清單08勾股定理的實(shí)際應(yīng)用（12種題型解讀（30題））

清單08勾股定理的實(shí)際應(yīng)用（12種題型解讀（30題））【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】【考試題型1】求梯子滑落高度1．如圖，某火車站內(nèi)部墻面MN上有破損處（看作點(diǎn)A），現(xiàn)維修師傅需借助梯子DE完成維修工作．梯子的長(zhǎng)度為5m，將其斜靠在這面墻上，測(cè)得梯子底部E離墻角N處3m，維修師傅爬到梯子頂部使用儀器測(cè)量，此時(shí)梯子頂部D距離墻面破損處(1)該火車站墻面破損處A距離地面有多高？(2)如果維修師傅要使梯子頂部到地面的距離為4.8m．那么梯子底部需要向墻角方向移動(dòng)多少米？【答案】(1)該火車站墻面破損處A距離地面的高度為5(2)梯子底部需要向墻角方向移動(dòng)8【分析】（1）利用勾股定理求出DN的長(zhǎng)度，則AN=AD+DN；（2）設(shè)BC是梯子移動(dòng)后的位置，利用勾股定理求出BN，則BE=EN-BN．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得在Rt△DEN中，DE=5m，由勾股定理，得DN=D∵AD=1m∴AN=AD+DN=1+4=5m答：該火車站墻面破損處A距離地面的高度為5m（2）解：如圖，此時(shí)BC是梯子移動(dòng)后的位置．∵在Rt△BCN中，BC=5m，∴由勾股定理，得BN=B∴BE=EN-BN=3-7答：梯子底部需要向墻角方向移動(dòng)85【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，即直角三角形兩角直角邊長(zhǎng)平方的和等于斜邊長(zhǎng)的平方．2．一梯子AC長(zhǎng)2.5m，如圖那樣斜靠在一面墻上，梯子底端離墻0.7m．(1)這架梯子的頂端離地面有多高？(2)設(shè)梯子頂端到水平地面的距離為m，底端到垂直墻面的距離為n，若mn=a，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知：當(dāng)2.7<a<5.6【答案】(1)這架梯子的頂端離地面2.4m；(2)此時(shí)使用不安全【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）由勾股定理求出BC'，利用公式mn【詳解】（1）解：由題意可知在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2.5，BC=0.7∴由勾股定理可得，AB即AB=A∴AB=2.4(m)，即這架梯子的頂端離地面2.4（2）解：如圖所示，AA'=0.4，則在△A'∴由勾股定理可得，BC∴可得mn∴此時(shí)使用不安全．．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確掌握勾股定理的計(jì)算公式及正確理解題意是解題的關(guān)鍵．3．如圖，滑桿在機(jī)械槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，∠ACB為直角，已知滑桿AB長(zhǎng)2.5米，頂端A在AC上運(yùn)動(dòng)，滑桿下端B距C點(diǎn)的距離為1.5米，當(dāng)端點(diǎn)B向右移動(dòng)0.5米（D處）時(shí)，求滑桿頂端A下滑多少米（E處）.【答案】梯子下滑0.5米.【分析】由題意可知滑桿AB與AC、CB正好構(gòu)成直角三角形，同理DE與CE、CD正好構(gòu)成直角三角形，故可用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：設(shè)AE的長(zhǎng)為x米，依題意得CE=ACx，∵AB=DE=2.5米，BC=1.5米，∠C=90°，∴AC∴AC=2米，∵BD=0.5米，∴在Rt△ECD中，C∴2-x=1.5，x=0.5，即AE=0.5米，答：梯子下滑0.5米.【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．【考試題型2】求旗桿高度4．《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾．”(注：1步＝5尺)譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，問(wèn)繩索有多長(zhǎng)．”【答案】292【分析】設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意可得AB=（x4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x4）2，解之即可．【詳解】解：設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意可列方程為：x2=102+（x4）2，解得：x=292∴秋千的繩索長(zhǎng)為292【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出AB、AC的長(zhǎng)，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．5．學(xué)過(guò)《勾股定理》后，某班興趣小組來(lái)到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿AB的高度，得到如下信息：①測(cè)得從旗桿頂端垂直掛下來(lái)的升旗用的繩子比旗桿長(zhǎng)1米（如圖1）；②當(dāng)將繩子拉直時(shí)，測(cè)得此時(shí)拉繩子的手到地面的距離CD為1米，到旗桿的距離CE為6米（如圖2）．根據(jù)以上信息，求旗桿AB的高度．【答案】9米【分析】設(shè)AB=x，則AC=x+1，AE=x-1，再根據(jù)勾股定理可列出關(guān)于x的等式，解出x即得出答案．【詳解】解：設(shè)AB=x依題意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x-1，CE=6根據(jù)勾股定理得：AC2=A解得：x=9答：旗桿AB的高度是9米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．結(jié)合題意，利用勾股定理列出含未知數(shù)的等式是解題關(guān)鍵．【考試題型3】求小鳥(niǎo)飛行距離6．如圖，有兩棵樹(shù)，一棵樹(shù)高AC是10米，另一棵樹(shù)高BD是4米，兩樹(shù)相距8米（即CD=8米），一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢A點(diǎn)處飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢B點(diǎn)處，則小鳥(niǎo)至少要飛行多少米？【答案】小鳥(niǎo)至少飛行了10米【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥(niǎo)沿著兩棵樹(shù)的樹(shù)梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【詳解】解：如圖，大樹(shù)高為AC=10米，小樹(shù)高為BD=4米，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于E，則四邊形EBDC是矩形，連接AB，∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），∴AE=ACEC=104=6（米），在Rt△AEB中，AB=A答：小鳥(niǎo)至少飛行了10米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，善于觀察題目的信息是解題的關(guān)鍵．7．如圖，有兩棵樹(shù)，大樹(shù)AC高為10米，小樹(shù)BD高為5米，兩樹(shù)相距12米．若一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢A飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢B，求小鳥(niǎo)飛行的最短路程．【答案】小鳥(niǎo)飛行的最短路程為13米．【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥(niǎo)沿著兩棵樹(shù)的頂端進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【詳解】解：如圖，過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則四邊形EBDC是長(zhǎng)方形，連接AB．∵AC=10米，BD=5米，∴EC=5米，EB=12米，AE=AC-EC=10-5=5米，在Rt△AEB中，AB=AE2故小鳥(niǎo)飛行的最短路程為13米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解．【考試題型4】求大數(shù)折斷前高度8．如圖，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度為16米的大樹(shù)被折斷，樹(shù)的頂部落在離樹(shù)根8米處，即BC=8，求這棵樹(shù)在離地面多高處被折斷（即求AC的長(zhǎng)度）？【答案】這棵樹(shù)在離地面6米處被折斷【分析】設(shè)AC=x，利用勾股定理列方程求解即可.【詳解】解：設(shè)AC=x，∵在Rt△ABC中，A∴x2∴x=6．答：這棵樹(shù)在離地面6米處被折斷【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．當(dāng)題目中出現(xiàn)直角三角形，且該直角三角形的一邊為待求量時(shí)，常使用勾股定理進(jìn)行求解．有時(shí)也可以利用勾股定理列方程求解．9．我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.問(wèn)：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈八，蟲(chóng)傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部6尺遠(yuǎn)．問(wèn)：折處離地還有多高的竹子？（1丈=10尺）【答案】8尺【分析】設(shè)原處還有x尺高的竹子，由題意得到折后竹子豎直高度+斜倒部分的長(zhǎng)度=18尺，再運(yùn)用勾股定理列方程即可求解．【詳解】解：設(shè)折處離地還有x尺高的竹子,如圖，在Rt△ABC中，AC=x尺，則AB=一丈八AC=(18x)尺由勾股定理得AC所以x2解得：x=8．答：折處離地還有8尺高的竹子．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題．此題中的直角三角形只知道一直角邊，另兩邊未知往往要列方程求解．【考試題型5】解決水杯中筷子高度10．如圖，將一根25㎝長(zhǎng)的細(xì)木棒放入長(zhǎng)、寬、高分別為8㎝、6㎝和103㎝的長(zhǎng)方體無(wú)蓋盒子中，求細(xì)木棒露在盒外面的最短長(zhǎng)度是多少？【答案】5cm【分析】利用勾股定理求出盒子的對(duì)角線長(zhǎng)即可.【詳解】盒子底面的對(duì)角線長(zhǎng)為62+∴盒子的對(duì)角線長(zhǎng)為102+則細(xì)木棒露在盒外面的最短長(zhǎng)度是25﹣20=5cm.【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.11．如圖，水池中離岸邊D點(diǎn)4米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是2米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，則水池的深度AC為多少米．【答案】水池的深度AC為3米．【分析】首先設(shè)水池中水的深度AC為x米，則AB=AD=x+2米，然后再利用勾股定理可得方程x【詳解】解：設(shè)水池中水的深度AC為x米，則AB=AD=x+2在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理，得A即x2解得x=3．所以水池的深度AC為3米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法．12．如圖，一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體小杯子放置在桌面上，AB=BC=6cm，CD=16

(1)一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿小杯子外表面爬到D點(diǎn)，求螞蟻怎樣走最短，最短路程是多少？(2)為了怕杯子落入灰塵又方便使用，現(xiàn)在需要給杯子蓋上蓋子，并把一雙筷子放進(jìn)杯子里，請(qǐng)問(wèn)，筷子的最大長(zhǎng)度是多少？【答案】(1)最短路程是20cm(2)筷子的最大長(zhǎng)度是282【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）求得長(zhǎng)方體盒子的體對(duì)角線即可求解?！驹斀狻浚?）解：如圖1所示：

圖1由題意得：AB=BC=6cm，CD=16∴AC=AB+BC=12cm在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=∴最短路程是20cm；（2）將筷子斜著放，

∵AB=BC=6cm，CD=16∴AC=6∴AD=A即筷子的最大長(zhǎng)度是282cm【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活利用勾股定理進(jìn)行求解?！究荚囶}型6】解決航海問(wèn)題13．如圖，甲乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以16海里/時(shí)速度沿北偏東40°方向航行，乙船沿南偏東50°方向航行，3小時(shí)后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島．若C、B兩島相距60海里，問(wèn)：乙船的航速是多少？【答案】乙船的航速是12海里/時(shí)．【分析】根據(jù)甲船和乙船航行的角度，可知∠CAB＝90°，用勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)度，最后求出乙船的速度即可．【詳解】解：∵甲船沿北偏東40°方向航行，乙船沿南偏東50°方向航行，∴∠CAB＝90°，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∵AC＝16×3＝48，BC＝60，∴AB=BC∴乙船的航速是36÷3＝12海里/時(shí)，答：乙船的航速是36÷3＝12海里/時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練的掌握“在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊大的平方”是解題的關(guān)鍵．14．臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A、B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．

(1)海港C會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？【答案】(1)會(huì)，理由見(jiàn)解析(2)7h【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出CD的長(zhǎng)，從而判斷出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間．【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D點(diǎn)，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC∴△ABC為直角三角形，∴12∴300×400=500CD，∴CD=240km∵以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響；（2）由（1）得CD=240km，如圖所示，當(dāng)EC=FC=250km時(shí)，即臺(tái)風(fēng)經(jīng)過(guò)EF段時(shí)，正好影響到海港C，此時(shí)△ECF為等腰三角形，∵ED=E∴EF=140km，∵臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，∴140÷20=7h，∴臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有7h．

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．15．在海平面上有A，B，C三個(gè)標(biāo)記點(diǎn)，其中A在C的北偏西54°方向上，與C的距離是800海里，B在C的南偏西36°方向上，與C的距離是600海里．

(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離；(2)若在點(diǎn)C處有一燈塔，燈塔的信號(hào)有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時(shí)會(huì)發(fā)射一次信號(hào)，此時(shí)在點(diǎn)B處有一艘輪船準(zhǔn)備沿直線向點(diǎn)A處航行，輪船航行的速度為每小時(shí)20海里．輪船在駛向A處的過(guò)程中，最多能收到多少次信號(hào)？（信號(hào)傳播的時(shí)間忽略不計(jì)）．【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信號(hào)【分析】（1）由題意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離；（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB交AB于點(diǎn)H，在AB上取點(diǎn)M，N，使得CN＝CM＝500海里，分別求得【詳解】（1）由題意，得：∠NCA＝∴∠ACB＝∵AC＝∴AB=A（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB交AB于點(diǎn)H，在AB上取點(diǎn)M，N，使得CN＝

∵CH⊥AB；∴∠CHB＝∵S△ABC∴CH＝∵CN＝∴NH=MH=C則信號(hào)次數(shù)為140×2÷20＝答：最多能收到14次信號(hào)．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，直角三角形的判定等知識(shí)，涉及路程、速度、時(shí)間的關(guān)系，熟練掌握勾股定理是關(guān)鍵．【考試題型7】求河寬問(wèn)題16．如圖，某人從點(diǎn)A劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C離欲到達(dá)點(diǎn)B有45m，已知他在水中實(shí)際劃了75m，求該河流的寬度AB．【答案】60m【分析】從實(shí)際問(wèn)題中找出直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到該河流的寬度．【詳解】解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，由勾股定理可得：AB＝AC2-B∴該河流的寬度為60m．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．17．如圖，某渡船從點(diǎn)B處沿著與河岸垂直的路線AB橫渡，由于受水流的影響，實(shí)際沿著B(niǎo)C航行，上岸地點(diǎn)C與欲到達(dá)地點(diǎn)A相距70米，結(jié)果發(fā)現(xiàn)BC比河寬AB多10米．(1)求該河的寬度AB；（兩岸可近似看作平行）(2)設(shè)實(shí)際航行時(shí)，速度為每秒5米，從C回到A時(shí)，速度為每秒4米，求航行總時(shí)間．【答案】(1)AB=240米(2)航行總時(shí)間為67.5秒【分析】（1）根據(jù)題意可知△ABC為直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出直角邊AB的距離．（2）根據(jù)時(shí)間=路程÷速度，求出行駛的時(shí)間即可．【詳解】（1）解：設(shè)AB=x米，則BC=(x+10)米，在Rt△ABCx2解得：x=240，答：河寬240米．（2）解：240+10÷5=5070÷4=17.5（秒），50+17.5=67.5（秒），答：航行總時(shí)間為67.5秒．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，列出方程是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船，河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)E，同時(shí)小船從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B，且繩長(zhǎng)始終保持不變，回答下列問(wèn)題：(1)根據(jù)題意，可知AC________BC+CE（填“>”“<”“=”）；(2)若CF=5米，AF=12米，AB=4米，求男孩需向右移動(dòng)的距離CE（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)=(2)男孩需向右移動(dòng)的距離為13-89【分析】（1）由繩長(zhǎng)始終保持不變即可求解；（2）由勾股定理求出AC、BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)CE=AC-BC即可求解．【詳解】（1）解：∵AC的長(zhǎng)度是男孩未拽之前的繩子長(zhǎng)，(BC+CE)的長(zhǎng)度是男孩拽之后的繩子長(zhǎng)，繩長(zhǎng)始終保持不變，∴AC=BC+CE，（2）解：連接AB，則點(diǎn)A、B、F三點(diǎn)共線，在Rt△CAF中，AC=AF∵BF=AF-AB=12-4=8（米)，在Rt△CBF中，BC=CF∵AC=BC+CE，∴CE=AC-BC=13-89（米∴男孩需向右移動(dòng)的距離為13-89【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出AC、BC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【考試題型8】求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度19．如圖有一個(gè)四級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬分別為18分米、4分米．(1)如果給臺(tái)階表面8個(gè)矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級(jí)臺(tái)階的高為多少分米？(2)A和C是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，臺(tái)階角落點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到臺(tái)階頂端點(diǎn)C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為多少分米？【答案】(1)每一級(jí)臺(tái)階的高為2分米．(2)螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為30分米．【分析】（1）設(shè)每一級(jí)臺(tái)階的高為x分米，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；（2）先將圖形平面展開(kāi)，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】（1）解：設(shè)每一級(jí)臺(tái)階的高為x分米，根據(jù)題意得，18×（4＋x）×4＝432，解得x＝2，答：每一級(jí)臺(tái)階的高為2分米；（2）四級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為18分米，寬為（2＋4）×4＝24分米，則螞蟻沿臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到C點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．由勾股定理得：AC＝182答：螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為30分米．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)?最短路徑問(wèn)題，用到臺(tái)階的平面展開(kāi)圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可解答．20．若圖是一個(gè)高為3米，長(zhǎng)為5米的樓梯表面鋪地毯．（1）求地毯的長(zhǎng)是多少米？（2）如果地毯的寬是2米，地毯每平方售價(jià)是10元，鋪這個(gè)樓梯一共需要多少元？【答案】（1）7米；（2）140元【分析】（1）首先利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，然后利用平移的知識(shí)即可得出地毯的長(zhǎng)；（2）首先計(jì)算出地毯的面積，然后用面積乘以10即可得出答案．【詳解】（1）∵BC=3m,AB=5m,∠ACB=90°，∴AC=AB∴AC+BC=7m，∴地毯的長(zhǎng)為7m；（2）地毯的面積為7×2=14m2∴鋪這個(gè)樓梯所需的花費(fèi)為14×10=140（元）．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及平移的相關(guān)知識(shí)，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．【考試題型9】判斷汽車是否超速21．《中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例》規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過(guò)70km/h．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀A處的正前方30m的C處，過(guò)了2s【答案】這輛小汽車超速行駛【分析】本題求小汽車是否超速，其實(shí)就是求BC的距離，直角三角形ABC中，有斜邊AB的長(zhǎng)，有直角邊AC的長(zhǎng)．那么利用勾股定理可求得BC的長(zhǎng)，根據(jù)小汽車2s行駛的路程為BC，那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速．【詳解】解：根據(jù)題意AC⊥BC，AC=30m，AB=50∴在Rt△ABC中，BC=A∴小汽車的速度為v=40∵72km∴這輛小汽車超速行駛．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，可把條件和問(wèn)題放到直角三角形中，進(jìn)行解決，要注意題目中單位的統(tǒng)一．理解題意，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．22．超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同學(xué)在幸福大道段，嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車速，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到公路l的距離為100m的P處．這時(shí)，一輛紅旗轎車由西向東勻速駛來(lái)，測(cè)得此車從A處行駛到B處所用的時(shí)間為3s，并測(cè)得∠APO=60°，(1)求AP的長(zhǎng)？(2)試判斷此車是否超過(guò)了80km/h的限制速度？（3≈1.732【答案】(1)AP的長(zhǎng)為200m(2)此車超過(guò)了80km/h的限制速度【分析】（1）根據(jù)含30度角直角三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)勾股定理可得AO=1003m，再由等腰直角三角形的判定可得BO【詳解】（1）解：在Rt∴∠∴AP（2）解：在RtΔAPO中，

∴AO在RtΔBOP中，∠∴∠BPO∴BO=∴V∴此車超過(guò)80km/h的限制速度．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，熟練掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考試題型10】受否受臺(tái)風(fēng)影響23．今年第6號(hào)臺(tái)風(fēng)“煙花”登錄我國(guó)沿海地區(qū)，風(fēng)力強(qiáng)，累計(jì)降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，臺(tái)風(fēng)“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港，在A處測(cè)得C港在北偏東45°方向上，在B處測(cè)得C港在北偏西60°方向上，且AB=400+4003千米，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，周圍600(1)海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為20千米/時(shí)，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)2≈1.41，3≈1.73，【答案】(1)海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由見(jiàn)解析．(2)臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有45小時(shí)．【分析】（1）判斷海港C是否受影響，只需要求得臺(tái)風(fēng)距離海港C的最近距離是否在臺(tái)風(fēng)的影響范圍即可，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)知識(shí)就是點(diǎn)到直線之間的最短距離，也就是垂線段最短，通過(guò)勾股定理的知識(shí)解題即可．（2）當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心距離海港C的距離為600千米時(shí)，開(kāi)始受到影響，如圖當(dāng)臺(tái)風(fēng)在PQ段海港C受影響，構(gòu)建三角形，根據(jù)勾股定理即可求出PQ的長(zhǎng)度，根據(jù)速度即可解出受影響的時(shí)間．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB交AB于點(diǎn)H設(shè)CH=x在Rt△ACH中，∠A=45°，在Rt△BCH中，∠B=30°，∴AB=(∴x=400，∴CH=400∵400<600，海港C受臺(tái)風(fēng)影響（2）設(shè)臺(tái)風(fēng)在P點(diǎn)，海港開(kāi)始受到影響，Q點(diǎn)時(shí)停止受影響，在Rt△PCH中，CP=600，∴PH=∴PQ=2PH=400則時(shí)間：t=400答：臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有45小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)建出直角三角形，再利用勾股定理解答．24．如圖，A市氣象站測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A市正東方向300千米的B處，以107千米/時(shí)的速度向北偏西60°的BF方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200千米范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域．(1)A市是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？寫出你的結(jié)論并給予說(shuō)明；(2)如果A市受這次臺(tái)風(fēng)影響，那么受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？【答案】(1)會(huì)，說(shuō)明見(jiàn)解析(2)10小時(shí)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BF于點(diǎn)D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AD=12AB（2）設(shè)臺(tái)風(fēng)到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，A市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的影響，到達(dá)點(diǎn)E時(shí)，A市開(kāi)始不受到臺(tái)風(fēng)的影響，則AE=AC=200千米，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CE=DE，再由勾股定理求出CD，即可求解．【詳解】（1）解：A市會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，理由如下∶如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BF于點(diǎn)D，在RtΔABD中，∠ABD=30°，AB∴AD=1∵AD=150千米＜200千米，∴A市會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響；（2）解∶設(shè)臺(tái)風(fēng)到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，A市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的影響，到達(dá)點(diǎn)E時(shí)，A市開(kāi)始不受到臺(tái)風(fēng)的影響，則AE=AC=200千米，∵AD⊥BF，∴CD=DE，∴DC=A∴CE=1007∴A市受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為1007107=10【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．25．新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識(shí)，很多地方的宣講車開(kāi)起來(lái)了，大喇叭響起來(lái)了，宣傳橫幅掛起來(lái)了，電子屏亮起來(lái)了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標(biāo)語(yǔ)、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅(jiān)定決心．如圖，在一條筆直公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離AB為800米，若宣講車周圍1000米以內(nèi)能聽(tīng)到廣播宣傳，宣講車在公路MN上沿MN方向行駛．(1)請(qǐng)問(wèn)村莊A能否聽(tīng)到宣傳？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如果能聽(tīng)到，已知宣講車的速度是300米/分鐘，那么村莊A總共能聽(tīng)到多長(zhǎng)時(shí)間的宣傳？【答案】(1)村莊能聽(tīng)到宣傳，理由詳見(jiàn)解析(2)村莊總共能聽(tīng)到4分鐘的宣傳【分析】（1）根據(jù)村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理得到BP=BQ=600米，求得PQ=1200米，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：村莊能聽(tīng)到宣傳，理由：∵村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，∴村莊能聽(tīng)到宣傳；（2）解：如圖：假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到P點(diǎn)開(kāi)始影響村莊，行駛Q點(diǎn)結(jié)束對(duì)村莊的影響，則AP=AQ=1000米，AB=800米，∴BP=BQ=AP2∴PQ=1200米，∴影響村莊的時(shí)間為：1200÷300=4（分鐘），∴村莊總共能聽(tīng)到4分鐘的宣傳．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題時(shí)結(jié)合生活實(shí)際，便于更好的理解題意．【考試題型11】選址到兩地距離相等26．如圖，在筆直的鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求E應(yīng)建在距【答案】E應(yīng)建在距A點(diǎn)15km處【分析】設(shè)AE=x，則BE=25-x，根據(jù)勾股定理求得DE2和CE【詳解】設(shè)AE=x，則BE=25-x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE在Rt△BCE中，CE由題意可知：DE=CE，所以：102解得：x=15km．所以，E應(yīng)建在距A點(diǎn)15km處．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．27．“三農(nóng)”問(wèn)題是關(guān)系國(guó)計(jì)民生的根本問(wèn)題，實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是建設(shè)美麗中國(guó)的關(guān)鍵舉措．如圖，公路上A、B兩點(diǎn)相距50km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=30km，CB=20km，現(xiàn)在要在公路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品市場(chǎng)E，使得C、D兩村莊到市場(chǎng)E的距離相等，則市場(chǎng)E【答案】市場(chǎng)E應(yīng)建在距A的20千米處；ΔDEC【分析】可以設(shè)AE=x，則BE=50-x，在直角△ADE中根據(jù)勾股定理可以求得DE，在直角△BCE中根據(jù)勾股定理可以求得CE，根據(jù)CE=DE可以求得x的值，即可求得AE的值．【詳解】解：設(shè)AE=x，則BE=50-x，在直角△ADE中，DE在直角△BCE中，CE∴302解得：x=20，即AE=20km∴市場(chǎng)E應(yīng)建在距A的20千米處；∵AE=BC=20km，BE=50-20=30在△DAE和△EBC中，AE=BC∠DAE=∠EBC可得△DAE≌△EBCSAS∴∠AED=∠BCE，又∵∠BEC+∠BCE=90°，∴∠BEC+∠AED=90°，∴∠DEC=又∵DE=EC，∴△DEC是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在直角三角形中的應(yīng)用，本題中根據(jù)DE2=302【考試題型12】求最短距離28．如圖，圓柱形容器的高為120cm，底面周長(zhǎng)為100cm，在容器內(nèi)壁離容器底部40cm的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外