云南省三新教研聯(lián)合體高二第二次聯(lián)考數學試卷和參考答案

絕密★啟用前【考試時間：2024年4月8日14：30—16：30】三新教研聯(lián)合體第二次聯(lián)考數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色碳素筆將自己的學校、姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的學校、準考證號、姓名、考場號、座位號，在規(guī)定的位置貼好條形碼及填涂準考證號．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，且，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據向量垂直的的坐標表示，列式求解，即得答案.【詳解】由，得，即，所以，故選：D．2.已知復數滿足：（為虛數單位），則復數（）A. B.5 C. D.6【答案】A【解析】【分析】根據復數運算法則求，再利用復數的模的公式求.【詳解】因為所以，則，故選：A．3.近日，云南人“打跳”視頻頻頻沖上各大平臺熱搜．唱最樸素的歌，跳最熱情的舞，云南人的快樂就是這么簡單．某平臺為了解“打跳”視頻的受歡迎程度，對2060歲的人群進行隨機抽樣調查，其中喜歡“打跳”視頻的有100人，把這100人按照年齡分成4組，然后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，現從第二組和第四組的人中分層隨機抽取10人做進一步的問卷調查，則應從第2組抽取的人數為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據題意，利用頻率分布直方圖的性質，結合分層抽樣的方法，即可求解.【詳解】由圖可知，第二組的頻率為0.2，頻數為20，第四組頻率為0.3，頻數為30，按分層隨機抽樣抽取10人，則應從第二組抽取的人數為人.故選：B．4.已知集合，則中的元素個數有（）個A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據題意，求得雙曲線的漸近線方程，結合直線與平行，即可求解.【詳解】由雙曲線的漸近線為，因為直線與平行，所以有1個交點，所以中的元素個數為1個.故選：B．5.在等差數列中，公差，若，則（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】C【解析】【分析】根據題意，利用等差數列的通項公式和求和公式，列出方程，即可求解.【詳解】因為，可得，所以，即，又因為，所以.故選：C．6.函數在上單調遞減的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意，結合對數函數的圖象與性質，列出不等式組，求得的范圍，結合充分、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】令，則，其中，因為在上單調遞減，所以在上單調遞增，則滿足，即，解得，所以，的一個充分不必要條件是.故選：A．7.幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設是銳角的一邊上的兩點，試在邊上找一點，使得最大．”如圖，其結論是：點為過兩點且和射線相切的圓的切點．根據以上結論解決以下問題：在平面直角坐標系中，給定兩點，點在軸上移動，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意得出滿足條件的過三點的圓的方程，由已知當取最大值時，圓必與軸相切于點，得出對應的切點分別為，即可得出答案.【詳解】解：設圓心坐標為，則，圓的方程為因為兩點在圓上，所以，解得或，當時，為劣弧所對角，故舍去．所以，所以，所以為等腰直角三角形，所以，故選：B．8.設，函數，若函數恰有3個零點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，先考慮時，函數在上有2個零點，再考慮，分與兩種情況，結合函數圖象，得到不等式，求出答案.【詳解】設，當時，，此時，由得，即，解得或，所以在上有2個零點，時，若，對稱軸為，函數的大致圖象如下：此時，即，則，所以無解，則無零點，無零點，綜上，此時只有兩個零點，不符合題意，若，此時的大致圖象如下：令，解得，顯然令在上存在唯一負解，要使恰有3個零點，只需在上除或外不能再有其他解，即不能再有除或外的其他解，故，即，解得，所以.故選：D【點睛】思路點睛：復合函數零點個數問題處理思路：①利用換元思想，設出內層函數；②分別作出內層函數與外層函數的圖象，分別探討內外函數的零點個數或范圍；③內外層函數相結合確定函數交點個數，即可得到復合函數在不同范圍下的零點個數.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題正確的是（）A.若函數過點，則B.若，則在方向上的投影向量的坐標為C.若弧長為的弧所對圓心角為，則扇形面積為D.【答案】AD【解析】【分析】根據題意，利用冪函數的定義，向量的數量積的運算，以及弧長與面積公式，三角恒等變換的公式，準確計算，即可求解.【詳解】對于A中，因為過點，所以，所以，所以A正確；對于B中，由向量，可得在方向上的投影向量的坐標為，所以B錯誤；對于C中，由弧長為的弧所對圓心角為，可得，則，所以C錯誤；對于D中，由，所以D正確.故選：AD.10.已知函數的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，則（）A.B.函數的一條對稱軸為直線C.在上單調遞減D.當時，若方程恰有三個不相等的實數根，則【答案】ABD【解析】【分析】A，根據圖象顯示可得函數周期，最值，代入最低點即可得，再平移即可得；B，將代入計算看是否取最值即可；C，求出的范圍，利用正弦函數的單調性來判斷；D，畫圖，通過圖象觀察結合函數對稱性進行計算.【詳解】A．由圖知，，，因為，所以，則，所以，故A正確；B．當時，，此時取到最大值，所以是的一條對稱軸，故B正確；C．因為，所以，而在上單調遞增，所以在上單調遞增，故C錯；D．由，得，因為，所以，所以的圖象如下：所以，即，所以，而，所以，則，故D正確．故選：ABD.11.在長方體中，已知，點滿足，其中，則（）A.當時，的周長為定值B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，有且僅有一個點使得D.當時，三棱錐的外接球表面積的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】當點為中點和點在點處時，分別求得其的周長，可判定A錯誤；當時，得到點在上，證得平面，結合直線上的點到平面的距離相等，可判定B正確；取中點，中點，連接，得到過點作的垂線，只能作出一條，可判定C正確；由三棱錐的外接球即為四棱錐的外接球，結合球的性質，可判定D正確.【詳解】對于A中，當時，，可得，即，所以點在上，當點為中點時，的周長為；當點在點處時，的周長為，所以周長不是定值，所以A錯誤；對于B中，當時，，可得，即，可得，所以點在上，因為，且平面，平面，所以平面，所以直線上的點到平面的距離相等，則的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以B正確；對于C中，如圖所示，當時，，取中點，中點，連接，則，因為，可得，即，可得，所以點在上，又因為過點作的垂線，只能作出一條，所以過點作的垂線，也只能作出一條，所以有且僅有一點（中點）使，所以C正確；對于D中，當時，，所以點上，三棱錐的外接球即為四棱錐的外接球，當點為中點時，因為為直角三角形，其外心為中點，外心為中點，此時平面，則球心為，半徑，當不是中點時，平面截球截得小圓，則球的半徑，所以三棱錐的外接球表面積的最小值為，所以D正確．故選：BCD.【點睛】方法點睛：求解立體幾何中動態(tài)問題與存在性問題的策略：1、解答方法：一般時根據線面平行，線面垂直的判定定理和性質定理，結合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程；2、對于線面位置關系的存在性問題，首先假設存在，然后再該假設條件下，利用線面位置關系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾的結論，則否定假設；3、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設存在，設出空間點的坐標，轉化為代數方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在，同時，用已知向量來表示未知向量，一定要結合圖形，以圖形為指導思想是解答此類問題的關鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.曲線在點處的切線方程為________．【答案】【解析】【分析】求導，得到斜率，利用點斜式求出切線方程.【詳解】，當時，，故切線方程為，即.故答案為：13.設，若直線過曲線（，且）的定點，則的最小值為________．【答案】2【解析】【分析】根據指數的運算性質，結合基本不等式進行求解即可.【詳解】因為曲線過定點，所以，即，則，當且僅當時,即時取“”，所以的最小值為2．故答案為：214.定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”．已知橢圓是“黃金橢圓”，則________．若“黃金粗圓”的兩個焦點分別為，為橢圓上異于頂點的任意一點，點是的內心，連接并延長交于點，則________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據題意，得到，求得的值，連接，設的內切圓半徑為，結合，化簡得到，即可求解.【詳解】由橢圓的離心率為，可得，所以，如圖所示，連接，設的內切圓半徑為，則，即，所以，所以，因為，所以，所以．故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知分別為三個內角的對邊，且．（1）求；（2）若，且的面積為，求．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根據正弦定理實現邊角轉化，結合兩角和的正弦公式、輔助角公式進行求解即可；（2）根據余弦定理和三角形面積公式進行求解即可.【小問1詳解】因為，所以，，，，因為，所以，即，所以，因為，所以，所以有，所以；【小問2詳解】因為，且的面積為，所以有，或.16.如圖，在四面體中，平面是中點，是線段上一點（不包含端點），點在線段上，且．（1）若是中點，求證：∥平面；（2）若是正三角形，，且，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，連接，證明平面平面，利用面面平行的性質定理，即可證明結論；（2）建立空間直角坐標系，求出相關點坐標，求出平面與平面的法向量，利用空間角的向量求法，即可求得答案.【小問1詳解】如圖，取中點，連接，因為為中點，所以，平面，平面，故平面，因為為中點，為中點，所以，又因為，所以,故，平面，平面，故平面，因為，且平面，所以平面平面，因為平面，所以平面；【小問2詳解】如圖，取中點，連接,則,因為平面，故平面，連接，由于是正三角形，故，以O為坐標原點，以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，由于，故，則，，設平面的法向量，則，令，則，而平面的法向量可取為，設平面與平面的夾角為，，所以.17.某射擊小組有甲、乙兩名運動員，其中甲、乙二人射擊成績優(yōu)秀的概率分別為，且兩人射擊成績是否優(yōu)秀相互獨立．（1）若甲、乙兩人各射擊一次，求至多1人射擊成績優(yōu)秀概率；（2）在一次訓練中，甲、乙各連續(xù)射擊10次，甲擊中環(huán)數的平均數為7.8，方差為1.6，乙擊中環(huán)數的平均數為8.2，方差為2.8，求兩人在這20次射擊中擊中環(huán)數的方差．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設成績優(yōu)秀的人數為，則，再由獨立事件的乘法公式求解即可.（2）由方差公式求解即可.【小問1詳解】解：設成績優(yōu)秀的人數為，則【小問2詳解】解：（方法一）設甲連續(xù)射擊10次擊中環(huán)數為，平均數為，乙連續(xù)射擊10次擊中環(huán)數為，平均數為，兩人這20次射擊的平均數由，得，同理，方差：（方法二）由分層方差公式得18.已知數列中，為的前項和，．（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據題意，推得，且，得到是等比數列，即可求得數列的通項公式；（2）方法一：由（1）求得，結合裂項相消法求和，即可求解；方法二：由（1）求得，分為奇數和為偶數，結合相消法求和，即可求解.【小問1詳解】解：由數列中，為的前項和，，當時，，兩式相減得，可得，當時，，則，所以是等比數列，首項為3，公比為3，所以，所以數列的通項公式為.【小問2詳解】解：方法一：由（1）知，可得，所以.方法二：由，當為奇數時，當為偶數時，所以數列的前項和.19.已知動點到點的距離比到直線的距離小2，設動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的軌跡方程；（2）已知點，過點作直線與曲線交于兩點，連接分別交于兩點．①當直線的斜率存在時，設直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；②求面積的最小值．【答案】（1）（2）①是，定值；②【解析】【分析】（1）由拋物線的定義得到軌跡方程；（2）①設出直線，直曲聯(lián)立，得到和，再由斜率的定義，代入即可求出定值；②由點斜式寫出直線方程，得到過定點，再由三角形面積公式表達出面積，結合弦長公式和二次函數的值域確定最小值.【小問1詳解】由題可知，點到