2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章隨機(jī)變量及其分布2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值作業(yè)含解析新人教A版選修2-3

PAGE其次章2.32.3.1【基礎(chǔ)練習(xí)】1．若X是一個隨機(jī)變量，則E(X－E(X))的值為()A．2E(X) B．0C．E(X) D．無法求【答案】B2．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)則X的數(shù)學(xué)期望E(X)等于()A.eq\f(3,2) B．2C.eq\f(5,2) D．3【答案】A3．李先生居住在城鎮(zhèn)的A處，打算開車到單位B處上班，途中(不繞行)共要經(jīng)過6個交叉路口，假設(shè)每個交叉路口發(fā)生堵車事務(wù)的概率均為eq\f(1,6)，則李先生在一次上班途中會遇到堵車次數(shù)ξ的期望值E(ξ)是()A.eq\f(1,6) B．1C．6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))6 D．6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))6【答案】B4．口袋中有5只球，編號為1,2,3,4,5，從中任取3只球，以X表示取出的球的最大號碼，則E(X)等于()A．4 B．5C．4.5 D．4.75【答案】eq\f(1,9)5.(2024年洛陽期末)設(shè)隨機(jī)變量ξ~B(2,p),η~B(4,p)，若E(ξ)=eq\f(2,3),則P(η≥3)=______.【答案】3006.(2024年丹東期末)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.85，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=______．【答案】0.27．端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗．設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中隨意選取3個．(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【解析】(1)令A(yù)表示事務(wù)“三種粽子各取到1個”，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的全部可能值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).∴X的分布列為X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).8．某同學(xué)參與科普學(xué)問競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分．假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8且各題回答正確與否相互之間沒有影響．(1)求這名同學(xué)回答這三個問題的總得分ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望(均值)；(2)求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分(即ξ≥0)的概率．【解析】(1)ξ的可能取值為－300，－100,100,300.P(ξ＝－300)＝0.23＝0.008，P(ξ＝－100)＝Ceq\o\al(1,3)0.22×0.8＝0.096，P(ξ＝100)＝Ceq\o\al(2,3)0.2×0.82＝0.384，P(ξ＝300)＝0.83＝0.512.所以ξ的概率分布列為ξ－300－100100300P0.0080.0960.3840.512E(ξ)＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180.(2)這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P(ξ≥0)＝0.384＋0.512＝0.896.【實(shí)力提升】9.(2024年朝陽期中)已知隨機(jī)變量X的分布列如下，E(X)=7.5，則ab的值是(

)X4a910P0.30.1b0.2

A.1.8 B.2.4 C.2.8 D.3.6【答案】C【解析】由分布列的性質(zhì)可得0.3+0.1+b+0.2=1，解得b=0.4.由E(X)=7.5可得4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=7.5，解得a=7.所以ab=7×0.4=2.8.故選C.10.(2024年大慶期末)同時拋擲5枚勻稱的硬幣80次，設(shè)5枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面對上，3枚反面對上的次數(shù)為X，則X的均值為()A.20 B.25 C.30 D.40【答案】B【解析】同時拋擲5枚勻稱的硬幣，每枚硬幣出現(xiàn)正面對上和反面對上的概率都是eq\f(1,2)，所以正好出現(xiàn)“2枚正面對上，3枚反面對上”的概率為C52×(eq\f(1,2))2×(eq\f(1,2))3=eq\f(5,16).由題意得，X聽從二項(xiàng)分布，即X~B(80,eq\f(5,16)),所以X的均值為E(X)=80×eq\f(5,16)=25.故選B.11．(2024年株洲聯(lián)考)設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的可能取值為1,2,3,4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又E(ξ)＝3，則a＋b＝________.【答案】eq\f(1,10)【解析】∵P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝10a＋4b＝1，又E(ξ)＝30a＋10b＝3，解得a＝eq\f(1,10)，b＝0，∴a＋b＝eq\f(1,10).12.(2024年石家莊模擬)某廠有4臺大型機(jī)器，在一個月中，1臺機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時需1名工人進(jìn)行修理.每臺機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為eq\f(1,3).(1)該廠至少有多少名工人才能保證每臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能剛好進(jìn)行修理的概率不少于90%？(2)已知1名工人每月只有修理1臺機(jī)器的實(shí)力，每月需支付給每位工人1萬元的工資.每臺機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能剛好修理，就能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤.若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值.【解析】(1)1臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障可看作1次試驗(yàn)，在1次試驗(yàn)中，機(jī)器出現(xiàn)故障設(shè)為事務(wù)A，則事務(wù)A的概率為eq\f(1,3).該廠有4臺機(jī)器，就相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為X，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3))).∴P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(16,81)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(32,81)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(8,27)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\f(2,3)＝eq\f(8,81)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(1,81).∴X的分布列為設(shè)該廠有n名工人，則“每臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能剛好進(jìn)行修理”為X≤n，即X＝0，X＝1，X＝2，…，X＝n，這n＋1個互斥事務(wù)的和事務(wù)，則∵eq\f(8,9)＜90%＜eq\f(80,81)，∴該廠至少須要3名工人，才能保證每臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能剛好進(jìn)行修理的概率不少于90%.(2)設(shè)該廠每月可獲利Y萬元，則Y的全部可能取值為18,13,8，P(Y＝18)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋