猜想02實數(shù)(易錯必刷36題11種題型)

猜想02：實數(shù)【聚焦題型】題型一：求（算術(shù)）平方根或立方根題型二：利用算術(shù)平方根的非負性題型三：求代數(shù)式的平方根或解方程題型四：立方根和平方根的綜合應(yīng)用題型五：無理數(shù)的估算題型六：與實數(shù)有關(guān)的規(guī)律問題題型七：二次根式的定義題型八：二次根式的化簡求值題型九：實數(shù)和二次根式的混合計算題型十：實數(shù)求值化簡問題題型十一：實數(shù)和其他知識交匯問題【題型通關(guān)】題型一：求（算術(shù)）平方根或立方根1．（2023上·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期末）以下說法正確的選項是（

）A．是的立方根 B．1的平方根是1C．的平方根是 D．的平方根是4【答案】A【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，平方根和立方根的定義即可判定．【詳解】解：A．是的立方根，故正確；B．1的平方根是，故錯誤；

C．沒有平方根，故錯誤；

D．，4的平方根是，故錯誤；故選：A．【點睛】本題主要考查算術(shù)平方根，立方根、平方根的知識點，關(guān)鍵是根據(jù)定義解答．2．（2023下·廣東廣州·七年級?？计谥校┫铝姓f法，其中錯誤的有（）①的平方根是9；②是2的算術(shù)平方根；③的立方根為；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、平方根、立方根進行計算和判斷即可．【詳解】解：①∵，9的平方根是，∴的平方根是，原說法錯誤；②是2的算術(shù)平方根，原說法正確；③的立方根為，原說法錯誤；④，原說法正確．∴錯誤的說法有2個．故選：B．【點睛】此題考查了算術(shù)平方根、立方根、平方根等知識，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根、平方根的概念是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)及立方根的性質(zhì)依次化簡判斷．【詳解】解：A、，故原計算錯誤；B、，故原計算錯誤；C、，故原計算錯誤；D、，故原計算正確；故選：D．題型二：利用算術(shù)平方根的非負性4．（2023上·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）若為實數(shù)，設(shè)，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由可得，，再解方程即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，，解得：，，∴，故選B【點睛】本題考查的是算術(shù)平方根的非負性，非負數(shù)的性質(zhì)，求解代數(shù)式的值，熟記非負數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5．（2023下·廣西賀州·八年級統(tǒng)考期末）已知直角三角形兩邊x，y滿足，則第三邊長為（

）A．或5 B．5 C．或 D．或5【答案】D【分析】任何數(shù)的絕對值，以及算術(shù)平方根一定是非負數(shù)，已知中兩個非負數(shù)的和是0，則兩個一定同時是0；另外已知直角三角形兩邊x、y的長，具體是兩條直角邊或是一條直角邊一條斜邊，應(yīng)分類討論．【詳解】解：∵，，，∴，，∴，，①當兩直角邊是3，4時，三角形是直角三角形，則斜邊的長為：，②當3為一直角邊，4為斜邊時，則第三邊是直角，長是．第三邊長為或5，故選：D【點睛】本題考查了有理數(shù)加法法則，非負數(shù)的性質(zhì)，另外考查勾股定理的應(yīng)用．6．（2023上·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）若x，y為實數(shù)，且與互為相反數(shù)，則的平方根為（

）A． B． C．±5 D．【答案】D【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0以及非負數(shù)的性質(zhì)求得x、y的值，再代值求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，∵，，∴，，∴，，∴，∴的平方根為，故選：D．題型三：求代數(shù)式的平方根或解方程7．（2019上·云南臨滄·八年級統(tǒng)考期末）已知實數(shù)滿足，則的值為．【答案】【分析】由條件得，先求出的值，再根據(jù)平方根的定義即可求出的值．【詳解】解：∵，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式的求值，熟悉完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點及平方根的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2022上·上海·八年級期末）方程的根是．【答案】，【分析】把看成是一個整體，直接開平方解方程即可．【詳解】解：，即，直接開平方得：，移項得：，∴，，故答案為：，【點睛】本題考查利用平方根解方程，掌握平方根性質(zhì)及意義是解題的關(guān)鍵．9．（2021上·廣東江門·八年級統(tǒng)考期末）分式方程的解是．【答案】【分析】先去分母得一元二次方程，利用平方根的性質(zhì)解方程可求出x的值，最后檢驗即可得答案．【詳解】去分母得：，移項得：，開平方得：，檢驗：當時，，故是原分式方程的增根，當時，，故是原分式方程的根，故答案為：【點睛】本題考查解分式方程及平方根，熟練掌握分式方程的解法及平方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．注意：分式方程最后要檢驗，避免出現(xiàn)增根．題型四：立方根和平方根的綜合應(yīng)用10．（2021上·寧夏銀川·八年級?？计谀┮阎?a+1的算術(shù)平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，＝．【答案】4【分析】利用算術(shù)平方根，立方根的定義求出a與b的值，代入原式計算即可求出值．【詳解】解：由題意，有，解得，則．故答案為：4．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根、立方根的定義．解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根、立方根的定義．如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一個數(shù)x的立方等于a，那么這個數(shù)x就叫做a的立方根．11．（2020上·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）的平方根是±3，的立方根是2，則的值是．【答案】【分析】先根據(jù)平方根和立方根的概念，求出和的值，聯(lián)立方程組即可求出x、y的值，代入即可求解本題．【詳解】解：∵的平方根是±3，∴=9，①∵的立方根是2，∴=8，②②①得：x=1，將x=1代入①式得：y=10，故；故答案為：．【點睛】本題考查的是平方根和立方根的概念，解決本題需要掌握平方根和立方根的概念，同時要掌握二元一次方程組的求解．12．（2020上·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）若a﹣b+6的算術(shù)平方根是2，2a+b﹣1的平方根是±4，則a﹣5b+3的立方根是．【答案】3【分析】運用立方根和平方根和算術(shù)平方根的定義求解【詳解】解：∵a﹣b+6的算術(shù)平方根是2，2a+b﹣1的平方根是±4，∴a﹣b+6＝4，2a+b﹣1＝16，解得a＝5，b＝7，∴a﹣5b+3＝5﹣35+3＝﹣27，∴a﹣5b+3的立方根﹣3．故答案為：﹣3【點睛】本題考查了立方根和平方根和算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是按照定義進行計算．題型五：無理數(shù)的估算13．（2023下·浙江寧波·八年級校聯(lián)考階段練習）已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則．【答案】5【分析】先進行分母有理化，因為，由此得到，即可求解．【詳解】解：故答案為：5．【點睛】此題考查估算無理數(shù)的大小，解題關(guān)鍵在于得到的整數(shù)部分．14．（2023下·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）若，且m為整數(shù)，則m的值為．【答案】3【分析】估算出在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間即可．【詳解】解：，，，，故答案為：3．【點睛】本題考查無理數(shù)的估算，估算出在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間是解題的關(guān)鍵．15．（2023下·北京海淀·八年級期末）如圖，數(shù)軸上點，，，所對應(yīng)的數(shù)分別是，1，2，3，若點對應(yīng)的數(shù)是，則點落在之間．（填序號）

①和

②和

③和【答案】③【分析】利用無理數(shù)的估算解題即可．【詳解】解：∵，∴點落在和之間，故答案為：③．題型六：與實數(shù)有關(guān)的規(guī)律問題16．（2022下·重慶沙坪壩·七年級重慶八中?？计谀┯^察分析下列數(shù)據(jù)：0，，2，，，，，…，根據(jù)數(shù)據(jù)排列的規(guī)律得到的第10個數(shù)據(jù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知數(shù)據(jù)得出第n個數(shù)為，據(jù)此得出第10個數(shù)據(jù)．【詳解】解：根據(jù)題意知第n個數(shù)為，∴第10個數(shù)據(jù)應(yīng)該是：，故選：B．【點睛】本題主要考查了算術(shù)平方根、二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出第n個數(shù)為．17．（2022上·四川眉山·八年級統(tǒng)考期末）已知為實數(shù)﹐規(guī)定運算：，，，，……，．按上述方法計算：當時，的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可計算，，，推導出一般性規(guī)律，然后進行求解即可．【詳解】解：∵∴，，可推導出一般性規(guī)律為：，，，循環(huán)出現(xiàn)∵∴故選C．【點睛】本題考查了與實數(shù)運算相關(guān)的規(guī)律題．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)計算推導一般性規(guī)律．18．（2021下·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣，根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第2021行從左向右數(shù)第2020個數(shù)是（

）A．2020 B．2021 C． D．【答案】D【分析】經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，第1行有2個數(shù)且第1個數(shù)為1，第2行有4個數(shù)且第2個數(shù)為2，第3行有6個數(shù)且第3個數(shù)為3，由此可知推斷第n行共有2n個數(shù)，且第n行的第n個數(shù)為n＝，從而得出答案．【詳解】解：經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，第1行有2個數(shù)且第1個數(shù)為1，第2行有4個數(shù)且第2個數(shù)為2，第3行有6個數(shù)且第3個數(shù)為3，由此可知推斷第n行共有2n個數(shù)，且第n行的第n個數(shù)為n＝，∴第2021行從左向右數(shù)第2021個數(shù)是2021，∴第2021行從左向右數(shù)第2020個數(shù)是，故選D．題型七：二次根式的定義19．（2023上·全國·八年級專題練習）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的定義：形如的式子叫做二次根式，即可解答．【詳解】解：A、沒有意義，故A不符合題意；B、不是二次根式，故B不符合題意；C、是二次根式，故C符合題意；D、當時，是二次根式，當時，沒有意義，故D不符合題意；故選C．【點睛】本題考查了二次根式的識別，熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．20．（2023下·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】二次根式（），據(jù)此即可計算．【詳解】解：由題意得，解得：；故選：D．【點睛】本題主要考查了二次根式被開方數(shù)含有字母的取值范圍，掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．21．（2023下·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）若二次根式有意義，則的取值范圍在數(shù)軸上表示為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出的取值范圍，再在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：二次根式有意義，，，

故選：．題型八：二次根式的化簡求值22．（2023下·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谀┤?，則化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，求一個數(shù)的立方根，化簡即可求解．【詳解】解：∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，求一個數(shù)的立方根，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．23．（2023下·陜西西安·八年級校考期末）已知實數(shù)、y滿足，化簡：；【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的值，進而求出y的取值范圍，據(jù)此化簡絕對值和二次根式即可得到答案．【詳解】解：∵二次根式和要有意義，，，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了化簡二次根式，化簡絕對值，二次根式有意義的條件，正確根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的值，進而確定y的取值范圍是解題的關(guān)鍵．24．（2023下·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫出另一個式子的平方，如．善于思考的小明進行了以下探索：設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．∴，．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)當a、b、m、n均為正整數(shù)，若，用含、的式子分別表示、，得______，______；(2)若，且、、均為正整數(shù)，求的值．(3)化簡．【答案】(1)，；(2)，或；(3)．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式運算法則，即可得出a、b的表達式；（2）根據(jù)題意，，首先確定、的值，通過分析，或者，，然后即可確定的值；（3）根據(jù)題干所給的方法化簡即可．【詳解】（1）解：∵，故答案為：，；（2）解：∴，且為正整數(shù)，或，，或．（3）解：設(shè)，且為正整數(shù)，∴，∴，，∴，，∴，∴．題型九：實數(shù)和二次根式的混合計算25．（2023上·四川成都·八年級成都市樹德實驗中學?？计谀┯嬎?1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的混合運算，負整數(shù)指數(shù)冪，求一個數(shù)的立方根，化簡絕對值：（1）先化簡負整數(shù)指數(shù)冪，立方根，平方根，化簡絕對值，再從左到右依次計算，即可作答．（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，以及運用平方差公式化簡，即可作答．正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：（2）解：．26．（2023下·湖北荊州·八年級統(tǒng)考期末）計算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先計算負整數(shù)指數(shù)冪、零整數(shù)指數(shù)冪、絕對值，再化簡二次根式進行計算；（2）利用完全平方公式和平方差公式進行計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算，熟練掌握二次根式的混合運算是解題的關(guān)鍵．27．（2023下·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期末）（1）計算：．（2）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），【分析】（1）先進行平方差公式和二次根式的除法運算，再合并同類二次根式即可；（2）先通分，計算括號內(nèi)，再將除法變乘法進行約分化簡，再代值計算即可．【詳解】解：（1）原式．（2）原式．當時，原式．題型十：實數(shù)求值化簡問題28．（2023下·湖北省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）（1）已知，求代數(shù)式的值；（2）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）；（2）【分析】(1)利用平方差，完全平方公式直接代入求值即可；(2)先利用分式的混合運算法則化簡，再代入求值即可．【詳解】（1）（2）當時，原式【點睛】本題考查二次根式的混合運算，分式的化簡求值，掌握相關(guān)公式和運算法則是解題的關(guān)鍵．29．（2023下·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）（1）若，求；（2）若，求的值．【答案】（1）18；（2）【分析】（1）根據(jù)二次根式的加法法則求出，根據(jù)二次根式的乘法法則求出，根據(jù)提公因式、完全平方公式把原式變形，代入計算即可；（2）根據(jù)完全平方公式把原式變形，計算即可．【詳解】解：（1），，，，則；（2），，，，，．【點睛】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的乘法法則、加法法則是解題的關(guān)鍵．30．（2023下·廣東惠州·八年級統(tǒng)考期末）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)15【分析】（1）先計算，的值，進而根據(jù)平方差公式即可求解；（2）根據(jù)完全平方公式變形，結(jié)合平方差公式，即可求解；【詳解】（1）由題意得：∴；（2）．題型十一：實數(shù)和其他知識交匯問題31．（2023上·河北滄州·八年級校聯(lián)考期中）（1）已知，求的值；（2）已知實數(shù)的一個平方根是的立方根是，求的算術(shù)平方根．【答案】（1）；（2）6【分析】本題考查了利用立方根解方程，平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義，熟練掌握以上知識點是解此題的關(guān)鍵．（1）直接利用立方根解方程即可；（2）先根據(jù)平方根和立方根的定義得出，求出的值，代入計算得出的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義計算即可．【詳解】解：（1），，，；（2）由題意得，，．，的算術(shù)平方根是．32．（2023上·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）因為，即，所以的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為．類比以上推理解答下列問題：(1)求的整數(shù)部分和小數(shù)部分；(2)若m是的整數(shù)部分，且，求x的值．【答案】(1)的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是(2)，【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，平方根，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）估算出整數(shù)部分，即可得小數(shù)部分；（2）求出的值，代入方程即可解得答案．【詳解】（1）∵，∴的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是；（2）∵，即∴，的整數(shù)部分是4，則，∴∴，解得，，．33．（2023上·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）先閱讀材料，然后回答問題．在進行二次根式化同時，我們有時會遇到形如，，的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：①；②；③．以上這種化簡的方法叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：④(1)請用不同的方法化簡．(2)化簡：．【答案】(1)方法見解析，結(jié)果為(2)【分析】本題主要考查了分母有理化，熟練掌握分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵．（1）仿照題意進行分母有理化即可；（2）先根據(jù)分母有理化的方法推出，再把所求式子按照上述形式進行裂項，然后合并化簡即可．【詳解】（1）解：；；（2）解：，∴．34．（2023上·廣東深圳·七年級?？计谥校┨骄恳?guī)律，完成相關(guān)題目．定義“*”運算：；；；；；．(1)歸納*運算的法則：兩數(shù)a，b進行*運算時，________．（文字語言或符號語言均可）特別地，0和任何數(shù)進行*運算，或任何數(shù)和0進行*運算，________．(2)計算：________．(3)是否存在有理數(shù)m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由；【答案】(1)同號得正，異號得負，并把兩數(shù)的平方相加．等于這個數(shù)的平方．(2)17(3)，【分析】本題主要考查新定義下的有理數(shù)運算，根據(jù)*運算的運算法則進行運算，（1）根據(jù)*運算歸納出*運算的運算法則即可；（2）根據(jù)*運算的運算法則，以及有理數(shù)的混合運算即可求得答案；（3）根據(jù)*運算的運算法則，將原式化簡，再結(jié)合平方的非負性即可解得答案；【詳解】（1）解：兩數(shù)a，b進行?運算時，同號得正，異號得負，并把兩數(shù)的平方相加．特別地，0和任何數(shù)進行?運算，或任何數(shù)和0進行*運算，等于這個數(shù)的平方．（2）原式，（3）∵，∴，∴，，解得，，35．（2023上·四川成都·七年級統(tǒng)考期中）【基本事實】我們知道整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，為什么不是整數(shù)和小數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)呢？所有的分數(shù)都可以化成小數(shù)的形式，是不是所有的小數(shù)都可以化成分數(shù)形式呢？我們可以舉例說明：有限小數(shù)化成分數(shù)的形式是______；無限循環(huán)小數(shù)又該如何化呢？我們以無限循環(huán)小數(shù)0.7為例進行說明：設(shè)，由可知，，所以，解方程，得，于是得，故化成分數(shù)的形式是______，所有有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)______（填“是”或“不是”）有理數(shù)；而無限不循環(huán)小數(shù)是不可以化成分數(shù)的，所以π______（填“是”或“不是”）有理數(shù)，那么無限不循環(huán)小數(shù)能通過數(shù)軸上的一個點來表示嗎？我們將以為例通過下列活動來探索：【數(shù)學活動】如圖，直徑為1的圓從原點出發(fā)沿數(shù)軸正方向滾動一周，圓上一點由原點O到達點，則______．【知識推理】判斷：（填“正確”或“錯誤”）（1）任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個點來表示______．（2）數(shù)軸上的點都表示有理數(shù)______．（3）整數(shù)和小數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)______．【