2025屆上海市楊思中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2025屆上海市楊思中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，，則的解集為（）A. B.C. D.2．已知直線過點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有兩個不同的交點(diǎn)時，其斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.3．在等差數(shù)列中，若，且前n項和有最大值，則使得的最大值n為（）A.15 B.16C.17． D.184．已知四面體，所有棱長均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則（）A.1 B.2C.-1 D.-25．已知數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，（）A.11 B.20C.33 D.356．從裝有2個紅球和2個白球的袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A.取出的球至少有1個紅球；取出的球都是紅球B.取出的球恰有1個紅球；取出的球恰有1個白球C.取出的球至少有1個紅球；取出的球都是白球D.取出的球恰有1個白球；取出的球恰有2個白球7．在如圖所示的莖葉圖中，若甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為16，則乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A.12 B.10C.8 D.68．已知為橢圓的兩個焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.9．圓與圓公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.410．拋擲兩枚硬幣，若記出現(xiàn)“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為，，，則下列判斷中錯誤的是（）.A. B.C. D.11．已知數(shù)列的前n項和為，，，則（）A. B.C.1025 D.204912．已知，，，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓C的方程為，點(diǎn)P是圓C上的動點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為______14．已知過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F，則___________15．如圖，在正四棱錐中，為棱PB的中點(diǎn)，為棱PD的中點(diǎn)，則棱錐與棱錐的體積之比為______16．直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，直線是線段AB的垂直平分線，若，D為垂足，則D點(diǎn)的軌跡方程是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了保證我國東海油氣田海域海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺O的北偏西45°方向km處設(shè)立觀測點(diǎn)A，在平臺O的正東方向12km處設(shè)立觀測點(diǎn)B，規(guī)定經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的圓以及其內(nèi)部區(qū)域為安全預(yù)警區(qū)．如圖所示：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向為x軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系（1）試寫出A，B的坐標(biāo)，并求兩個觀測點(diǎn)A，B之間的距離；（2）某日經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，在該平臺O正南10kmC處，有一艘輪船正以每小時km的速度沿北偏東45°方向行駛，如果航向不變，該輪船是否會進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)？如果不進(jìn)入，請說明理由；如果進(jìn)入，則它在安全警示區(qū)內(nèi)會行駛多長時間？18．（12分）已知橢圓的焦距為，離心率為（1）求橢圓方程；（2）設(shè)過橢圓頂點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，，成等比數(shù)列，求的值19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)，橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且垂直于軸（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)在橢圓上（且在第一象限），直線與交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，試問：是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由20．（12分）在棱長為的正方體中，、分別為線段、的中點(diǎn).（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）求直線到平面的距離.21．（12分）設(shè)函數(shù)過點(diǎn)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（要列表）；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值.22．（10分）已知數(shù)列{}滿足a1＝1，a3＋a7＝18，且（n≥2）（1）求數(shù)列{}的通項公式；（2）若＝·，求數(shù)列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，且有，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集為.故選：D.2、A【解析】設(shè)直線方程，利用圓與直線的關(guān)系，確定圓心到直線的距離小于半徑，即可求得斜率范圍.【詳解】如下圖：設(shè)直線l的方程為即圓心為，半徑是1又直線與圓有兩個不同的交點(diǎn)故選：A3、A【解析】由題可得，則，可判斷，，即可得出結(jié)果.【詳解】前n項和有最大值，，，，，，，使得的最大值n為15.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項和的有關(guān)判斷，解題的關(guān)鍵是得出.4、D【解析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計算作答.【詳解】四面體所有棱長均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則，，，所以.故選：D5、B【解析】由數(shù)列的性質(zhì)可得，計算可得到答案.【詳解】由題意，.故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的前n項和的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】利用互斥事件、對立事件的定義逐一判斷即可.【詳解】A答案中的兩個事件可以同時發(fā)生，不是互斥事件B答案中的兩個事件可以同時發(fā)生，不是互斥事件C答案中的兩個事件不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，既是互斥事件又是對立事件D答案中的兩個事件不能同時發(fā)生，也可以都不發(fā)生，故是互斥而不對立事件故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是互斥事件和對立事件的概念，較簡單.7、A【解析】根據(jù)眾數(shù)的概念，求得的值，再根據(jù)平均數(shù)的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為16，得，所以乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為故選：A.8、C【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，由即可求解.【詳解】由，可得根據(jù)橢圓的定義，所以.故選：C9、D【解析】分別求出圓和圓的圓心和半徑，判斷出兩圓的位置關(guān)系可得到公切線的條數(shù).【詳解】根據(jù)題意，圓即，其圓心為，半徑；圓即，其圓心為，半徑；兩圓的圓心距，所以兩圓相離，其公切線條數(shù)有4條；故選：D.10、A【解析】把拋擲兩枚硬幣的情況均列舉出來，利用古典概型的計算公式，把，，算出來，判斷四個選項的正誤.【詳解】兩枚硬幣，記為與，則拋擲兩枚硬幣，一共會出現(xiàn)的情況有四種，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，則，，，所以A錯誤，BCD正確故選：A11、B【解析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)得數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：因為數(shù)列的前n項和為滿足，所以當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，即所以，解得或，因為，所以.所以，，所以當(dāng)時，，所以，即所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以故選：B12、B【解析】利用微積分基本定理計算,利用積分的幾何意義求扇形面積得到,然后比較大小.【詳解】,表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓在第二象限的部分的面積，∴；，∵e=2.71828…>2.7,，，,故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】圓的方程可化為，所以圓心為，半徑.由于，所以原點(diǎn)在圓外，所以最大值為.故答案為：14、【解析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合題意和韋達(dá)定理，求得拋物線的方程為，直線AB的方程為，進(jìn)而求得的值.【詳解】設(shè)，在拋物線，過切點(diǎn)A與拋物線相切的直線的斜率為，則以為切點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，整理得，所以，解得，所以以為切點(diǎn)的切線方程為，即，同理，設(shè)，在拋物線，過切點(diǎn)B與拋物線相切的直線，又因為在切線和，所以，所以直線AB的方程為，又直線AB過拋物線的焦點(diǎn)，所以令，可得，即，所以拋物線的方程為，直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，整理得或，所以，所以.故答案為：.15、【解析】根據(jù)圖形可求出與棱錐的體積之比，即可求出結(jié)果【詳解】如圖所示：棱錐可看成正四棱錐減去四個小棱錐的體積得到，設(shè)正四棱錐的體積為，為PB的中點(diǎn)，為PD的中點(diǎn)，所以，而，同理，故棱錐的體積的為，即棱錐與棱錐的體積之比為故答案為：.16、【解析】設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡，然后根據(jù)M為線段AB的中點(diǎn)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到k,t間的關(guān)系，進(jìn)而寫出線段AB的垂直平分線的直線方程，可以判斷它過定點(diǎn)E，再考慮直線l的斜率不存在的情況，根據(jù)題意可知，點(diǎn)D在以O(shè)E為直徑的圓上，最后求出點(diǎn)D的軌跡方程.【詳解】設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡得：，設(shè)，則，解得.因為直線是線段AB的垂直平分線，故直線：，即：令，此時，，于是直線過定點(diǎn)當(dāng)直線l的斜率不存在時，，直線也過定點(diǎn)點(diǎn)D在以O(shè)E為直徑的圓上，則圓心為，半徑，所以點(diǎn)D軌跡方程為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）會駛?cè)氚踩A(yù)警區(qū)，行駛時長為半小時【解析】（1）先求出A，B的坐標(biāo)，再由距離公式得出A，B之間的距離；（2）由三點(diǎn)的坐標(biāo)列出方程組得出經(jīng)過三點(diǎn)的圓的方程，設(shè)輪船航線所在的直線為，再由幾何法得出直線與圓截得的弦長，進(jìn)而得出安全警示區(qū)內(nèi)行駛時長.【小問1詳解】由題意得，∴；【小問2詳解】設(shè)圓的方程為，因為該圓經(jīng)過三點(diǎn)，∴，得到.所以該圓方程為：，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為：.設(shè)輪船航線所在的直線為，則直線的方程為：，圓心（6，8）到直線的距離，所以直線與圓相交，即輪船會駛?cè)氚踩A(yù)警區(qū).直線與圓截得的弦長為，行駛時長小時.即在安全警示區(qū)內(nèi)行駛時長為半小時.18、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距為，離心率為結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于的方程組，求出從而求出橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，求出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，然后利用|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，即可求解【詳解】（1）由已知，，解得，所以橢圓的方程為（2）由（1）得過點(diǎn)的直線為，由，得，所以，所以，依題意，因為，，成等比數(shù)列，所以，所以，即，當(dāng)時，，無解，當(dāng)時，，解得，所以，解得，所以，當(dāng)，，成等比數(shù)列時，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛（1）求橢圓方程的常用方法：①待定系數(shù)法；②定義法；③相關(guān)點(diǎn)法（2）直線與圓錐曲線的綜合問題，常將直線方程代入圓錐曲線方程，從而得到關(guān)于（或）的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)），利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)的關(guān)系,同時注意判別式大于零求出參數(shù)的范圍（或者得到關(guān)于參數(shù)的不等關(guān)系），然后將所求轉(zhuǎn)化到參數(shù)上來再求解．如本題及，聯(lián)立即可求解．注意圓錐曲線問題中，常參數(shù)多、字母多、運(yùn)算繁瑣，應(yīng)注意設(shè)而不求的思想、整體思想的應(yīng)用．屬于中檔題.19、（1）（2）為定值，該定值為2【解析】（1）先根據(jù)焦點(diǎn)形式設(shè)出橢圓方程和焦距，根據(jù)橢圓經(jīng)過和半焦距為3易得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，分別表示出直線方程，進(jìn)而求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可表示出，即可求得答案【小問1詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)橢圓：，焦距為，因為橢圓經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)為所以，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】設(shè)，由橢圓的方程可知，因為，則直線，由已知得，直線斜率均存在，則直線，令得，直線，令得，因為點(diǎn)在第一象限，所以，，則，又因為，即，所以所以為定值，該定值為2.20、（1）；（2）.【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）證明出平面，利用空間向量法可求得直線到平面的距離.【小問1詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，易知平面的一個法向量為，，因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【小問2詳解】解：，則，所以，，因為平面，所以，平面，，所以，直線到平面的距離為.21、（1）增區(qū)間，，減區(qū)間，極大值，極小值（2）最大值，最小值【解析】（1）將點(diǎn)代入函數(shù)解析式即可求得a，對函數(shù)求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，確定單調(diào)區(qū)間及極值；（2）分析函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性，由極值、端點(diǎn)值確定最值.【小問1詳解】∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，解