1112全等圖形及全等三角形（原卷版）

（蘇科版）八年級上冊數(shù)學(xué)《第1章全等三角形》1.1&1.2全等圖形及全等三角形知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一全等圖形◆1、全等圖形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形．【注意】全等形的形狀相同，大小相同，與圖形所在的位置無關(guān)，因此平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等．知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二全等三角形◆1、全等形的有關(guān)概念和表示方法：（1）全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．（2）三角形全等的符號：“全等”用符號“≌”表示．全等的表示方法：△ABC≌△FDE【注意】在記兩個三角形全等時，通常把對應(yīng)頂點(diǎn)寫在對應(yīng)位置上．（3）對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊、對應(yīng)角：把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫做對應(yīng)邊；重合的角叫做對應(yīng)角．（4）尋找對應(yīng)元素的規(guī)律①有公共邊的，公共邊一般是對應(yīng)邊；②有公共角的，公共角一般是對應(yīng)角；③有對頂角的，對頂角一般是對應(yīng)角；④兩個全等三角形最大的邊是對應(yīng)邊，最小的邊也是對應(yīng)邊；⑤兩個全等三角形最大的角是對應(yīng)角，最小的角也是對應(yīng)角.◆2、三種常見的全等類型：（1）平移型；（2）翻折型；（3）旋轉(zhuǎn)型.全等變化：一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀和大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等．知識點(diǎn)三知識點(diǎn)三全等三角形的性質(zhì)◆性質(zhì)1：全等三角形的對應(yīng)邊相等．性質(zhì)2：全等三角形的對應(yīng)角相等．拓展：①全等三角形的對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的平分線相等．②全等三角形的周長相等，面積相等．【注意】①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時要會找對應(yīng)角和對應(yīng)邊．②要正確區(qū)分對應(yīng)邊與對邊，對應(yīng)角與對角的概念，一般地：對應(yīng)邊、對應(yīng)角是對兩個三角形而言，而對邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角．題型題型一全等圖形【例題1】（2023春?沙坪壩區(qū)校級期中）下列各組給出的兩個圖形中，全等的是（）A． B． C． D．解題技巧提煉根據(jù)定義來判斷全等圖形，能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形．【變式11】（2022秋?沙河市期末）與如圖全等的圖形是（）A．B． C．D．【變式12】（2022春?濟(jì)南期中）下列各選項(xiàng)中的兩個圖形屬于全等形的是（）A． B． C． D．【變式13】（2022秋?欒城區(qū)期中）下列說法正確的是（）A．兩個面積相等的圖形一定是全等圖形 B．兩個正方形是全等圖形 C．若兩個圖形的周長相等，則它們一定是全等圖形 D．兩個全等圖形的面積一定相等【變式14】在如圖所示的四個圖形中，屬于全等形的是（）A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④【變式15】（2023春?南山區(qū)期中）下列四個選項(xiàng)中，不是全等圖形的是（）A． B． C． D．題型二題型二全等三角形的概念及表示方法【例題2】如圖，若把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度就得到△ADE，那么對應(yīng)邊AB，BC＝，對應(yīng)角∠CAB＝，∠B＝．解題技巧提煉能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．“全等”用符號“≌”表示．在記兩個三角形全等時，通常把對應(yīng)頂點(diǎn)寫在對應(yīng)位置上．【變式21】如圖，把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE，那么這兩個三角形的關(guān)系可用符號表示為，點(diǎn)B的對應(yīng)頂點(diǎn)為，邊DE的對應(yīng)邊為，∠BAC的對應(yīng)角為．【變式22】如圖，△ABD≌△ACE，∠B＝∠C，則∠AEC的對應(yīng)角是，BD的對應(yīng)邊是．【變式23】已知△ADC≌△CEB，寫出兩個全等三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊及對應(yīng)角．【變式24】如圖，在△AEC≌△ADB，點(diǎn)E和點(diǎn)D是對應(yīng)頂點(diǎn)．寫出它們的對應(yīng)邊和對應(yīng)角．【變式25】如圖，△ABC≌△DEF，AB和DE是對應(yīng)邊，∠A和∠D是對應(yīng)角，找出圖中所有相等的線段和角．題型三題型三利用全等三角形的性質(zhì)求角度【例題3】（2022秋?梁子湖區(qū)期末）如圖，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，則∠C的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°解題技巧提煉先利用全等三角形的性質(zhì)確定兩個三角形中角的對應(yīng)關(guān)系，再由這種關(guān)系實(shí)現(xiàn)已知角和未知角之間的轉(zhuǎn)換，從而求出所要求的角的讀數(shù)等．【變式31】（2022秋?新豐縣期末）如圖所示，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠C＝95°，∠EAD的度數(shù)是（）A．44° B．55° C．66° D．77°【變式32】（2023春?渝中區(qū)校級期中）如圖，△ABC≌△ADE，線段BC的延長線過點(diǎn)E，與線段AD交于點(diǎn)F，∠AED＝108°，∠CAD＝12°，∠B＝48°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．28° B．36° C．38° D．42°【變式33】（2022秋?平橋區(qū)期末）如圖，N，C，A三點(diǎn)在同一直線上，N，B，M三點(diǎn)在同一直線上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，則∠BCM的度數(shù)等于（）A．10° B．20° C．30° D．40°【變式34】（2023春?嘉定區(qū)期末）如圖，已知△ABC≌△ADE，且點(diǎn)B與點(diǎn)D對應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)E對應(yīng)，點(diǎn)D在BC上，∠BAE＝114°，∠BAD＝40°，則∠E的度數(shù)是°．【變式35】（2022春?榆林期中）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E，連接AD、AC、BC，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，求∠B的度數(shù)．題型四題型四利用全等三角形的性質(zhì)求線段長【例題4】（2023?廣東模擬）如圖，△ABC≌△BAD，A的對應(yīng)頂點(diǎn)是B，C的對應(yīng)頂點(diǎn)是D，若AB＝8，AC＝3，BC＝7，則AD的長為（）A．3 B．7 C．8 D．以上都不對解題技巧提煉先利用全等三角形的性質(zhì)確定兩個三角形中邊的對應(yīng)關(guān)系，再由這種關(guān)系實(shí)現(xiàn)已知線段和未知線段之間的轉(zhuǎn)換，從而求出所要求的線段的長等．【變式41】（2023?長沙模擬）如圖，△ABC≌△DEF，DE＝5，AE＝2，則BE的長是（）A．5 B．4 C．3 D．2【變式42】（2022秋?德城區(qū)校級期末）如圖，點(diǎn)E在AC上，△ABC≌△DAE，BC＝3，DE＝7，則CE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式43】（2023春?豐澤區(qū)期末）如圖，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直線上，且CE＝5，AC＝7，則BD長為．【變式44】（2022?黎城縣一模）如圖，△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，若AD＝11，BC＝7，求線段AB的長．【變式45】（2022秋?青縣校級月考）如圖，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是對應(yīng)角．在△NMH中，MH是最長邊．在△EFG中，F(xiàn)G是最長邊，EF＝2.1cm，EH＝1.2cm，NH＝4.4cm．（1）寫出其他對應(yīng)邊及對應(yīng)角；（2）求線段NM及線段HG的長度．題型五題型五利用全等三角形的性質(zhì)證明線段或角相等【例題5】如圖，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是對應(yīng)邊，點(diǎn)E在邊BC上，AB與DE交于點(diǎn)F．（1）求證：∠CAE＝∠BAD；（2）若∠BAD＝35°，求∠BED的度數(shù)．解題技巧提煉利用全等三角形的性質(zhì)證明線段、角的數(shù)量關(guān)系的方法是先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到線段、對應(yīng)角相等，然后根據(jù)等量關(guān)系將已知線段、角進(jìn)行等量代換，再結(jié)合圖形利用線段、角的和、差、倍、分關(guān)系進(jìn)行計算、證明，此外，要注意挖掘圖形中隱含的條件.【變式51】（2022秋?淮安期中）如圖，點(diǎn)E在AB上，△ABC≌△DEC，求證：CE平分∠BED．【變式52】如圖，已知△ABE≌△ACF，請確定BF與CE的大小關(guān)系，并說明理由．【變式53】如圖所示，已知△ABC≌△DCB，試說明∠ABD＝∠ACD．【變式54】（2023春?長春期末）如圖，△ABC≌△DEF，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)D，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)E，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上．（1）求證：BF＝EC；（2）若AB＝3，EF＝7，求AC邊的取值范圍．【變式55】如圖，A，E，C三點(diǎn)在同一直線上，且△ABC≌△DAE．線段DE，CE，BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．題型六題型六利用全等三角形的性質(zhì)判斷兩直線的位置關(guān)系【例題6】（2022春?白塔區(qū)校級月考）已知，如圖∠B＝90°，△ABC≌△CDE，B、C、D三點(diǎn)共線．試說明：AC⊥CE．解題技巧提煉證明兩直線的位置關(guān)系時，通常考慮平行、垂直特殊的關(guān)系，證明平行的方法是將問題轉(zhuǎn)化為證明同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，這些角的關(guān)系一般可由全等三角形的性質(zhì)得到；證明垂直的方法是將問題轉(zhuǎn)化為證明它們的夾角為90°或相關(guān)三角形的兩銳角互余.【變式61】（2023春?南岸區(qū)校級期中）如圖所示，已知AD⊥BC于點(diǎn)D，△ABD≌△CFD．（1）若BC＝10，AD＝7，求BD的長．（2）求證：CE⊥AB．【變式62】（2022春?余江區(qū)期末）如圖，A，E，C三點(diǎn)在同一直線上，且△ABC≌△DAE．（1）線段DE，CE，BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（2）請你猜想△ADE滿足什么條件時，DE∥BC，并證明．【變式63】如圖，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．（1）求∠F的度數(shù)與DH的長；（2）求證：AB∥DE．【變式64】如圖，點(diǎn)A，O，B在同一直線上，且△ACO≌△BDO．證明：（1）點(diǎn)C，O，D在同一直線上；（2）AC∥BD．【變式65】如圖，已知△ACE≌△BCD，AC⊥BC，AE與BD交于點(diǎn)F，試探究AE與BD有怎樣的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．題型七題型七全等三角形的性質(zhì)在圖形變換中的應(yīng)用【例題7】如圖，將長方形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，如果∠BAF＝60°，那么∠DAE等于（）A．60° B．45° C．30° D．15°解題技巧提煉一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀和大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等,因此可利用全等三角形的性質(zhì)解決問題．【變式71】如圖，將Rt△ABC沿BC方向平移得Rt△DEF，其中AB＝8，BE＝8，DM＝5，則陰影部分的面積是．【變式72】（2022秋?橋西區(qū)期末）長方形ABCD如圖折疊，D點(diǎn)折疊到D'的位置，已知∠D'FC＝40°，則∠EFC＝（）A．120° B．115° C．112° D．110°【變式73】如圖，三角形紙片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個三角形，使頂點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD，則△AED的周長為（）cm．A．9 B．13 C．16 D．10【變式74】（2022?紅橋區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，AB＝BC，將△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1，A1B交AC于點(diǎn)E，A1C1分別交AC，BC于點(diǎn)D，F(xiàn)，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠CDF＝∠A B．A1E＝CF C．∠A1DE＝∠C1 D．DF＝FC【變式75】如圖，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ADE的位置，使點(diǎn)E落在BC邊上，則對于結(jié)論：①DE＝BC；②∠EAC＝∠DAB；③EA平分∠DEC；④若DE∥AC，則∠DEB＝60°；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式76】（2022秋?大興區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為E，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D落在線段AB上，連接BE．下列結(jié)論：①DC平分∠ADE；②∠BDE＝∠BCE；③BD⊥BE；④BC＝DE．其中所有正確結(jié)論的序號是．題型八題型八利用全等三角形的性質(zhì)探究動點(diǎn)問題【例題8】如圖所示，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上以每秒3個單位長度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，同時點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A以每秒a個單位長度的速度運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．（1）求CP的長（用含t的式子表示）；（2）若以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)B、D、P為頂點(diǎn)的三角形全等，并且∠B和∠C是對應(yīng)角，求a和t的值．解題技巧提煉利用全等三角形的性質(zhì)探究動點(diǎn)問題，主要是“化動為靜”，再利用全等三角形的對應(yīng)邊相等解決問題，同時要注意對應(yīng)關(guān)系的明確，有時要用到分類討論的思想.【變式81】（2022秋?煙臺期末）如圖，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動．同時，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），則當(dāng)△ACP與△BPQ全等時，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為．【變式82】（2023春?渭濱區(qū)期末）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，現(xiàn)有一動點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運(yùn)動，回到點(diǎn)A停止，速度為3cm/s，設(shè)運(yùn)動時間為ts．（1）如圖（1），當(dāng)t＝時，△APC的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4