(前兩節(jié)在一起的)隨機事件的概率精修版分析

3.1.1隨機事件的概率3.1.1隨機事件的概率

在第二次世界大戰(zhàn)中，美國曾經(jīng)宣布：一名優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的作用超過10個師的兵力．這句話有一個非同尋常的來歷．1943年以前，在大西洋上英美運輸船隊常常受到德國潛艇的襲擊，當時，英美兩國限于實力，無力增派更多的護航艦，一時間，德軍的“潛艇戰(zhàn)”搞得盟軍焦頭爛額．為此，有位美國海軍將領(lǐng)專門去請教了幾位數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)家們運用概率論分析后得出，艦隊與敵潛艇相遇是一個隨機事件，從數(shù)學(xué)角度來看這一問題，它具有一定的規(guī)律性．一定數(shù)量的船（為100艘）編隊規(guī)模越小，編次就越多（為每次20艘，就要有5個編次），編次越多，與敵人相遇的概率就越大．比如5位同學(xué)放學(xué)都回自己家里，老師要找1位同學(xué)的話，隨便去哪家都行。但若這5位同學(xué)都在其中某一家的話，老師要找?guī)准也拍苷业?，一次找到的可能性只?0％。

1名數(shù)學(xué)家＝10個師

美國海軍接受了數(shù)學(xué)家的建議，命令艦隊在指定海域集合，再集體通過危險海域，然后各自駛向預(yù)定港口.結(jié)果奇跡出現(xiàn)了：盟軍艦隊遭襲被擊沉的概率由原來的25％降為1％，大大減少了損失，保證了物資的及時供應(yīng)．在自然界和實際生活中，我們會遇到各種各樣的現(xiàn)象．如果從結(jié)果能否預(yù)知的角度來看，可以分為兩大類：

另一類現(xiàn)象的結(jié)果是無法預(yù)知的，即在一定的條件下，出現(xiàn)那種結(jié)果是無法預(yù)先確定的，這類現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象．

一類現(xiàn)象的結(jié)果總是確定的，即在一定的條件下，它所出現(xiàn)的結(jié)果是可以預(yù)知的，這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象；下面各事件的發(fā)生與否，各有什么特點？（1）導(dǎo)體通電時發(fā)熱；（6）在標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化．（5）拋一枚硬幣，正面朝上；（4）在常溫下，鐵熔化；（3）拋一石塊，下落；（2）李強射擊一次，中靶；

必然事件：在條件S下,一定會發(fā)生的事件,叫做必然事件.

比如：“（1）導(dǎo)體通電時發(fā)熱”，“（3）拋一石塊，下落”都是必然事件．一.必然事件、不可能事件、隨機事件

不可能事件：在條件S下,一定不會發(fā)生的事件,叫做不可能事件.

比如：“（4）在常溫下，鐵能熔化”，“（6）在標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化”，都是不可能事件．

隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,叫做隨機事件.

比如“（2）李強射擊一次，中靶”，“（5）擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面”都是隨機事件．

注意：隨機事件要搞清楚什么是隨機事件的條件和結(jié)果。

事件的結(jié)果是相應(yīng)于“一定條件而言的。因此，要弄清某一隨機事件必須明確何為事件發(fā)生的條件，何為在此條件下產(chǎn)生的結(jié)果。

例題分析

例1指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是隨機事件？（2）沒有空氣，動物也能生存下去；（5）某一天內(nèi)電話收到的呼叫次數(shù)為0；

（6）一個袋內(nèi)裝有形狀大小相同的一個白球和一個黑球，從中任意摸出1個球則為白球．（1）若都是實數(shù)，則；（3）在標準大氣壓下，水在溫度時沸騰；（4）直線過定點；二.概率的定義及其理解

隨機事件及其概率

要了解隨機事件發(fā)生的可能性大小，最直接的方法就是試驗。

第一步:

每人各取一枚同樣的硬幣，做10次擲硬幣試驗，記錄正面向上的次數(shù)和比例,填入下表中:試驗：

做拋擲一枚硬幣的試驗，觀察它落地時哪一個面朝上姓名試驗總次數(shù)正面朝上總次數(shù)正面朝上的比例

思考：試驗結(jié)果與其他同學(xué)比較，你的結(jié)果和他們一致嗎？為什么?

第二步:

由組長把本小組同學(xué)的試驗結(jié)果統(tǒng)計一下，填入下表:組次試驗總次數(shù)正面朝上總次數(shù)正面朝上的比例

思考：與其他小組試驗結(jié)果比較，正面朝上的比例一致嗎？為什么？

第三步

:把全班實驗結(jié)果收集起來，也用條形圖表示.班級試驗總次數(shù)正面朝上總次數(shù)正面朝上的比例

第四步:

用橫軸為實驗結(jié)果，僅取兩個值：1（正面）和0（反面），縱軸為實驗結(jié)果出現(xiàn)的頻率，畫出你個人和所在小組的條形圖，并進行比較，發(fā)現(xiàn)什么？

思考：這個條形圖有什么特點？如果同學(xué)們重復(fù)一次上面的實驗，全班匯總結(jié)果與這一次匯總結(jié)果一致嗎？為什么？

第五步：請同學(xué)們找出擲硬幣時“正面朝上”這個事件發(fā)生的規(guī)律性。

隨機事件A在每次試驗中是否發(fā)生是不能預(yù)知的，但是在大量重復(fù)實驗后，隨著次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定在區(qū)間[0，1]中的某個常數(shù)上。結(jié)論:

例如，歷史上曾有人做過拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗，結(jié)果如下表：拋擲次數(shù)()正面向上次數(shù)（頻數(shù)）頻率（）204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120500530000149840.499672088361240.5011隨機事件及其概率1.頻數(shù)，頻率的定義：

在相同條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=nA/n為事件A出現(xiàn)的頻率。

2.頻率的取值范圍是什么？

概率的定義：

對于給定的隨機事件A，如果隨著實驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率。隨機事件及其概率0.9510.9540.940.970.920.9優(yōu)等品頻率19029544701949245優(yōu)等品數(shù)2000100050020010050抽取球數(shù)某批乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量檢查結(jié)果表：當抽查的球數(shù)很多時，抽到優(yōu)等品的頻率接近于常數(shù)0.95，在它附近擺動。（1）頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率。（2）頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定。（3）概率是一個確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗無關(guān)。

概率與頻率的關(guān)系（必掌握之重點）注意以下幾點：

（1）求一個事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗；

（3）概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；（2）只有當頻率在某個常數(shù)附近擺動時，這個常數(shù)才叫做事件的概率；（4）概率反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大?。唬?）必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0．因此．

3．概率的范圍：

知識小結(jié)1．隨機事件的概念

在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,叫做隨機事件．2．隨機事件的概率的定義三.知識小結(jié)對于給定的隨機事件A，如果隨著實驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率。四.作業(yè)：

成才之路小本五.預(yù)習(xí)

3.1.2概率的意義對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率。概率的定義是什么？頻率與概率的有什么區(qū)別和聯(lián)系？①頻率是隨機的，在實驗之前不能確定；②概率是一個確定的數(shù)，與每次實驗無關(guān)；③隨著實驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率。④頻率是概率的近似值，概率是用來度量事件發(fā)生可能性的大小問題1：有人說，既然拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一定是一次正面朝上，一次反面朝上，你認為這種想法正確嗎？1.概率的正確理解：答：這種說法是錯誤的，拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，它是大量試驗得出的一種規(guī)律性結(jié)果，對具體的幾次試驗來講不一定能體現(xiàn)出這種規(guī)律性，在連續(xù)拋擲一枚硬幣兩次的試驗中，可能兩次均正面向上，也可能兩次均反面向上，也可能一次正面向上，一次反面向上問題2：若某種彩票準備發(fā)行1000萬張，其中有1萬張可以中獎，則買一張這種彩票的中獎概率是多少？買1000張的話是否一定會中獎？答：不一定中獎，因為買彩票是隨機的，每張彩票都可能中獎也可能不中獎。買彩票中獎的概率為1/1000，是指試驗次數(shù)相當大，即隨著購買彩票的張數(shù)的增加，大約有1/1000的彩票中獎

隨機事件在一次實驗中發(fā)生與否是隨機的，但隨機性中含有規(guī)律性：即隨著實驗次數(shù)的增加，該隨機事件發(fā)生的頻率會越來越接近于該事件發(fā)生的概率。概率的意義概率是從數(shù)量上反應(yīng)隨機事件發(fā)生的可能性大小的一個數(shù)學(xué)概念，它是對大量重復(fù)實驗來說存在的一種統(tǒng)計規(guī)律性，對單次試驗來說，某隨機事件發(fā)生與否仍是隨機的。2.概率在實際問題中的應(yīng)用：游戲的公平性

在各類游戲中，如果每人獲勝的概率相等，那么游戲就是公平的。是否公平只要看獲勝的概率是否相等。

體育比賽中決定發(fā)球權(quán)的方法應(yīng)該保證比賽雙方先發(fā)球的概率相等，這樣才是公平的。

大家有沒有注意到在乒乓球、排球等體育比賽中，如何確定由哪一方先發(fā)球？你覺得那些方法對比賽雙方公平嗎？探究某中學(xué)高一年級有12個班，要從中選2個班代表學(xué)校參加某項活動，由于某種原因，1班必須參加，另外再從2至12班中選一個班，有人提議用如下方法：擲兩個骰子得到的點數(shù)和是幾，就選幾班，你認為這種方法公平嗎？1點2點3點4點5點6點1點2345672點3456783點4567894點56789105點678910116點7891011122.概率在實際問題中的應(yīng)用：極大似然法例1.在做擲硬幣的實驗的時候，若連續(xù)擲了100次，結(jié)果100次都是正面朝上，對于這樣的結(jié)果你會有什么看法？例2.在一個不透明的袋子中有兩種球，一種白球，一種紅球，并且這兩種球一種有99個，另一種只有1個，若一個人從中隨機摸出1球，結(jié)果是紅色的，那你認為袋中究竟哪種球會是99個？

如果我們面臨的是從多個可選答案中挑選正確答案的決策任務(wù)，那么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準則，這種判斷問題的方法稱為極大似然法。2.概率在實際問題中的應(yīng)用：天氣預(yù)報的概率解釋

若某地氣象局預(yù)報說，明天本地降水概率為70%，你認為下面兩個解釋哪一個能代表氣象局的觀點？（1）明天本地有70%的區(qū)域下雨，30%的區(qū)域不下雨；（2）明天本地有70%的機會下雨。

（1）顯然是不正確的，因為70%的概率是說降水的概率，而不是說70%的區(qū)域降水。正確的選擇是（2）。

降水概率的大小只能說明降水可能性的大小，概率值越大只能表示在一次試驗中發(fā)生的可能性越大。在一次試驗中“降水”這個事件是否發(fā)生仍然是隨機的。（1）概率與公平性的關(guān)系：利用概率解釋游戲規(guī)則的公平性，判斷實際生活中的一些現(xiàn)象是否合理。（2）概率與決策的關(guān)系：在“風險與決策”中經(jīng)常會用到統(tǒng)計中的極大似然法：在一次實驗中，概率大的事件發(fā)生的可能性大。（3）概率與預(yù)報的關(guān)系：在對各種自然現(xiàn)象、災(zāi)害的研究過程中經(jīng)常會用到概率的思想來進行預(yù)測。2.概率在實際問題中的應(yīng)用：孟德爾小傳

從維也納大學(xué)回到布魯恩不久，孟德爾就開始了長達8年的豌豆實驗。孟德爾首先從許多種子商那里，弄來了34個品種的豌豆，從中挑選出22個品種用于實驗。它們都具有某種可以相互區(qū)分的穩(wěn)定性狀，例如高莖或矮莖、圓料或皺科、灰色種皮或白色種皮等。豌豆雜交試驗孟德爾把黃色和綠色的豌豆雜交