2025屆重慶市江津、巴縣、長壽等七校聯(lián)盟高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2025屆重慶市江津、巴縣、長壽等七校聯(lián)盟高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數(shù)正確的是（）A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B.分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；2．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A. B.C. D.3．?dāng)?shù)列滿足，對任意，都有，則（）A. B.C. D.4．已知曲線，則曲線W上的點到原點距離的最小值是（）A. B.C. D.5．已知命題：△中，若，則；命題：函數(shù)，，則的最大值為.則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.6．下列說法中正確的是（）A.命題“若，則”的否命題是真命題；B.若為真命題，則為真命題；C.“”是“”的充分條件；D.若命題：“，”，則：“，”7．已知直線l：的傾斜角為，則（）A. B.1C. D.－18．若橢圓的短軸為,一個焦點為,且為等邊三角形的橢圓的離心率是A. B.C. D.9．已知雙曲線的兩個焦點，，是雙曲線上一點，且，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.10．直線的一個法向量為（）A. B.C. D.11．圓關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A. B.C. D.12．等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列，其前項和為，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于、兩點，交C的準(zhǔn)線于、兩點.，，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為____.14．已知數(shù)列的前項和，則該數(shù)列的首項__________，通項公式__________.15．若曲線在處的切線平行于x軸，則___________.16．曲線在點處的切線方程為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，，D為BC的中點，平面平面ABC（1）證明：；（2）已知四邊形是邊長為2的菱形，且，問在線段上是否存在點E，使得平面EAD與平面EAC的夾角的余弦值為，若存在，求出CE的長度，若不存在，請說明理由18．（12分）已知是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和19．（12分）中國共產(chǎn)黨建黨100周年華誕之際，某高校積極響應(yīng)黨和國家的號召，通過“增強防疫意識，激發(fā)愛國情懷”知識競賽活動，來回顧中國共產(chǎn)黨從成立到發(fā)展壯大的心路歷程，表達(dá)對建黨100周年以來的豐功偉績的傳頌．教務(wù)處為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機抽取了100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖（1）求值并估計中位數(shù)所在區(qū)間（2）需要從參賽選手中選出6人代表學(xué)校參與省里的此類比賽，你認(rèn)為怎么選最合理，并說明理由20．（12分）已知過拋物線的焦點F且斜率為1的直線l交C于A，B兩點，且（1）求拋物線C的方程；（2）求以C的準(zhǔn)線與x軸的交點D為圓心且與直線l相切的圓的方程21．（12分）設(shè)橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，O為坐標(biāo)原點，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由.22．（10分）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”詩中隱含著一個有趣的“將軍飲馬”問題，這是一個數(shù)學(xué)問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使得總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即為回到軍營.軍營所在區(qū)域可表示為.（1）求“將軍飲馬”的最短總路程；（2）因軍情緊急，將軍來不及飲馬，直接從A點沿傾斜角為45°的直線路徑火速回營，已知回營路徑與軍營邊界的交點為M，N，軍營中心與M，N連線的斜率分別為，，試求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意，分別按照選項說法列式計算驗證即可做出判斷.【詳解】選項A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項錯誤；選項B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項錯誤；選項C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項錯誤；選項D，先將6本書分為2-2-1-14組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項正確.故選：D.2、B【解析】根據(jù)和可求得，結(jié)合等差數(shù)列通項公式可求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由得：；又，，.故選：B.3、C【解析】首先根據(jù)題設(shè)條件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂項相消法求和即可.【詳解】由，得，則，所以，.故選：C.【點睛】本題考查累加法求數(shù)列通項，考查利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于?？碱}.4、A【解析】化簡方程，得到，求出的范圍，作出曲線的圖形，通過圖象觀察，即可得到原點距離的最小值詳解】解：即為，兩邊平方，可得，即有，則作出曲線的圖形，如下：則點與點或的距離最小，且為故選：A5、A【解析】由三角形內(nèi)角及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷、的真假，應(yīng)用換元法令，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)確定的值域即知、的真假，根據(jù)各選項復(fù)合命題判斷真假即可.【詳解】由且，可得或，故為假命題，為真命題；令，又，則，故，∵在上遞減，∴，故的最大值為.∴為真命題，為假命題；∴為真，為假，為假，為假.故選：A.6、C【解析】A.寫出原命題的否命題，即可判斷其正誤；B.根據(jù)為真命題可知的p,q真假情況，由此判斷的真假；C.看命題“”能否推出“”，即可判斷；D.根據(jù)含有一個量詞的命題的否定的要求，即可判斷該命題的正誤.【詳解】A.命題“若x=y，則sinx=siny”，其否命題為若“，則”為假命題，因此A不正確；B.命題“”為真命題，則p，q中至少有一個為真命題，當(dāng)二者為一真一假時，為假命題，故B不正確C.命題“若，則”為真命題，故C正確；D.命題：“，”，為特稱命題，其命題的否定：“，”，故D錯誤，故選：C7、A【解析】由傾斜角求出斜率，列方程即可求出m.【詳解】因為直線l的傾斜角為，所以斜率.所以，解得：.故選：A8、B【解析】因為為等邊三角形,所以.考點：橢圓的幾何性質(zhì).點評：橢圓圖形當(dāng)中有一個特征三角形，它的三邊分別為a,b,c.因而可據(jù)此求出離心率.9、D【解析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D10、B【解析】直線化為，求出直線的方向向量，因為法向量與方向向量垂直，逐項驗證可得答案.【詳解】直線的方向向量為，化為，直線的方向向量為，因為法向量與方向向量垂直，設(shè)法向量為，所以，由于，A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：B.11、C【解析】先求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)條件可得直線過圓心，從而可得，然后由，展開利用均值不等式可得答案.【詳解】由圓可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為圓關(guān)于直線對稱，該直線經(jīng)過圓心，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選：C.12、D【解析】根據(jù)裂項求和法求得，再計算即可.【詳解】解：由題意得====所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】畫出圖形，設(shè)出拋物線方程，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即可.【詳解】解：設(shè)拋物線為y2＝2px，如圖：，又，解得，設(shè)圓的半徑為，，解得：p＝2，即C的焦點到準(zhǔn)線的距離為：2.故答案為：2.14、①.；②..【解析】空一：利用代入法直接進行求解即可；空二：利用之間的關(guān)系進行求解即可.【詳解】空一：；空二：當(dāng)時，，顯然不適合上式，所以，故答案為：；15、【解析】求出導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)在時的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)值為0求得a的值【詳解】由，得，則，∵曲線在點處的切線平行于x軸，∴，即.故答案為：16、【解析】先驗證點在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可【詳解】由題，當(dāng)時，，故點在曲線上求導(dǎo)得：，所以故切線方程為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）存在，1【解析】（1）由面面垂直證明線面垂直，進而證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進行求解.【小問1詳解】∵，且D為BC的中點，∴，因為平面平面ABC，交線為BC，AD⊥BC，AD面ABC，所以AD⊥面，因為面，所以.【小問2詳解】假設(shè)存在點E，滿足題設(shè)要求連接，，∵四邊形為邊長為2的菱形，且，∴為等邊三角形，∵D為BC的中點∴，∵平面平面ABC，交線為BC，面，所以面ABC，故以D為原點，DC，DA，分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系則，，，，設(shè)，，設(shè)面AED的一個法向量為，則，令，則設(shè)面AEC的一個法向量為，則，令，則設(shè)平面EAD與平面EAC的夾角為，則解得：，故點E為中點，所以18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意得到方程組，解得、，即可求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，再利用分組求和法求和即可；【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，得，解得或，因為，所以【小問2詳解】解：當(dāng)時，，所以19、（1）；中位數(shù)所在區(qū)間（2）選90分以上的人去參賽；答案見解析【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中，所有小矩形面積和為1，即可求得a值，根據(jù)各組的頻率，即可分析中位數(shù)所在區(qū)間.（2）計算可得之間共有6人，滿足題意，分析即可得答案.【小問1詳解】，解得成績在區(qū)間上的頻率為，，所以中位數(shù)所在區(qū)間，【小問2詳解】選成績最好的同學(xué)去參賽，分?jǐn)?shù)在之間共有人，所以選90分以上的人去參賽．（其它方案如果合理也可以給分）20、（1）；（2）【解析】（1）首先表示出直線l的方程，再聯(lián)立直線與拋物線方程，消去，列出韋達(dá)定理，再根據(jù)焦點弦公式計算可得；（2）由（1）可得，再利用點到直線的距離求出半徑，即可求出圓的方程；【詳解】解析：（1）由已知得點，∴直線l的方程為，聯(lián)立去，消去整理得設(shè)，，則，，∴拋物線C的方程為（2）由（1）可得，直線l的方程為，∴圓D的半徑，∴圓D的方程為【點睛】本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.21、（1）；（2）存在，，.【解析】（1）根據(jù)橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，直接代入方程解方程組即可.（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理運算，同時滿足，則存在，否則不存在，當(dāng)切線斜率不存在時，驗證即可；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理得到求解.【詳解】（1）因為橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，所以，解得，所以，所以橢圓E的方程為.（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立得，則△=，即，，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因為直線為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為，，所以，則所求的圓為，此時圓的切線都滿足或，而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足，綜上，存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且.因為，所以，，①當(dāng)時，，因為，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”.②當(dāng)時，.③當(dāng)AB的斜率不存在時，兩個交點為或，所以此時，綜上，|AB|的取值范圍為，即：【點睛】思路點睛：1、解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單2、設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(k為直線斜率)注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的