設(shè)該校圖書館第二個月、第三個月進(jìn)館人次的平均增長率為x，則可列方程為560（1+x）2＝830．【分析】利用第三個月進(jìn)館人次＝第一個月進(jìn)館人次×（1+平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：560（1+x）2＝830．故答案為：560（1+x）2＝830．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?市北區(qū)校級期末）某區(qū)為了大力推進(jìn)義務(wù)教育均衡發(fā)展，加強(qiáng)學(xué)校標(biāo)準(zhǔn)化建設(shè)，計(jì)劃用三年時間對全區(qū)學(xué)校的設(shè)施和設(shè)備進(jìn)行全面改造和更新，2022年區(qū)政府已投資5億元人民幣，若每年投資的增長率相同，預(yù)計(jì)2024年投資7.2億元人民幣，設(shè)每年投資的增長率x，根據(jù)題意，可列方程為5（1+x）2＝7.2．【分析】利用預(yù)計(jì)2024年投資金額＝2022年投資金額×（1+每年投資的增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得5（1+x）2＝7.2，故答案為：5（1+x）2＝7.2．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?宜賓期末）我市某新能源汽車因物美價(jià)廉而深受大眾喜愛，在某地區(qū)的銷售量從1月份的100輛增長到3月份的121輛，則從1月份到3月份的月平均增長率為10%．【分析】設(shè)從1月份到3月份的月平均增長率為x，利用3月份的銷售量＝1月份的銷售量×（1+從1月份到3月份的月平均增長率）2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)從1月份到3月份的月平均增長率為x，根據(jù)題意得：100（1+x）2＝121，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合題意，舍去）．∴從1月份到3月份的月平均增長率為10%．故答案為：10%．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）7．（2022秋?陵水縣期末）某商場今年1月份的營業(yè)額為1250萬元，2月份的營業(yè)額比1月份增加20%，4月份的營業(yè)額達(dá)到1815萬元．求：（1）該商場2月份的營業(yè)額；（2）該商場2月份到4月份營業(yè)額的月平均增長率．【分析】（1）利用該商場2月份的營業(yè)額＝該商場1月份的營業(yè)額×（1+20%），即可求出該商場2月份的營業(yè)額；（2）設(shè)該商場2月份到4月份營業(yè)額的月平均增長率為x，利用該商場4月份的營業(yè)額＝該商場2月份的營業(yè)額×（1+月平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）1250×（1+20%）＝1250×1.2＝1500（萬元）．答：該商場2月份的營業(yè)額為1500萬元．（2）設(shè)該商場2月份到4月份營業(yè)額的月平均增長率為x，依題意得：1500（1+x）2＝1815，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合題意，舍去）．答：該商場2月份到4月份營業(yè)額的月平均增長率為10%．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及全等圖形，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?建鄴區(qū)期末）勞動教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場，該農(nóng)場一種作物的產(chǎn)量兩年內(nèi)從300千克增加到363千克．若平均每年的增產(chǎn)率相同，求平均每年的增產(chǎn)率．【分析】設(shè)平均每年的增產(chǎn)率為x，根據(jù)該作物的產(chǎn)量兩年內(nèi)從300千克增加到363千克，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)平均每年的增產(chǎn)率為x，根據(jù)題意得：300（1+x）2＝363，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合題意，舍去）．答：平均每年的增產(chǎn)率為10%．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?同心縣期末）今年某村農(nóng)產(chǎn)品喜獲豐收，該村村委會在網(wǎng)上直播銷售優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品禮包，今年1月份銷售該農(nóng)產(chǎn)品禮包256包，2、3月該禮包十分暢銷，銷售量持續(xù)走高，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，3月份的銷售量達(dá)到400包，若設(shè)2、3兩個月銷售量的月平均增長率為x，求平均增長率．【分析】利用3月份的銷售量＝1月份的銷售量×（1+2、3兩個月銷售量的月平均增長率）2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合題意，舍去）．答：2、3兩個月銷售量的月平均增長率為25%．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?鄲城縣期末）2022年北京冬季奧運(yùn)會于2月4日至2月20日在北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行，冬奧會吉祥物為“冰墩墩”．（1）據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某工廠今年二月份共生產(chǎn)500個“冰墩墩”，為增大生產(chǎn)量，該工廠平均每月生產(chǎn)量增長率相同，四月份該工廠生產(chǎn)了720個“冰墩墩”，求該工廠平均每月生產(chǎn)量增長率是多少？（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可銷售20個，每個盈利40元，在每個降價(jià)幅度不超過10元的情況下，每下降2元，則每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，則每個“冰墩墩”應(yīng)降價(jià)多少元？【分析】（1）設(shè)該工廠平均每月生產(chǎn)量增長率為x，利用該工廠四月份生產(chǎn)“冰墩墩”的數(shù)量＝該工廠二月份生產(chǎn)“冰墩墩”的數(shù)量×（1+該工廠平均每月生產(chǎn)量的增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每個“冰墩墩”降價(jià)y元，則每個盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+5y）個，利用總利潤＝每個的銷售利潤×日銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該工廠平均每月生產(chǎn)量的增長率為x，依題意得：500（1+x）2＝720，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：該工廠平均每月生產(chǎn)量的增長率為20%．（2）設(shè)每個“冰墩墩”降價(jià)y元，則每個盈利（40﹣y）元，平均每天可售出20+10×＝（20+5y）個，依題意得：（40﹣y）（20+5y）＝1440，整理得：y2﹣36y+128＝0，解得：y1＝4，y2＝32（不符合題意，舍去）．答：每個“冰墩墩”應(yīng)降價(jià)4元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?蕪湖期末）為防控新冠疫情，減少交叉感染，某超市在線上銷售優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品，該超市于今年一月底收購一批農(nóng)產(chǎn)品，二月份銷售256盒，三、四月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，四月份的銷售量達(dá)到400盒．若農(nóng)產(chǎn)品每盒進(jìn)價(jià)25元，原售價(jià)為每盒40元．（1）求三、四這兩個月銷售量的月平均增長率；（2）該超市五月份降價(jià)促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若該農(nóng)產(chǎn)品每盒降價(jià)1元，銷售量可增加5盒，當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品每盒降價(jià)多少元時，這種農(nóng)產(chǎn)品在五月份可獲利4250元？【分析】（1）設(shè)三、四這兩個月銷售量的月平均增長率為x，利用四月份的銷售量＝二月份的銷售量×（1+三、四這兩個月銷售量的月平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)農(nóng)產(chǎn)品每盒降價(jià)y元，則每盒的銷售利潤為（40﹣y﹣25）元，五月份可售出（400+5y）盒，利用五月份的銷售總利潤＝每盒的銷售利潤×五月份的銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)三、四這兩個月銷售量的月平均增長率為x，依題意得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25，x2＝﹣2.25（不符合題意，舍去）．答：三、四這兩個月銷售量的月平均增長率為25%．（2）設(shè)農(nóng)產(chǎn)品每盒降價(jià)y元，則每盒的銷售利潤為（40﹣y﹣25）元，五月份可售出（400+5y）盒，依題意得：（40﹣y﹣25）（400+5y）＝4250，整理得：y2+65y﹣350＝0，解得：y1＝5，y2＝﹣70（不符合題意，舍去）．答：當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品每盒降價(jià)5元時，這種農(nóng)產(chǎn)品在五月份可獲利4250元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?錦江區(qū)期末）電影《長津湖》是一部講述抗美援朝題材影片，該片以朝鮮長津湖戰(zhàn)役為背景，講述一個志愿軍連隊(duì)在極寒嚴(yán)酷環(huán)境下堅(jiān)守陣地奮勇殺敵、為戰(zhàn)役勝利作出重要貢獻(xiàn)的故事，2022年清明節(jié)來臨之際，某電影院開展“清明祭英烈，共鑄中華魂”系列活動，對團(tuán)體購買該電影票實(shí)行優(yōu)惠，決定在原定零售票價(jià)基礎(chǔ)上每張降價(jià)16元，這樣按原定零售票價(jià)需花費(fèi)2000元購買的門票，現(xiàn)在只花費(fèi)了1200元．（1）求每張電影票的原定零售票價(jià)；（2）為了弘揚(yáng)愛國主義精神，該影院決定對網(wǎng)上購票的個人也采取優(yōu)惠，原定零售票價(jià)經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后票價(jià)為每張32.4元，求平均每次降價(jià)的百分率．【分析】（1）設(shè)每張電影票的原定零售票價(jià)是x元，則降價(jià)后的零售票價(jià)是（x﹣16）元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為y，利用經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格＝原價(jià)×（1﹣平均每次降價(jià)的百分率）2，可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)每張電影票的原定零售票價(jià)是x元，則降價(jià)后的零售票價(jià)是（x﹣16）元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝40，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是所列方程的解，且符合題意．答：每張電影票的原定零售票價(jià)是40元；（2）設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為y，根據(jù)題意得：40（1﹣y）2＝32.4，解得：y1＝0.1＝10%，y2＝1.9（不符合題意，舍去）．答：平均每次降價(jià)的百分率為10%．【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．13．（2022秋?林州市期末）口罩是一種衛(wèi)生用品，正確佩戴口罩能阻擋有害氣體、飛沫、病毒等物質(zhì)，對進(jìn)入肺部的空氣有一定的過濾作用，N95口罩的防護(hù)等級為N95級，表示在NIOSH標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的檢測條件下，口罩濾料對非油性顆粒物（如粉塵、酸霧、漆霧、微生物等）的過濾效率達(dá)到95%．據(jù)調(diào)查，2022年9月份某廠家N95口罩產(chǎn)量為80萬只，10月份比9月份增加了25%，第四季度N95口罩的總產(chǎn)量為436萬只．（1）該廠家10月份的N95口罩產(chǎn)量為100萬只；（2）該廠家第四季度N95口罩產(chǎn)量的月平均增長率是多少？【分析】（1）利用該廠家10月份的N95口罩產(chǎn)量＝該廠家9月份的N95口罩產(chǎn)量×（1+25%），即可求出結(jié)論；（2）設(shè)該廠家第四季度N95口罩產(chǎn)量的月平均增長率是x，則該廠家2022年11月份N95口罩產(chǎn)量為100（1+x）萬只，12月份N95口罩產(chǎn)量為100（1+x）2萬只，根據(jù)該廠家第四季度N95口罩的總產(chǎn)量為436萬只，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵80×（1+25%）＝100（萬只），∴該廠家10月份的N95口罩產(chǎn)量為100萬只．故答案為：100；（2）設(shè)該廠家第四季度N95口罩產(chǎn)量的月平均增長率是x，則該廠家2022年11月份N95口罩產(chǎn)量為100（1+x）萬只，12月份N95口罩產(chǎn)量為100（1+x）2萬只，根據(jù)題意得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝436，化簡得：x2+3x﹣1.36＝0，解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣3.4（不符合題意，舍去）．答：該廠家第四季度N95口罩產(chǎn)量的月平均增長率是40%．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?南川區(qū)期末）抗擊“新冠肺炎”疫情期間，口罩是重要的防護(hù)物資，今年10月，某社區(qū)根據(jù)實(shí)際需要，采購了10000個口罩，一部分用于社區(qū)家庭，其余部分用于社區(qū)工作人員．（1）為了保證社區(qū)抗疫工作順利開展，用于社區(qū)工作人員的口罩個數(shù)應(yīng)不少于用于社區(qū)家庭口罩個數(shù)的1.5倍，問用于該社區(qū)家庭的口罩最多有多少個？（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，10月份，該社區(qū)有400戶家庭有口罩需求，平均每戶需要10個，其余口罩剛好滿足社區(qū)工作人員的抗疫需要，隨著疫情的發(fā)展，11月份，該社區(qū)對口罩的總需求量比10月份增加了20%，需要口罩的家庭戶數(shù)比10月份增加了a%，社區(qū)工作人品需要口罩的個數(shù)比10月份增加了1.5a%，同時，由于該社區(qū)加大了管控力度，平均每戶家庭的口罩需求量減少了a%，求a的值．【分析】（1）設(shè)用于該社區(qū)家庭的口罩有x個，則用于社區(qū)工作人員的口罩有（10000﹣x）個，根據(jù)用于社區(qū)工作人員的口罩個數(shù)應(yīng)不少于用于社區(qū)家庭口罩個數(shù)的1.5倍，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)11月份該社區(qū)對口罩的總需求量比10月份增加了20%，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，取其較小值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)用于該社區(qū)家庭的口罩有x個，則用于社區(qū)工作人員的口罩有（10000﹣x）個，依題意，得：10000﹣x≥1.5x，解得：x≤4000．答：用于該社區(qū)家庭的口罩最多有4000個．（2）依題意，得：400（1+a%）×10（1﹣a%）+（10000﹣400×10）（1+1.5a%）＝10000×（1+20%），整理，得：a2﹣225a+5000＝0，解得：a1＝25，a2＝200（不合題意，舍去）．答：a的值為25．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．題型六：商品銷售問題一．選擇題（共2小題）1．（2022秋?江北區(qū)校級期末）端午節(jié)又稱端陽節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國各地都有吃粽子的習(xí)俗．某超市以10元每袋的價(jià)格購進(jìn)一批粽子，根據(jù)市場調(diào)查，售價(jià)定為每袋16元，每天可售出200袋；若售價(jià)每降低1元，則可多售出80袋，問此種粽子售價(jià)降低多少元時，超市每天售出此種粽子的利潤可達(dá)到1440元？若設(shè)每袋粽子售價(jià)降低x元，則可列方程為（）A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440 B．（16﹣x）（200+80x）＝1440 C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440 D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440【分析】當(dāng)每袋粽子售價(jià)降低x元時，每袋粽子的銷售利潤為（16﹣x﹣10）元，每天可售出（200+80x）袋，利用總利潤＝每袋的銷售利潤×每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：當(dāng)每袋粽子售價(jià)降低x元時，每袋粽子的銷售利潤為（16﹣x﹣10）元，每天可售出（200+80x）袋，依題意得：（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?滎陽市校級期末）某藥店?duì)I業(yè)員在賣布洛芬時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)布洛芬以每盒50元銷售時，每天銷售是30盒，若單價(jià)每降低1元，每天就可以多售出4盒，已知布洛芬的成本是每盒30元，設(shè)每盒布洛芬降低x元，如果藥店一天能盈利1000元，可列方程為（）A．（20﹣x）（30+x）＝1000 B．（50﹣x）（30+x）＝1000 C．（20﹣x）（30+4x）＝1000 D．（30﹣x）（30+4x）＝1000【分析】當(dāng)每盒布洛芬降低x元時，每盒的銷售利潤為50﹣x﹣30＝（20﹣x）元，每天可銷售（30+4x）盒，利用總利潤＝每盒的銷售利潤×日銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：當(dāng)每盒布洛芬降低x元時，每盒的銷售利潤為50﹣x﹣30＝（20﹣x）元，每天可銷售（30+4x）盒，根據(jù)題意得：（20﹣x）（30+4x）＝1000．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共1小題）3．（2022秋?江北區(qū)校級期末）在剛剛過去的“五一”假期中，某超市為迎接“五一”小長假購物高潮，經(jīng)銷甲、乙兩種品牌的洗衣液．市場上甲種品牌洗衣液的進(jìn)價(jià)比乙種品牌洗衣液的進(jìn)價(jià)每瓶便宜10元，該超市用6000元購進(jìn)的甲種品牌洗衣液與用8000元購進(jìn)的乙種品牌洗衣液的瓶數(shù)相同．（1）求甲品牌的洗衣液的進(jìn)價(jià)30元；（不要帶單位）（2）在銷售中，該超市決定將甲種品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但調(diào)查發(fā)現(xiàn)，乙種品牌的洗衣液每瓶售價(jià)50元時，每天可售出140瓶，并且當(dāng)乙種品牌的洗衣液每瓶售價(jià)每提高1元時，乙種品牌的洗衣液每天就會少售出2瓶，當(dāng)乙種品牌的洗衣液的每瓶售價(jià)為80元時，兩種品牌的洗衣液每天的利潤之和可達(dá)到4700元？（不要帶單位）【分析】（1）設(shè)甲品牌的洗衣液的進(jìn)價(jià)為x元，則乙品牌的洗衣液的進(jìn)價(jià)為（x+10）元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合該超市用6000元購進(jìn)的甲種品牌洗衣液與用8000元購進(jìn)的乙種品牌洗衣液的瓶數(shù)相同，可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)乙種品牌的洗衣液的每瓶售價(jià)為y元，則乙種品牌的洗衣液的每瓶銷售利潤為（y﹣30﹣10）元，每天的銷售量為（240﹣2y）瓶，利用總利潤＝每瓶的銷售利潤×日銷售量，可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)甲品牌的洗衣液的進(jìn)價(jià)為x元，則乙品牌的洗衣液的進(jìn)價(jià)為（x+10）元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝30，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝30是所列方程的解，且符合題意，∴甲品牌的洗衣液的進(jìn)價(jià)為30元．故答案為：30；（2）設(shè)乙種品牌的洗衣液的每瓶售價(jià)為y元，則乙種品牌的洗衣液的每瓶銷售利潤為（y﹣30﹣10）元，每天的銷售量為140﹣2（y﹣50）＝（240﹣2y）瓶，根據(jù)題意得：（45﹣30）×100+（y﹣30﹣10）（240﹣2y）＝4700，整理得：y2﹣160y+6400＝0，解得：y1＝y(tǒng)2＝80，∴當(dāng)乙種品牌的洗衣液的每瓶售價(jià)為80元時，兩種品牌的洗衣液每天的利潤之和可達(dá)到4700元．故答案為：80．【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．三．解答題（共11小題）4．（2022秋?青羊區(qū)期末）新華商場銷售某種彩電，每臺進(jìn)價(jià)為3500元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售價(jià)為3900元時，平均每天能售出8臺，而當(dāng)銷售價(jià)每降低75元，平均每天能多賣6臺．（1）若每臺彩電降價(jià)x元，則每天彩電的銷量為多少？（請用含有x的式子表示）（2）商場要想使這種彩電的銷售利潤平均每天達(dá)到5000元，則每臺彩電應(yīng)降價(jià)多少元？【分析】（1）利用日銷售量＝8+6×，即可用含x的代數(shù)式表示出每天彩電的銷量；（2）利用總利潤＝每天彩電的銷售利潤×日銷售量，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)每臺彩電降價(jià)x元時，每天彩電的銷量為8+6×＝（8+x）臺；（2）根據(jù)題意得：（3900﹣x﹣3500）（8+x）＝5000，整理得：x2﹣300x+22500＝0，解得：x1＝x2＝150．答：每臺彩電應(yīng)降價(jià)150元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023春?東陽市期末）澄泥硯是全國四大名硯之一，其歷史可上溯到唐代，為陶硯，以泥沙再造而成，其質(zhì)細(xì)膩，柔中有堅(jiān)，貯水不涸，歷寒不冰，發(fā)墨護(hù)毫，兼具陶石雙重優(yōu)點(diǎn)，某電商直播銷售一款澄泥硯，每塊澄泥硯的成本為30元，當(dāng)每塊售價(jià)定為48元時，平均每月可售出500塊澄泥硯，通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若售價(jià)每上漲1元，其月銷售量就減少10塊，若想獲得銷售澄泥硯的月利潤恰好為11200元，且每塊售價(jià)上漲不超過20元，問每塊澄泥硯的售價(jià)應(yīng)上漲多少元？【分析】設(shè)每塊澄泥硯的售價(jià)應(yīng)上漲x元，則每塊的銷售利潤為（48+x﹣30）元，平均每月可售出（500﹣10x）塊，利用總利潤＝每塊的銷售利潤×月銷售量，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每塊澄泥硯的售價(jià)應(yīng)上漲x元，則每塊的銷售利潤為（48+x﹣30）元，平均每月可售出（500﹣10x）塊，根據(jù)題意得：（48+x﹣30）（500﹣10x）＝11200，整理得：x2﹣32x+220＝0，解得：x1＝10，x2＝22（不符合題意，舍去）．答：每塊澄泥硯的售價(jià)應(yīng)上漲10元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?市期末）一人一盔，安全守規(guī)，為保證市民安全出行，某商店以每頂50元的價(jià)格購進(jìn)一批頭盔，售價(jià)為每頂80元時，每月可售出200頂，在“創(chuàng)建文明城市”期間，計(jì)劃將頭盔降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元，每月可多售出20頂，若該商店每月獲得的利潤為8000元，求每頂頭盔的售價(jià)是多少元？【分析】設(shè)每頂頭盔的售價(jià)是x元，則每頂頭盔的銷售利潤是（x﹣50）元，每月可售出200+20（80﹣x）＝（1800﹣20x）頂，利用總利潤＝每頂頭盔的銷售利潤×月銷售量，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每頂頭盔的售價(jià)是x元，則每頂頭盔的銷售利潤是（x﹣50）元，每月可售出200+20（80﹣x）＝（1800﹣20x）頂，根據(jù)題意得：（x﹣50）（1800﹣20x）＝8000，整理得：x2﹣140x+4900＝0，解得：x1＝x2＝70．答：每頂頭盔的售價(jià)是70元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?潼南區(qū)期末）某商店經(jīng)銷甲、乙兩種商品，現(xiàn)有如下信息：信息1：甲乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)之和是3元．信息2：甲商品零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)多2元，乙商品零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)的2倍少1元．信息3：按零售單價(jià)購買甲商品3件和乙商品2件，共付了15元．請根據(jù)以上信息，解答請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）求甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)；（2）該商店平均每天賣出甲商品600件和乙商品400件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲種商品零售單價(jià)每降0.1元，甲種商品每天可多銷售100件，商店決定在2022年“雙十一”期間把甲種商品的零售單價(jià)下調(diào)，乙種商品的零售單價(jià)不變，在不考慮其他因素的條件下，商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的總利潤為2000元，問甲種商品的零售單價(jià)定為多少元？【分析】（1）設(shè)甲種商品的進(jìn)貨單價(jià)為x元，乙種商品的進(jìn)貨單價(jià)為y元，則甲種商品的零售單價(jià)為（x+2）元，乙種商品的零售單價(jià)為（2y﹣1）元，根據(jù)“甲乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)之和是3元；按零售單價(jià)購買甲商品3件和乙商品2件，共付了15元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)甲種商品的零售單價(jià)定為m元，則每件甲種商品的銷售利潤為（m﹣1）元，平均每天的銷售量為（3600﹣1000m）件，利用總利潤＝每件的銷售利潤×平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)甲種商品的進(jìn)貨單價(jià)為x元，乙種商品的進(jìn)貨單價(jià)為y元，則甲種商品的零售單價(jià)為（x+2）元，乙種商品的零售單價(jià)為（2y﹣1）元，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲種商品的進(jìn)貨單價(jià)為1元，乙種商品的進(jìn)貨單價(jià)為2元；（2）設(shè)甲種商品的零售單價(jià)定為m元，則每件甲種商品的銷售利潤為（m﹣1）元，平均每天的銷售量為600+100×＝（3600﹣1000m）件，根據(jù)題意得：（m﹣1）（3600﹣1000m）+（2×2﹣1﹣2）×400＝2000，整理得：5m2﹣23m+26＝0，解得：m1＝2，m2＝2.6．答：甲種商品的零售單價(jià)定為2元或2.6元．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．8．（2022秋?忠縣期末）忠縣柑橘品種主要包括有愛媛、沃柑、金秋砂糖橘等．A網(wǎng)店僅將“愛媛”和“沃柑”裝箱售賣，張老師買了2箱“愛媛”，1箱“沃柑”，支付了110元；王老師買了1箱“愛媛”，2箱“沃柑”，支付了130元．（1）問A網(wǎng)店每箱“愛媛”和“沃柑”的售價(jià)是多少元？（2）A網(wǎng)店經(jīng)市場調(diào)查，按以上售價(jià)兩種柑橘每天共能銷售100箱，但若一箱“沃柑”的售價(jià)每降低2元，則每天兩種柑橘的銷售總量將增加4箱．所以，該店決定對“沃柑”降價(jià)銷售，“愛媛”價(jià)格不變．降價(jià)銷售后的第一天統(tǒng)計(jì)，銷售總量中有60%是“愛媛”，且總銷售金額為4080元，若降價(jià)后“沃柑”的單價(jià)還是不低于“愛媛”的單價(jià)．求每箱“沃柑”的售價(jià)降低了多少元？【分析】（1）設(shè)A網(wǎng)店每箱“愛媛”的售價(jià)是x元，每箱“沃柑”的售價(jià)是y元，根據(jù)張老師買了2箱“愛媛”，1箱“沃柑”，支付了110元及王老師買了1箱“愛媛”，2箱“沃柑”，支付了130元，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每箱“沃柑”的售價(jià)降低了m元，利用總銷售金額＝銷售單價(jià)×銷售數(shù)量，可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再結(jié)合降價(jià)后“沃柑”的單價(jià)還是不低于“愛媛”的單價(jià)，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)A網(wǎng)店每箱“愛媛”的售價(jià)是x元，每箱“沃柑”的售價(jià)是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：A網(wǎng)店每箱“愛媛”的售價(jià)是30元，每箱“沃柑”的售價(jià)是50元；（2）設(shè)每箱“沃柑”的售價(jià)降低了m元，根據(jù)題意得：（50﹣m）×（1﹣60%）（100+4×）+30×60%（100+4×）＝4080，整理得：m2﹣45m+350＝0，即（m﹣10）（m﹣35）＝0，解得：m1＝10，m2＝35，又∵50﹣m≥30，∴m≤20，∴m＝10．答：每箱“沃柑”的售價(jià)降低了10元．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．9．（2022秋?方城縣期末）某商店準(zhǔn)備銷售一種多功能旅行背包，計(jì)劃從廠家以每個30元的價(jià)格進(jìn)貨，經(jīng)過市場發(fā)現(xiàn)當(dāng)每個背包的售價(jià)為40元時，月均銷量為280個，售價(jià)每增長1元，月均銷量就相應(yīng)減少10個．（1）若使這種背包的月均銷量不低于130個，每個背包售價(jià)應(yīng)不高于55元；（2）在（1）的條件下，當(dāng)該這種書包銷售單價(jià)為多少元時，銷售利潤是3120元？（3）這種書包的銷售利潤有可能達(dá)到3700元嗎？若能，請求出此時的銷售單價(jià)；若不能，請說明理由．【分析】（1）設(shè)每個背包售價(jià)為x元，根據(jù)這種背包的月均銷量不低于130個，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍；（2）利用總利潤＝每個的銷售利潤×月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論；（3）這種書包的銷售利潤不能達(dá)到3700元，利用總利潤＝每個的銷售利潤×月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，由根的判別式Δ＝﹣36＜0，即可得出該方程沒有實(shí)數(shù)根，即這種書包的銷售利潤不能達(dá)到3700元．【解答】解：（1）設(shè)每個背包售價(jià)為x元，依題意得：280﹣10（x﹣40）≥130，解得：x≤55，∴x的最大值為55，即每個背包售價(jià)應(yīng)不高于55元．故答案為：55．（2）依題意得：（x﹣30）[280﹣10（x﹣40）]＝3120，整理得：x2﹣98x+2352＝0，解得：x1＝42，x2＝56（不符合題意，舍去）．答：當(dāng)該這種書包銷售單價(jià)為42元時，銷售利潤是3120元．（3）這種書包的銷售利潤不能達(dá)到3700元，理由如下：依題意得：（x﹣30）[280﹣10（x﹣40）]＝3700，整理得：x2﹣98x+2410＝0，∵Δ＝（﹣98）2﹣4×1×2410＝﹣36＜0，∴該方程沒有實(shí)數(shù)根，即這種書包的銷售利潤不能達(dá)到3700元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（3）牢記“當(dāng)Δ＜0時，方程無實(shí)數(shù)根”．10．（2022秋?渝北區(qū)期末）世界杯是世界上級別最高的足球賽事，2022年世界杯在卡塔爾隆重舉行，今年世界杯的吉祥物是“拉伊卜”，它的設(shè)計(jì)靈感來源于阿拉伯標(biāo)志型的白頭巾，某網(wǎng)店現(xiàn)售有一大一小兩種型號的“拉伊卜”擺件，已知每個大擺件的售價(jià)是每個小擺件售價(jià)的2倍還多60元，420元可購買一個大擺件和一個小擺件．（1）每個“拉伊卜”大擺件和小擺件的售價(jià)分別是多少？（2）第一天該網(wǎng)店按照原售價(jià)賣出大擺件30個，小擺件100個，因?yàn)樾[件庫存量大，第二天商家調(diào)整了銷售方案，大擺件的價(jià)格不變，小擺件的價(jià)格下調(diào)2m元，調(diào)整后，當(dāng)天大擺件的銷量下降了個，小擺件的銷量增加了個，當(dāng)天的銷售額達(dá)到了20520元，求降價(jià)后的小擺件的價(jià)格．【分析】（1）設(shè)每個“拉伊卜”大擺件的售價(jià)是x元，小擺件的售價(jià)是y元，根據(jù)“每個大擺件的售價(jià)是每個小擺件售價(jià)的2倍還多60元，420元可購買一個大擺件和一個小擺件”，可得出關(guān)于x，y的二元