福建省廈門市高中畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢查基礎(chǔ)鞏固練習(xí)數(shù)學(xué)試題

廈門市2024屆高中畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)鞏固練習(xí)滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出集合、后，借助交集定義即可得.【詳解】由，可得，即，由，故.故選：D.2.如圖，一組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為5，方差為，去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為，方差為，則（）A， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)的定義運(yùn)算求解，并根據(jù)方差的意義理解判斷.【詳解】由題意可得：，則，故，∵是波幅最大的兩個(gè)點(diǎn)的值，則去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，整體波動(dòng)性減小，故.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合余弦二倍角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：C4.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先將對(duì)數(shù)式和指數(shù)式與臨界值比較，再判斷大小關(guān)系.【詳解】，即，，即，因?yàn)?，所以，即，且，則，所以.故選：D5.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】借助正弦定理結(jié)合題目所給條件可將所有邊長的關(guān)系計(jì)算出來，再利用余弦定理代入計(jì)算即可得解.【詳解】由，則，則，即，則，故.故選：A.6.甲、乙、丙3人站到共有6級(jí)的臺(tái)階上，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（）A.156 B.210 C.211 D.216【答案】D【解析】【分析】共有三種情況，3人站一個(gè)臺(tái)階，或2人站一個(gè)臺(tái)階另1人站另一個(gè)臺(tái)階，或3人各站一個(gè)臺(tái)階，然后根據(jù)分類計(jì)數(shù)加法原理即可求解．【詳解】若三人站在一個(gè)臺(tái)階上，有種站法，若三人站在兩個(gè)臺(tái)階上，有種站法，若三人站在三個(gè)臺(tái)階上，有種站法，所以，一共有種站法.故選：D.7.一個(gè)人騎自行車由地出發(fā)向正東方向騎行了到達(dá)地，然后由地向南偏東方向騎行了到達(dá)地，再從地向北偏東方向騎行了到達(dá)地，則兩地的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出幾何圖形，延長AB交CD于點(diǎn)E，再利用余弦定理求解作答.【詳解】如圖，，延長AB交CD于點(diǎn)E，則，因此是正三角形，，于是，在中，由余弦定理得，所以兩地的距離為.故選：B8.如圖，的半徑等于2，弦BC平行于x軸，將劣弧BC沿弦BC對(duì)稱，恰好經(jīng)過原點(diǎn)O，此時(shí)直線與這兩段弧有4個(gè)交點(diǎn)，則m的可能取值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由題意，分別求出直線過點(diǎn)以及與劣弧相切時(shí)的值，再結(jié)合圖形，即可得.【詳解】因?yàn)閳A的劣弧關(guān)于弦對(duì)稱的圖形恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，，當(dāng)直線過時(shí)，將代入中，所以，由對(duì)稱性可知，圓弧對(duì)應(yīng)的圓的圓心在軸上，設(shè)為，則，所以，解得，且劣弧對(duì)應(yīng)的圓的半徑為，故劣弧對(duì)應(yīng)圓方程為，當(dāng)直線與劣弧相切時(shí)得，所以，結(jié)合圖形可知當(dāng)時(shí)直線與兩段弧有個(gè)交點(diǎn).故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于求出直線過點(diǎn)以及與劣弧相切時(shí)的值.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)為復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AC【解析】【分析】利用共軛復(fù)數(shù)定義可判斷A選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可判斷C選項(xiàng)；解方程，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，不妨取，則，但，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，解得，D錯(cuò).故選：AC.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意實(shí)數(shù)滿足，且，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.為減函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】利用取特殊值方法求解選項(xiàng)A,B,利用抽象函數(shù)的關(guān)系式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解選項(xiàng)C,D.【詳解】對(duì)A，令可得，，解得，A正確；對(duì)B，令可得，，再令可得，，解得，B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)椋?，所?C錯(cuò)誤；對(duì)D，令，則，所以，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，D正確；故選:AD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)，則（）A.B.C.點(diǎn)F到平面EAC的距離為D.過E作平面與平面ACE垂直，當(dāng)與正方體所成截面為三角形時(shí)，其截面面積的范圍為【答案】BCD【解析】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷AB；求出平面的法向量，求出點(diǎn)到平面的距離判斷C；求出過垂直于平面的直線與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算判斷D.【詳解】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于A，，顯然與不共線，即與不平行，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，因此，B正確；對(duì)于C，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，而，點(diǎn)F到平面的距離為，C正確；對(duì)于D，過點(diǎn)垂直于平面的直線與平面相交，令交點(diǎn)為，則，點(diǎn)，由，得，即，當(dāng)平面經(jīng)過直線并繞著直線旋轉(zhuǎn)時(shí)，平面與平面的交線繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)交線與線段，都相交時(shí)，與正方體所成截面為三角形，令平面與平面的交線交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，設(shè)，，，，由，得，，斜邊上的高，則截面邊上的高，截面的面積，當(dāng)時(shí)，，，所以，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選項(xiàng)D的求解關(guān)鍵是求出過點(diǎn)垂直于平面的直線與平面相交的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線旋轉(zhuǎn)問題求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)F為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則______．【答案】【解析】【分析】依題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，再利用拋物線的定義即可求得的值，再代入點(diǎn)求解即可．【詳解】依題意可得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，又點(diǎn)在上，則，解得，則拋物線的方程為，所以，解得故答案為：．13.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)和在上都恰好存在兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由的范圍，判斷兩個(gè)零點(diǎn)的值，列不等式求的取值范圍；再由的范圍，判斷兩個(gè)零點(diǎn)的值，列不等式求的取值范圍，取交集即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上的兩個(gè)零點(diǎn)只能滿足或，所以，解得①．由題意，得，當(dāng)時(shí)，．由①知，函數(shù)在上的兩個(gè)零點(diǎn)只能滿足或，所以，解得②．由①②，得的取值范圍是．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是由角的范圍，確定函數(shù)和在上兩個(gè)零點(diǎn)的值，進(jìn)而通過不等式求的取值范圍.14.在n維空間中（，），以單位長度為邊長的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo)，其中.則5維“立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是______；定義：在n維空間中兩點(diǎn)與的曼哈頓距離為.在5維“立方體”的頂點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，則______.【答案】①.32②.【解析】【分析】第一空由題意根據(jù)分步乘法原理，求解即可；第二空先確定樣本點(diǎn)總數(shù)，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望.【詳解】（1）的可能值為0，1（，）.故五維立方體的頂點(diǎn)有個(gè).（2）依題意，樣本空間的樣本點(diǎn)記為，M，N為五維立方體的頂點(diǎn)樣本點(diǎn)總數(shù)：當(dāng)時(shí)，有k個(gè)第i維坐標(biāo)值不同，有個(gè)第i維坐標(biāo)值相同.滿足的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為.所以.故分布列為：X12345P.故答案為：32；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二空關(guān)鍵在于確定當(dāng)時(shí)，有k個(gè)第i維坐標(biāo)值不同，有個(gè)第i維坐標(biāo)值相同，再由求出概率.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個(gè)箱子中任選一個(gè)箱子，再從中隨機(jī)摸出一球.（1）求摸出的球是黑球的概率；（2）若已知摸出的球是黑球，用概率公式判斷該球取自哪個(gè)箱子的可能性更大.【答案】（1）（2）該球取自乙箱的可能性更大【解析】【分析】（1）由條件概率的定義，分別求出從甲箱摸出的球是黑球的概率和從乙箱摸出的球是黑球的概率，然后由全概率公式，即可得答案.（2）根據(jù)貝葉斯公式，分別求出摸出的黑球是取自甲箱和取自乙箱的概率，比較其大小，即可得到答案.【小問1詳解】記事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，則，，，由全概率公式得：.【小問2詳解】該球取自乙箱的可能性更大，理由如下：該球是取自甲箱的概率，該球取自乙箱的概率，因?yàn)?，所以該球取自乙箱的可能性更?16.已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，求n的最小值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解，（2）根據(jù)等差求和公式以及等比求和公式，結(jié)合分組求解可求解，即可根據(jù)不等式求解.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，依題意，，即，解得，所以的通項(xiàng)公式是.【小問2詳解】由（1）知，所以，，恒成立，令，由，由于，所以.所以所以的最小值為4.17.雙曲線C：的離心率為，點(diǎn)在C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)圓O：上任意一點(diǎn)P處的切線交C于M、N兩點(diǎn)，證明：以MN為直徑的圓過定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合題目所給條件可列出不等式組，解出即可得；（2）可結(jié)合雙曲線及圓的對(duì)稱性得出，若存在定點(diǎn)，則該定點(diǎn)必為原點(diǎn)，從而先猜后證，簡化過程；或根據(jù)圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出該圓方程，即可得定點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】依題意有，即有，解得：，，所以雙曲線方程為；【小問2詳解】方法一：設(shè)，，①當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，整理得，聯(lián)立，，則，，由對(duì)稱性知，若以MN為直徑的圓過定點(diǎn)，則定點(diǎn)必為原點(diǎn).，又，所以，所以，故以MN為直徑的圓過原點(diǎn)；②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程，此時(shí)或，此時(shí)圓方程為，恒過原點(diǎn)；或或，此時(shí)圓方程為，恒過原點(diǎn)；綜上所述，以MN為直徑的圓過原點(diǎn).方法二：設(shè)，，①當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，整理得，聯(lián)立，，則，，以，為直徑的圓的方程為，即，因?yàn)椋?，且，所以所求的圓的方程為，所以MN為直徑的圓過原點(diǎn)；②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，同法一，此時(shí)圓方程為，恒過原點(diǎn)；綜上所述，以MN為直徑的圓過原點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，為等邊三角形，，，，.（1）求證：；（2）若，①判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由；②求平面與平面的夾角.【答案】（1）證明見解析（2）①EF與BC異面直線，理由見解析②【解析】【分析】（1）利用，，由余弦定理可得，再由勾股定理可得，另外同理可得，則可由線面垂直證明線線垂直.（2）利用（1）可證明三線垂直關(guān)系，再以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)可先設(shè)，再利用三個(gè)相等關(guān)系，，聯(lián)立方程組，可以求解出，有了坐標(biāo)就可以分析與是不平行，平面，從而判定EF與BC是異面直線；而利用空間向量求二面角的大小，就只要去求兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到想要的結(jié)果【小問1詳解】不妨設(shè)，則，∵，，由余弦定理可得：，所以，即，，，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以平面AEB，平面AEB，所以.【小問2詳解】①與異面直線，理由如下：取的中點(diǎn)為O，連結(jié)，為等邊三角形.所以，由（1）知平面AEB，所以，，所以平面，又由.則以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，以過A平行于的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，，設(shè)，，，，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋傻?，所以，把代入上面兩式得，和，所以，又，所以，所以，，所以，與不平行，又因?yàn)?，則和平面共面，則EF在平面內(nèi)，或平面，又因?yàn)辄c(diǎn)E在平面外，所以平面，所以與不相交.即與異面直線；②由（1）知為平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，，，，所以，取，則，設(shè)平面與平面夾角為，所以，所以平面ABE與平面FCD的夾角為.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若存，使得.①求的取值范圍；②設(shè)為整數(shù)，若當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的總滿足，求的最小值.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）①②【解析】【分析】（1）直接使用導(dǎo)數(shù)工具分類討論即可；（2）①求出的單調(diào)性，然后使用零點(diǎn)存在定理對(duì)分類討論；②先證明，然后給出使得的例子，即可說明的最小值為.【小問1詳解】由，知.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則；若，則.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】①此時(shí)，故.若，則當(dāng)時(shí)，有.故在和上遞增，故在上遞增.所以，如果有，則必定有