2025屆黑龍江省哈爾濱三中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2025屆黑龍江省哈爾濱三中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，函數(shù)增函數(shù) B.在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù)C.為函數(shù)的極小值點(diǎn) D.2為函數(shù)的極大值點(diǎn)2．已知圓O的半徑為5，，過(guò)點(diǎn)P的2021條弦的長(zhǎng)度組成一個(gè)等差數(shù)列，最短弦長(zhǎng)為，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為，則其公差為（）A. B.C. D.3．已知直線(xiàn)與平行，則a的值為（）A.1 B.﹣2C. D.1或﹣24．若，則（）A B.C. D.5．已知五個(gè)數(shù)據(jù)3，4，x，6，7的平均數(shù)是x，則該樣本標(biāo)準(zhǔn)差為（）A.1 B.C. D.26．年1月初，中國(guó)多地出現(xiàn)散發(fā)病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陸續(xù)發(fā)出“春節(jié)期間非必要不返鄉(xiāng)”的倡議，鼓勵(lì)企事業(yè)單位職工就地過(guò)年.某市針對(duì)非本市戶(hù)籍并在本市繳納社保，且春節(jié)期間在本市過(guò)年的外來(lái)務(wù)工人員，每人發(fā)放1000元疫情專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼.小張是該市的一名務(wù)工人員，則“他在該市過(guò)年”是“他可領(lǐng)取1000元疫情專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知兩個(gè)向量，若，則的值為（）A. B.C.2 D.88．有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為，(是時(shí)間，是位移)，則該機(jī)器人在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A. B.C. D.9．設(shè)村莊外圍所在曲線(xiàn)的方程可用表示，村外一小路所在直線(xiàn)方程可用表示，則從村莊外圍到小路的最短距離為（）A. B.C. D.10．2021年7月，某文學(xué)網(wǎng)站對(duì)該網(wǎng)站的數(shù)字媒體內(nèi)容能否滿(mǎn)足讀者需要進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查部門(mén)隨機(jī)抽取了名讀者，所得情況統(tǒng)計(jì)如下表所示：滿(mǎn)意程度學(xué)生族上班族退休族滿(mǎn)意一般不滿(mǎn)意記滿(mǎn)分為分，一般為分，不滿(mǎn)意為分.設(shè)命題：按分層抽樣方式從不滿(mǎn)意的讀者中抽取人，則退休族應(yīng)抽取人；命題：樣本中上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿(mǎn)意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.11．已知拋物線(xiàn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為圓心的圓交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線(xiàn)于、兩點(diǎn)，若，，則拋物線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.12．設(shè)，，則“”是“”的A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知5件產(chǎn)品中有2件次品、3件合格品，從這5件產(chǎn)品中任取2件，求2件都是合格品的概率_______.14．過(guò)橢圓上一點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為，則線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)__________.15．若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)__________；若，則雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為_(kāi)_________.16．過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線(xiàn)的斜率分別為，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)x=2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.18．（12分）設(shè)，已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)在處切線(xiàn)的方程；（2）求函數(shù)在上的最大值19．（12分）已知橢圓()與橢圓的焦點(diǎn)相同，且橢圓C過(guò)點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，若存在，求出該圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由；（3）P是橢圓C上異于上頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線(xiàn)，，分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線(xiàn)OT與過(guò)點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T(mén)．證明：線(xiàn)段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值20．（12分）如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上.（1）求漁船甲的速度；（2）求的值.21．（12分）圓與軸的交點(diǎn)分別為，且與直線(xiàn)，都相切（1）求圓的方程；（2）圓上是否存在點(diǎn)滿(mǎn)足？若存在，求出滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）已知圓，圓心在直線(xiàn)上（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線(xiàn)被圓截得的弦的長(zhǎng)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可求解.【詳解】對(duì)于A，在區(qū)間，，故A不正確；對(duì)于B，在區(qū)間，，故B不正確；對(duì)于C、D，由圖可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，故C不正確，D正確.故選：D2、B【解析】可得過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑，最短弦長(zhǎng)為過(guò)點(diǎn)P的與垂直的弦，分別求出即可得出公差.【詳解】可得過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑，，最短弦長(zhǎng)為過(guò)點(diǎn)P的與垂直的弦，，公差.故選：B.3、A【解析】根據(jù)題意可得，解之即可得解.【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)與平行，所以，解得.故選：A.4、D【解析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D5、B【解析】先求出的值，然后利用標(biāo)準(zhǔn)差公式求解即可【詳解】解：因?yàn)槲鍌€(gè)數(shù)據(jù)3，4，x，6，7的平均數(shù)是x，所以，解得，所以標(biāo)準(zhǔn)差，故選：B6、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行判定.【詳解】只有非本市戶(hù)籍并在本市繳納社保的外來(lái)務(wù)工人員就地過(guò)年，才可領(lǐng)取1000元疫情專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼，小張是該市的一名務(wù)工人員,但他可能是本市戶(hù)籍或非本市戶(hù)籍但在本市未繳納社保，所以“他在該市過(guò)年”是“他可領(lǐng)取1000元疫情專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼”的必要不充分條件.故選：B.7、B【解析】直接利用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，解?故選：B8、B【解析】對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)意義即速度求得在時(shí)的導(dǎo)數(shù)值即可.【詳解】由題知，，當(dāng)時(shí)，，即速度為7.故選：B9、B【解析】求出圓心到直線(xiàn)距離，減去半徑即為答案.【詳解】圓心到直線(xiàn)的距離，則從村莊外圍到小路的最短距離為故選：B10、A【解析】由抽樣比再乘以可得退休族應(yīng)抽取人數(shù)可判斷命題，求出上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿(mǎn)意程度的平均分，由方差公式計(jì)算方差可判斷，再由復(fù)合命題的真假判斷四個(gè)選項(xiàng)，即可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橥诵葑鍛?yīng)抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿(mǎn)意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：11、C【解析】設(shè)圓的半徑為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的方程，求出正數(shù)的值，即可得出拋物線(xiàn)的方程.【詳解】設(shè)圓的半徑為，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由勾股定理可得，因?yàn)?，將代入拋物線(xiàn)方程得，可得，不妨設(shè)點(diǎn)，則，所以，，解得，因此，拋物線(xiàn)的方程為.故選：C.12、C【解析】不能推出，反過(guò)來(lái)，若則成立，故為必要不充分條件.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】列舉總的基本事件及滿(mǎn)足題目要求的基本事件，然后用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】設(shè)5件產(chǎn)品中的次品為，合格品為，則從這5件產(chǎn)品中任取2件，有共10個(gè)基本事件，其中2件都是合格品的有共3個(gè)基本事件，故2件都是合格品的概率為故答案為：.14、【解析】相關(guān)點(diǎn)法求解軌跡方程.【詳解】設(shè)，則，則，即，因?yàn)椋肟傻?，即的軌跡方程為.故答案為：15、①.②.3【解析】由漸近線(xiàn)方程知，結(jié)合雙曲線(xiàn)參數(shù)關(guān)系及離心率的定義求雙曲線(xiàn)的離心率，由已知可得右焦點(diǎn)為，應(yīng)用點(diǎn)線(xiàn)距離公式求距離.【詳解】由題設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，則雙曲線(xiàn)為，故右焦點(diǎn)為，所以右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為.故答案為：，3.16、【解析】過(guò)焦點(diǎn)作直線(xiàn)要分為有斜率和斜率不存在兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程可設(shè)為，不妨令則，故當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)斜率存在時(shí)，直線(xiàn)方程可設(shè)為，令由整理得則，綜上，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析；【解析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得，令，即證，，又，所以即證，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明其單調(diào)性，即可得解；【詳解】解：（1）因?yàn)椋x域?yàn)?，所以，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，所以，解得，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，所以上單調(diào)遞增，綜上可得的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明：依題意即證，即證，令，則，所以即證，因?yàn)?，所以即證，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，18、（1）（2）當(dāng)0≤a<2時(shí)，f（x）max=8-5a；當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）max=-a【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零，求得兩極值點(diǎn)，然后討論極值點(diǎn)是否在所給區(qū)間內(nèi)，再結(jié)合比較區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，即a=0,所以，f（1）=1,所以切線(xiàn)方程：y-1=3（x-1），即.【小問(wèn)2詳解】,令得,①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x3在[0，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f（x）max=f（2）=8；②當(dāng)時(shí)，即a≥3時(shí)，f（x）在[0，2]上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以;③當(dāng)時(shí)，即0<a<3時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以f（x）=max{f（0），f（2）}，（i）若f（0）≥f（2），即2≤a<3，f（x）max=f（0）=-a，（ii）若f（0）<f（2），即0<a<2，f（x）max=f（2）=8-5a；綜上，當(dāng)0≤a<2時(shí)，f（x）max=f（2）=8-5a；當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）max=f（0）=-a19、（1）；（2）存在，；（3）證明見(jiàn)解析，定值2【解析】(1)根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)解方程組即可得到C的方程；(2)設(shè)出AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)關(guān)系，代入由確定方程內(nèi)即可得到結(jié)果；(3)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，求出M和N坐標(biāo)，設(shè)出圓G的圓心坐標(biāo)，求得圓的半徑，由垂徑定理求得切線(xiàn)長(zhǎng)|OT|，結(jié)合P在橢圓上可證|OT|為定值﹒【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓C的方程為將點(diǎn)代入橢圓方程有點(diǎn)解得，(舍)∴橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，當(dāng)AB斜率存在時(shí)，設(shè)，代入，整理得，由得，即，由韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得，即，設(shè)存在圓與直線(xiàn)相切，則，解得，∴圓的方程為；又若AB斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)知滿(mǎn)足條件，故存在圓心在原點(diǎn)的圓符合題意；【小問(wèn)3詳解】如圖：，，設(shè)，直線(xiàn)，令，得；直線(xiàn)，令，得；解法一：設(shè)圓G的圓心為，則，，，而，∴，∴，∴，即線(xiàn)段OT長(zhǎng)度為定值2解法二：，而，∴，∴由切割線(xiàn)定理得．∴，即線(xiàn)段OT的長(zhǎng)度為定值220、（1）14海里小時(shí)；（2）.【解析】（1）由題意知，，，.在△中，利用余弦定理求出，進(jìn)而求出漁船甲的速度.（2）在△中，，，，，由正弦定理，即可解出的值.【小問(wèn)1詳解】(1）依題意，，，，.在△中，由余弦定理，得.解得.故漁船甲的速度為海里小時(shí).即漁船甲的速度為14海里小時(shí).【小問(wèn)2詳解】在△中，因?yàn)?，，，，由正弦定理，得，?值為.21、（1）（2）存在，或【解析】（1）由題意，設(shè)圓心，由圓與兩直線(xiàn)相切，可得圓心到兩直線(xiàn)的距離都等于圓的半徑，進(jìn)而可求，然后求出半徑即可得答案；（2）假設(shè)圓上存在點(diǎn)滿(mǎn)足，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)，再聯(lián)立圓的方程即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)閳A與軸的交點(diǎn)分別為，，所以圓心在弦的垂直平分線(xiàn)上，設(shè)圓心，又圓與直線(xiàn)，都相切，所以，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】解：假設(shè)圓上存在點(diǎn)滿(mǎn)足，則，即①，又，即②，聯(lián)立①②可得或，所以存在點(diǎn)或滿(mǎn)足.22、（1）；（