山東省泰安市新泰市紫光實驗中學2024-2025學年高三上學期開學檢測數(shù)學試題

新泰市紫光實驗中學2024年開學檢測高三數(shù)學試題

一、選擇題(共40分)1．(5分)曲線與直線有兩個交點,則實數(shù)k的取值范圍是()A. B. C. D.2．(5分)直線與曲線恰有1個公共點，則實數(shù)b的取值范圍是()A. B.C. D.或3．(5分)如圖，在直三棱柱中，E為棱的中點.設(shè)，,，則()A. B. C. D.4．(5分)已知數(shù)列滿足,則()A. B. C. D.5．(5分)若數(shù)列的前n項和為,且,則()A. B. C. D.6．(5分)圓關(guān)于直線對稱，則實數(shù)()A.1 B.-3 C.1或-3 D.-1或37．(5分)在等差數(shù)列中,已知,,,則()A.7 B.8 C.9 D.108．(5分)已知函數(shù)的圖像如圖所示,,是的極值點,則等于()A. B. C. D.二、多項選擇題(共18分)9．(6分)下列各對事件中,M、N是相互獨立事件的有()A.擲枚質(zhì)地均勻的骰子一次,事件“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”,事件“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”B.袋中有個紅球,個黃球,除顏色外完全相同,依次不放回地摸兩次,事件“第次摸到紅球”,事件“第次摸到紅球”C.分別拋擲枚相同的硬幣,事件“第枚為正面”,事件“兩枚結(jié)果相同”D.一枚硬幣擲兩次,事件“第一次為正面”,事件“第二次為反面”10．(6分)下列說法正確的是()A．圓的圓心為，半徑為B．圓的圓心為，半徑為bC．圓的圓心為，半徑為D．圓的圓心為，半徑為11．(6分)下列結(jié)論正確的是()A.已知點在圓上，則的最大值是4B.已知直線和以，為端點的線段相交，則實數(shù)k的取值范圍為C.已知是圓外一點，直線l的方程是，則直線與圓相離D.若圓上恰有兩點到點的距離為1，則的取值范圍是三、填空題(共10分)12．(5分)已知，兩點到直線的距離相等，則______．13．(5分)若對一切恒成立,則的最大值為___________.四、雙空題(共5分)14．(5分)用表示不超過x的最大整數(shù)，已知數(shù)列滿足：，，.若，，則________；若，則________.五、解答題（共77分）15．“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學生.為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學里挑選優(yōu)秀學生參加數(shù)學、物理、化學學科夏令營活動.（1）若數(shù)學組的7名學員中恰有3人來自A中學，從這7名學員中選取3人，表示選取的人中來自A中學的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答2道題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利.已知甲、乙兩位同學組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，.假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨立，且互不影響.當時，求甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值.16．已知直線l：和兩個定點，問直線l上是否存在一點P，使得取得最小值？若存在，求出點P的坐標和的最小值；若不存在，說明理由.17．為了慶祝新中國成立75周年，在國慶期間我市某社區(qū)舉辦了一次有獎答題活動.給出10個問題，要求參賽者依次作答10道試題，每答對一題得1分，答錯一題或放棄作答扣1分，獲得6分（含6分）以上可得獎品.某居民參加了此次答題活動，若該人已經(jīng)完成了前5道題的作答，且都答對.剩下的每道題他做對的概率均為.(1)當時，求該居民最終恰好得到8分的概率.(2)記該居民答對n道題且獲得獎品的概率為，求.18．已知橢圓的右焦點為F，斜率不為0的直線l與C交于A,B兩點.(1)若是線段的中點，求直線l的方程；(2)若直線l經(jīng)過點（點A在點B,Q之間），直線與直線的斜率分別為,，求證：為定值.19．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性;（2）若,且,求k的取值范圍.

參考答案1．答案：D解析：根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示:由題意可得:直線l過,,又曲線圖象為以為圓心,2為半徑的半圓,當直線l與半圓相切,C為切點時,圓心到直線l的距離,即,解得:;當直線l過B點時,直線l的斜率為,則直線l與半圓有兩個不同的交點時,實數(shù)k的范圍為.故選:D.2．答案：D解析：曲線，整理得，畫出直線與曲線的圖象，當直線與曲線相切時，則圓心到直線的距離為，可得（正根舍去），當直線過,時，，如圖，直線與曲線恰有1個公共點，則或.故選：D.3．答案：A解析：由題意可得.4．答案：D解析：因為,當,兩式做差得:,故,當,,符合;故.故選:D5．答案：D解析：當時,,可得,當時,由可得,上述兩個等式作差可得,可得,所以,數(shù)列是首項為,公比也為的等比數(shù)列,則,因此,.故選:D.6．答案：B解析：的圓心坐標為，因為圓關(guān)于直線對稱，所以圓心在直線上，也即，解得：或.當時，可得：，符合圓的方程；當時，可得：，配方可得：，舍去.故選：B7．答案：A解析：由,可得,公差,故,解得,故選:A8．答案：B解析：由函數(shù)的圖象可知:,,解得,,所以,可得,由韋達定理及極值點的定義得,,所以.故選:B.9．答案：CD解析：對于A選項,擲枚質(zhì)地均勻的骰子一次,事件“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”,事件“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”,則事件“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)且為偶數(shù)”,所以,,又因為,所以,,所以,M、N不相互獨立,A不滿足;對于B選項,袋中有5個紅球,5個黃球,除顏色外完全相同,依次不放回地摸兩次,事件“第1次摸到紅球”,事件“第2次摸到紅球”,由題意可知,事件M的發(fā)生影響事件N的發(fā)生,故M、N不相互獨立,B不滿足;對于C選項,分別拋擲枚相同的硬幣,事件“第1枚為正面”,事件“兩枚結(jié)果相同”,則事件“兩枚硬幣都正面向上”,則,又因為,,則,所以,M、N相互獨立,C滿足;對于D選項,一枚硬幣擲兩次,事件“第一次為正面”,事件“第二次為反面”,第一次為正面對第二次的結(jié)果不影響,因此,M、N相互獨立,D滿足.故選：CD.10．答案：AC解析：圓的圓心為，半徑為，A正確；圓的圓心為，半徑為，B錯誤；圓的圓心為，半徑為，C正確；圓的圓心為，半徑為，D錯誤．故選：AC11．答案：AD解析：A選項，因為點在圓上，所以，當時，取得最大值4，故A正確；B選項，由，所以，即直線過點，因為直線和線段相交，故只需或，故B錯誤；C選項，圓的圓心到直線的距離，而點是圓外一點，所以，所以，所以直線與圓相交，故C錯誤；D選項，與點的距離為1的點在圓上，由題意知圓與圓相交，所以圓心距，滿足，解得，故D正確.故選：AD12．答案：1或2解析：由題意可得：，即，可得或，解得或.故答案為：1或213．答案：解析：由題意可得對一切恒成立,令,則,當時,,故在上單調(diào)遞減,此時在上無最小值,不符合題意,當時,令,有,令,有,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,即,則恒成立,令,則,故當時,,當時,,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,即,即的最大值為.故答案為：.14．答案：，2解析：當，時，，即，則數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列.所以，即.當時，，即，且，故，故，故，，，所以，所以.因為，所以由，可得：，，.因為，所以，，則.故答案為：；2.15．答案：（1）分布列見解析，數(shù)學期望為（2）解析：（1）由題意知，的可能取值為0，1，2，3，，，，.所以的分布列為0123P.（2）因為甲、乙兩人每次答題相互獨立，設(shè)甲答對題數(shù)為，則，設(shè)乙答對題數(shù)為，則.設(shè)“甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝”，則.由，及，得，則.又，所以.設(shè)，則，.易知當時，取得最大值.所以甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值為.16．答案：存在，，解析：假設(shè)直線l上存在一點，使得取得最小值，如圖，則，因為，所以當，即點P的坐標為時，取得最小值，且最小值為.17．答案：(1)；(2)解析：（1）根據(jù)題意，該人已經(jīng)完成了前5道題的作答，且都答對，若該居民最終恰好得到8分，則參賽者共答對9道，答錯或放棄1題，所以概率為.（2）根據(jù)題意，該人要獲得獎品，則他獲得6分（含6分）以上，當10道試題都答對時，得分為10分，概率為，當答對9道，答錯或放棄1道時，得分為8分，概率為，當答對8道，答錯或放棄2道時，得分為6分，概率為，綜上可得：.18．答案：(1)；(2)證明見解析解析：（1）設(shè)，，則有，且，作差可得，所以，由點斜式得，，整理得即為直線l的方程.（2）不妨設(shè)的直線方程為，，，聯(lián)立，消去x整理得，由韋達定理得，,,所以，因為，所以為定值.19．答案：（