初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)攻略

實(shí)數(shù)

一、知識(shí)要點(diǎn)概述

f正整數(shù)〕

整數(shù)零

有理數(shù)［負(fù)騏?

有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)

1、實(shí)數(shù)正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)J

1負(fù)

.正蘇里數(shù),

無(wú)理數(shù)<>無(wú)限不耐小數(shù)

負(fù)硝數(shù)

2、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)，正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)

應(yīng)關(guān)系.

g

3、有理數(shù)都可以表示為P的形式（p、q為整數(shù)且p、q互質(zhì)）；任何一個(gè)分?jǐn)?shù)都可以化成

有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù).

4、實(shí)數(shù)運(yùn)算：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方運(yùn)算，其中除數(shù)

不能為0;開(kāi)偶次方時(shí)被開(kāi)方數(shù)不能是負(fù)數(shù)；混合運(yùn)算時(shí)，先算乘方、開(kāi)方，再算乘、

除，最后算加、減，有括號(hào)時(shí)，按括號(hào)指明的運(yùn)算順序進(jìn)行.

5、實(shí)數(shù)的大小比較有三種方法：

①數(shù)軸比較法：數(shù)軸上表示的兩實(shí)數(shù)，右邊的數(shù)大于左邊的數(shù).

②差值比較法：對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,當(dāng)a—b>0時(shí)a>b；當(dāng)a—b=0時(shí)，a=b；當(dāng)a—b

VO時(shí)aVb.

a.aa.

—>1-<41-=1

③商值比較法：對(duì)于兩個(gè)正數(shù)a,b,當(dāng)3時(shí)a>b；當(dāng)小時(shí)a<b；當(dāng)b時(shí)，

a=b.

6、近似數(shù)與有效數(shù)字：一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一

位，這時(shí)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫這個(gè)數(shù)的

有效數(shù)字.

7、科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)數(shù)記成axlO”的形式，叫做科學(xué)記數(shù)法，其中l(wèi)W|a|<10,n為整

數(shù)，科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的有效數(shù)字以a的有效數(shù)字計(jì)算.

8、非負(fù)數(shù)：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，象lai,上6(°》0)形式的數(shù)都是表示非負(fù)數(shù).

9、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：①最小的非負(fù)數(shù)是零；②若n個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都

為零.

二、典例剖析

例1、實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)恰.

b0a

解：

由數(shù)軸可知：a>O>b,laKIbl得b-a〈O,a+b<0,所以：

\b-a\+yj(a+b')2=\b-a\+\a+b\=a-b-(a+b)=-2b.

點(diǎn)評(píng)：

數(shù)形結(jié)合的思想是本題的解題關(guān)鍵，應(yīng)學(xué)會(huì)從數(shù)軸上讀出足夠多的信息為自己所

用，同時(shí)要熟記各種法則及應(yīng)用.

例2：計(jì)算：0(0)2+(_孑_疝(招_1尸

11109341oo

(2)-40ix(l-+—)-0.5-(--)X---X[(-2)2-22]

24144433

解：⑴原式=2+l-2Sx——

y/3~1

=2+1-2^^^=2+1-3-4=-百

點(diǎn)評(píng)：⑴注意加=13*0),=-J-3*o,P為正整數(shù))運(yùn)用.

ap

⑵二次根式分母有理化運(yùn)算.

解⑵原式=-弓Xg+x2x(-1)xy-x[4-4]

81289r,4、41

--x----x2x(--)x---xOn

2144'3，33

289

點(diǎn)評(píng)：①帶分?jǐn)?shù)在乘除運(yùn)算中宜化成假分?jǐn)?shù)；

②不能簡(jiǎn)單地將…+(-+xg看成是-(-1)；

③不可將-2?誤認(rèn)為是4.

例3、(1)如果1〉-3|+|2芯-4卜-必5,求2x—y+z的值.

(2)若Ix+2y+3l+x?+y2=2xy,求乂丫的值.

解：(1)原等式勞|鄉(xiāng)為|<7-3|+|2二-4|+^/?三=。

，-3=。y=3

由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得，2x-4=0<x=2

z-3=0z=3

:.2x-y+z=2x2-3+3=4

(2)原等式化為：|x+2y+3|+(x-y)2=0

由非負(fù)數(shù)的頡可得尸+2y+3=o二,

[x-y=0[y

點(diǎn)評(píng):

算術(shù)平方根、絕對(duì)值、平方等具有非負(fù)性，在解題時(shí)應(yīng)注意運(yùn)用，同時(shí)注意幾個(gè)非

負(fù)數(shù)的和為零時(shí).，可得絕對(duì)值內(nèi)代數(shù)式為0,算術(shù)平方根的被開(kāi)方數(shù)為0,平方的底數(shù)

為0.

例4、填空題：

(1)近似數(shù)3.20x10,精確到位，有個(gè)有效數(shù)字.

(2)將908070萬(wàn)保留兩個(gè)有效數(shù)字，用科學(xué)記數(shù)法表示為.

(3)光的速度約為3x10,千米/秒，太陽(yáng)光射到地球上需要的時(shí)間約為5x10,秒，則地

球與太陽(yáng)的距離是千米.

解：(1)十萬(wàn)，3

(2)9.1xl09

(3)3x10x5x102=1.5x108千米

點(diǎn)評(píng)：

科學(xué)記數(shù)法是中考中?？嫉念}目.應(yīng)根據(jù)指定的精確度或有效數(shù)字的個(gè)數(shù)用四舍五

入法求實(shí)數(shù)的近似值，并會(huì)用科學(xué)記數(shù)法.

例5、已知a、b是有理數(shù)，且32412420，求a、b的值.

解：把已知等雌理得：+=0

-a+—b-2—=0a=3-

因?yàn)?、娓有理數(shù)二:44解得；

—a——b—1—=08=4—

121220I5

點(diǎn)評(píng)：

把原等式整理成有理數(shù)與無(wú)理數(shù)兩部分，運(yùn)用實(shí)數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于a、b的方程組.

例6、函數(shù)y=lx+ll+lx+2l+lx+3l,當(dāng)x取何值時(shí)，y有最小值且最小值是多少？

分析：

先確定三個(gè)絕值的零點(diǎn)值，把x的取值范圍分為四個(gè)部分，然后逐一討論所求代數(shù)

式的取值情況從而確定其最小值.

解:

當(dāng)xN—1時(shí)，y=x+1+x+2+x+3=3x+6N3；

當(dāng)一2gxV—1時(shí)，y=-x-1+x+2+x+3=x+4>2；

當(dāng)一3gxV—2時(shí)，y=—x—1—x—2+x+3=—x,此時(shí)無(wú)最小值；

當(dāng)x<—3時(shí)，y=—x—1—x—2—x—3=—3x—6,此時(shí)無(wú)最小值.

所以當(dāng)x=-2時(shí)，y的值最小，最小值是2.

點(diǎn)評(píng)：

解答此類題目的一般步驟是：①求零點(diǎn)，劃分區(qū)間；②按區(qū)間分別去掉絕對(duì)值的符

號(hào).

整式

一、知識(shí)要點(diǎn)概述

1、代數(shù)式的分類

［［整式］單項(xiàng)式

加加一有理式［多項(xiàng)式

代數(shù)式《八-I

.分式

無(wú)理式

2、同類項(xiàng)：所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).合并同類

項(xiàng)時(shí)，只把同類項(xiàng)系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變.

3、整式的運(yùn)算

(1)整式的加減——先去括號(hào)或添括號(hào)，再合并同類項(xiàng).

(2)整式的乘除

a.轅的運(yùn)算性質(zhì)

@ain-al-a'",n(a/O,m,n為整數(shù))

②(am)"=a'""(a#O,m,n為整數(shù))

③(ab)”=a-b”(n為整數(shù)，a#0,b#0)

b.零指數(shù)福與負(fù)整數(shù)指數(shù)轅

a0=l(awO)

?-p=—=為正整數(shù))

ava

(3)乘法公式

a.平方差公式(a+b)(a—b)=a?—b2

b.完全平方公式：(a土b)2=a，±2ab+bz

4、基本規(guī)律

(1)代數(shù)式的分類遵循按所給的代數(shù)式的形式分類.

如提整式但江是分式,是硒式

X

(2)同類項(xiàng)的尋找是遵循兩同兩無(wú)關(guān)法則(字母相同，相同字母的指數(shù)相同；與系數(shù)

無(wú)關(guān)，與字母的排列順序無(wú)關(guān).)

(3)整式的運(yùn)算法則與有理數(shù)運(yùn)算法則類似.

5、因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化為兒個(gè)整式的積的形式叫多項(xiàng)式的因式分解.

6、因式分解的基本方法：①提取公因式法；②公式法；③分組分解法；④十字相乘法.

7、因式分解常用的公式如下：

(Da2-b2=(a+b)(a—b)

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2.

二、典例剖析

例1、填空題

(1)如果單項(xiàng)式3與一2x3尸b是同類項(xiàng)，那么這兩個(gè)單項(xiàng)式的積是

(2)m,n滿足Im—2l+(n—4)2=0.分解因式：(x?+y2)—(mxy+n).

解：⑴依同類項(xiàng)的定義得"=3,.p=1

a+b=2\b=1

故這兩個(gè)單項(xiàng)式分別是://與一2種R它們的積是-36州

⑵由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得F-27二『二2

n-A=0［附=4

所以原式=(/+,)-(29+4)

=(z2-2xy+y2)-4=(x-yf-4

=(x-y+2)(x-y-2)

例2、若3x3—x=l,求9x葉12x-3x2-7x+2008的值.

分析:

此類代數(shù)式求值問(wèn)題，一般采用整體代入法，即將要求的代數(shù)式經(jīng)過(guò)變形，使之含

有3x3—x—1的乘積的代數(shù)和的形式，再求其值.

解：由3x3—x=l得3x3—x—1=0

所以9x4+12x3-3x2-7x+2008

=3x(3x3—x—l)+4(3x3—x—1)+2012

=2012

例3、已知多項(xiàng)式2x?+3xy—2y2—x+8y—6可分解為(x+2y+m)(2x—y+n)的形式，求

m3+1

的值.

分析：

由題設(shè)可知，兩個(gè)一次三項(xiàng)式的積等于2x?+3xy-2y」x+8y—6,根據(jù)多項(xiàng)式恒等

的條件可列出關(guān)于m,n的二元一次方程組，進(jìn)而求出m、n.

解：由題意得：

(x+2y+m)(2x-y+n)=2x2+3xy-2y-x+8y-6

又因?yàn)?x+2y+m)(2x-y+n)=2x2+3xy-2yz+(2m+n)x+(2n—m)y+mn

根據(jù)多項(xiàng)式恒等的條件，得：

2溺+理=-1

<2力一羽=8解得〈加

?=3

I%汗=-6

7

8-

點(diǎn)評(píng)：解此類題的關(guān)鍵是利用多項(xiàng)式恒等對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等得到相關(guān)方程組，求待定系

數(shù).

例4、計(jì)算("^)(1-…(1-募)”盛).

分析:

本題若直接計(jì)算是很復(fù)雜的，因每個(gè)括號(hào)內(nèi)都是兩個(gè)數(shù)的平方差，故可利用平方差

公式使計(jì)算簡(jiǎn)化.

解：原式=(1-3(1+-)(1--)(1+-)X-X(1_——)(1+—)x(1---)(1+-)

'22八3八32007八2007，2008八2008’

132432006200820072009

-X—X—X-X—X---XXXX

223342007200720082008

12009=2009

2X2008=4016

點(diǎn)評(píng)：涉及與乘法有關(guān)的復(fù)雜計(jì)算，要?jiǎng)?chuàng)造條件運(yùn)用公式簡(jiǎn)化計(jì)算.

a2+b2=2005_c2

例5、已知a、b、c,滿足3,求(a—by+(b-c>+(c—a)。的最大值.

分析：

條件等式和待求代數(shù)式都涉及數(shù)的平方關(guān)系，由此聯(lián)想到利用完全平方公式求其最

大值.

解：由已知得12+*+/=陋

3

..3_妨2++(c-a)2

=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca

=3(7+占2+,2)_(白2+占2+02+2ab+2bc+2ca)

=3x竿-Q+5+C)2

=2005-(<?+Z?+c)2<2005

?(a-b)2+(b-cP+(c-4的最大癖2005.

點(diǎn)評(píng)：適當(dāng)翊，合理I己方是解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵

例6、若2x」kx2+3被2x+l除后余2,求k的值.

分析：

要求k的值，需找到關(guān)于k的方程，由2x」kx2+3被2x+1除后余2,可知2x,

-kx3+l能被2x+l整除，由此可得關(guān)于k的一次方程.

解：???2/-以2+3被2x+l除后余2

-29-以2+1能被2才+1整除，

令2x+l=0得x=」

2

把x=-L代入+

2

32

2X(-1)-A;(-1)+1=0

11.,

一一—-k+1=n0

44

解得1=3.

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵是利用余數(shù)定理找出關(guān)于k的方程，當(dāng)f(x)能被x-a整除時(shí)，f(a)=O.

例7、分解因式

(l)a4+4；

(2)x3-3x2+4；

(3)x2+xy-6y2+x+13y-6；

(4)(x+v)(x+v+2xv)+(xv+l)(xy-1)

解：(l)a4+4=a4+4a2+4-4a2=(a2+2)2—(2a)2=(a2+2a+2)(a2-2a+2)

點(diǎn)評(píng)：

本題不可分組，又無(wú)法直接運(yùn)用公式，但這兩項(xiàng)都是完全平方數(shù)，因此可通過(guò)添項(xiàng)

利用公式去分解.

(2)解法一：x5—3x2+4=x'+x2—4x2+4

=x2(x+l)-4(x+l)(x-l)

=(x+l)(x-2)2

解法2：x3—3x:+4=x3+l—3x2+3

=(x+l)(x2-x+l)-3(x+l)(x-1)

=(x+l)(x2—4x+4)=(x+l)(x—2)2

解法3：x3—3x2+4=x3+x2-4x2—4x+4x+4

=x2(x+l)—4x(x+l)+4(x+l)

=(x+l)(x2—4x+4)

=(x+l)(x-2)2

點(diǎn)評(píng)：

這是一個(gè)關(guān)于x的三次式，直接運(yùn)用分組分解法是難以完成的，可以先將二次項(xiàng)或

常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行拆項(xiàng)，再進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆纸M分解.

(3)設(shè)X2+X、T-6y2+x+13v-6=(x+3y+m)(x-2、，+n)

=x2-2xv+nx+3xy-6V2+3nv+mx-2my+mv

=x2+xy-6y2+(n+m)x+(3n-2m)v+mn

加+力=1

<3?-2^=13解得『=-2

〔用=3

比較左、右兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)得：伊%二-6_______________

:.x2+xy-6y2+x+13y-6=(x+3y-2)(x——2y+3)?

點(diǎn)評(píng)：

這是一個(gè)二次六項(xiàng)式，運(yùn)用分組分解法有困難，根據(jù)整式乘法可知，這個(gè)二次六項(xiàng)

式可分解為兩個(gè)一次三項(xiàng)式，且前三項(xiàng)二次式x2+xy—6y2=(x+3y)(x—2y),由此可知,

這兩個(gè)一次式的常數(shù)項(xiàng)待定，因此可用待定系數(shù)法分解.

(4)設(shè)x+y=a,xy=b

則原式=a(a+2b)+(b+l)(b—l)=a2+2ab+b2-l

=(a+b)2—l=(a+b+l)(a+b—1)

=(x+y+xy+l)(x+y+xy-1)

=(x+l)(y+l)(x+y+xy-1)

點(diǎn)評(píng):

整體思想，換元思想是常用的數(shù)學(xué)思想方法，此題設(shè)x+y=a,xy=b進(jìn)行代換后,

再運(yùn)用公式法和提公因式法來(lái)分解.

分式

一、知識(shí)要點(diǎn)概述

1、分式的概念和性質(zhì)

A

(1)定義：若用A、B表示兩個(gè)整式，A+B可以寫(xiě)成五的形式，若B中含有字母,

A

式子石叫做分式.

(2)性質(zhì)：幺=幺出,4=生絲(其中陰是不等于零的整式)

BBxMBB+M

說(shuō)明：

1°分式的值為0的條件是：分子為零且分母不為0;2。當(dāng)分母為零時(shí)，分式無(wú)意義;

3。分式的基本性質(zhì)是分式運(yùn)算的重要依據(jù)，分式的運(yùn)算方法和順序與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算類似.

2、分式的運(yùn)算法則

⑴加嫩：2"蟲(chóng)坐竺

cccbdbd

小、安以、4acacacadad

(2)乘除法：---=-=—

ba.bdbabebe

⑶就:n=a為遽黝

⑷儲(chǔ)法則：，=；=_：=_二

b-b-bb

說(shuō)明：分式的符號(hào)變化法則是指整個(gè)分子分母和分?jǐn)?shù)線前的符號(hào)，切忌只變分子或

分母中第一項(xiàng)符號(hào).

3、約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把分式的分子和分母中的公因式約去，叫做約分.

4、通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把異分母的分式化成和原來(lái)的分式分別相等的同分母

分式，叫做通分.

二、典例剖析

A2-x-6

例1、若分式X-3的值是絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù).則乂=.

分析：

絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)是0,從而得出分式的值為0,則分子為零且分母不為0,故可求

出X.

由題意得止二二=0/.P-^-6=0解得力=一2

獻(xiàn).1U-3*0

說(shuō)明：

分式的值為0,分子為零都知道，但往往忽略分母不為0,這是此類題目的考察重

點(diǎn).

M+3-—10/+3"-10

例2、如果n為正整數(shù)，6閥-16是既約分?jǐn)?shù)，那么7+6忽-16一一

分析:

n2+3n—10=(n+5)(n—2),n2+6n-16=(n+8)(n—2)分式，分母有公因式n—2,

但此分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)，從而有n—2=L易可求n,進(jìn)而求出此分式值.

解：由題意知￡+3"1°=(?+5)(力-2)

是既約分?jǐn)?shù):盟-2=1,二盟=3

n+6理一16(?+8)(涔-2)

?.原式=瞽*個(gè)噲分?jǐn)?shù)

說(shuō)明：

解答此題的關(guān)鍵在于：巧妙運(yùn)用既約分?jǐn)?shù)的概念確定n的取值，注意化簡(jiǎn)分式時(shí)先

要分別將分子、分母分解因式，再約分.

慟獨(dú)簡(jiǎn)a(a+，(a+c),旅(c+a),2c2(a+0

例、化簡(jiǎn).(a-b)(a-c)(b-c)(b-d)(c-a)(c-b)'

分析:

先找出原式中的最簡(jiǎn)公分母，再對(duì)原式進(jìn)行通分，然后將原式進(jìn)行因式分解，以便

約分化簡(jiǎn).

解原式_a(a+5)(a+c)(8-c)+2b2(c+a)(c-a)+2c2(a+b)(a-B)

'(a-b)(b-c)(a-c)

_a(a+B)(a+c)(b-c)-2a1(t?~c2)

(a-l))(b-c)(a-c)

_a(b-c)[(a+8)0+c)-2a(Z)+c)]

(a-b)(b-c)(a-c)

a(b-c)(a-b)(a-c)

(a-b)(b-c)(a-c)

6x+3

例4、若x取整數(shù)，則使分式左彳的值為整數(shù)的x有()

A.3個(gè)B.4個(gè)

C.6個(gè)D.8個(gè)

分析：

6x+3

將分式五二T進(jìn)行分析，即將它變形為一個(gè)整數(shù)部分與一個(gè)分子為整數(shù)的分式之和

的形式，然后再討論其整數(shù)的個(gè)數(shù).

解：

..6x+3_3(2x-l)+6_3+6

2x-l2x-12x-1

.?.當(dāng)2x-l=±l或±3時(shí),x為整數(shù)，0,1,2,-1；

當(dāng)2x-l=±6或±2時(shí);x都不是整數(shù).

所以符合題意的x的取值只有4個(gè)，應(yīng)選B項(xiàng).

說(shuō)明：將分式進(jìn)行分拆，關(guān)鍵是在于把分子中含字母的部分湊成與分母相同的公因式.

例5、已知初+2人5=2方+”1--3。+2=2,求。+2辦3。-2的值

a-b+23b+2c-82c+a-b4a-3b+c+7

分析：由已知可得到關(guān)于a、b、c的值，然后代入求值.

解：由3a+2b—5=2(a-b+2)得a+4b—9=0①

由2b+c—l=2(3b+2c—8)得4b+3cT7=0②

由c—3a+2=2(2c+a-b)得3c+5a—14=0③

解聯(lián)立①②③組成的方程組得a=l,b=2,c=3.

a+2B+3c-21+4+9-212,<

4t2-3b+c+l4-6+3+78.

說(shuō)明：對(duì)于含條件等式的分式求值問(wèn)題，除考慮對(duì)欲求的分式化簡(jiǎn)外，還要對(duì)條件進(jìn)行

分析適當(dāng)變形，并根據(jù)需要加以轉(zhuǎn)化.

b-cc-aa-b222

例6、求證:--------+---------1---------=---+---+---

(a-b)(a-c)(b-c)fb-a)(c-a)(c-b)a-bb-cc-a

分析：從等式的左邊入手，先將三個(gè)分式的分子添項(xiàng)然后將每個(gè)分式分為兩M

式的差俄不吃再分組相加即可瞬證.

解...b-c_(a-c}-(a-b)_1_1

(a-b)(a-c)(a-b)(a-c)a-ba-c

同理—=

e-cXb-a)b-cb-a

a-b11

(c-a)(c-b)c-ac-b

―5111111

5&2=---------------+----------------+----------------

a-ba-cb-cb-ac-ac-b

111111

a-bc-ab-ca-bc-ab-c

222七

=----+-----+-----二石邁

a-bb-cc-a

即等式成立.

說(shuō)明：添項(xiàng)、拆項(xiàng)是分式計(jì)算與證明的常用方法.此題可抓住左邊分式的分子與分母的

特點(diǎn)進(jìn)行突破，如b—c=(a—c)—(a—b)就可以進(jìn)行分拆.

例7、己知a+3-J"3+c=-a+&+c,求(&+&)@+c)(c+a)的值

cbaabc

分析：己知條件以連比的形式出現(xiàn)可引進(jìn)一個(gè)參數(shù)表示連也從而將分式化為

整式

有江援+b-ca-b+c-a+b+c,

解：設(shè)-------=--——=---------=k

cba

當(dāng)a+與+cw耐，由等比的性質(zhì)可知無(wú)=1

故此時(shí)a+5=2c,a+c=2b,b+c=2a,所以此時(shí)原式=8.

當(dāng)a+A+c=0時(shí)，可得a+3=-c或3+c=-as^a+c=-b,

此時(shí)原式=(-1)3=7

點(diǎn)評(píng):應(yīng)用等比性質(zhì)?4=…=巴=;+：+…+[=?解題時(shí)，不能忽視其成立的

ban匕+d+???十力b

條件占+d+…+福工0,否則會(huì)漏解或出錯(cuò).

二次根式

一、知識(shí)要點(diǎn)概述

1、二次根式：式子6(。?°)叫做二次根式.

2、最簡(jiǎn)二次根式：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式.

(1)被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式.

(2)被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

3、同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)

二次根式就叫同類二次根式.

4、二次根式的主要性質(zhì)

(1)(亞)2=妾0)

Z(a>0)

=|a卜<0(a=0)

-a(a<0)

(3)y/ab=0)

聞I淺—℃°)

5、二次根式的運(yùn)算

(1)因式的外移和內(nèi)移

如果被開(kāi)方數(shù)中有的因式能夠開(kāi)得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根

號(hào)外；如果被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式的形式，那么先分解因式，變形為積的形式，再移因式到

根號(hào)外.反之，也可以將根號(hào)外的正因式平方后移到根號(hào)里面去.

(2)有理化因式與分母有理化

兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則稱這兩個(gè)代數(shù)式互

為有理化因式，將分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化.

(3)二次根式的加減法：

先把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式.

（4）二次根式的乘除法

二次根式相乘（除），將被開(kāi)方數(shù)相乘（除）所得的積（商）仍作積（商）的被開(kāi)方數(shù)，并將

運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式.

（5）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律；乘法交換律、結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律，以

及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算.

二、典例剖析

例1、己知尸石-昌+2,則/+/=--------?

分析:

因一個(gè)等式中含有兩個(gè)未知量，初看似乎條件不足，仔細(xì)觀察兩被開(kāi)方數(shù)互為相反

數(shù)，不妨從二次根式定義入手.

\jp-2

解:由J574得￡^2=0,二/=2/=2.

14-5x

?/+/=2+22=6.

例2、化簡(jiǎn)1+3+—所得結(jié)果為()

\yr(?+1)

AIII-11

A.1+—+------B.1--+------

n盟+1n咒+1

nn+\n咒+1

分析：待選項(xiàng)不再含根號(hào)，從而可預(yù)見(jiàn)被開(kāi)方數(shù)通過(guò)配方運(yùn)算后必為完全平方式

解：選C

原式=f(l+l)2--+—

V?n3+1)2

例3、已知xy>0,化簡(jiǎn)二次根式Vf的正確結(jié)果是（）

A.⑤B.-蘇C.日D.■-日

分析：

解題的關(guān)鍵是首先確定被開(kāi)方式中字母的符號(hào)，既可以化簡(jiǎn)被開(kāi)方式，又可把根號(hào)

外的因式移入根號(hào)內(nèi).

解：選D

因?yàn)?當(dāng)今雙和>0得x<o,y<0.

所以原式=&苴%=或原式=~Jx2,（~-^）=

說(shuō)明：

運(yùn)用二次根式性質(zhì)解題時(shí)，既要注意每一性質(zhì)成立的條件，又要學(xué)會(huì)性質(zhì)的“正用”

與“逆用”特別地字母因式由根號(hào)內(nèi)（外）移到根號(hào)（外）內(nèi)時(shí)必須考慮字母因式隱含的符號(hào).

例4、計(jì)算:

⑴旗+4出+3企

（函+召）（4+物

TfO+^/14--715-721

（;Tio+Vi4+-Ji5+V2T

S、1111

（3）-----+----------+----------+?■■+--------------

3+第503$7擊+5/49747+47^49

3厲-M-2m+34一在+18

⑷75+273+1-

分析：若一開(kāi)始就把分母有理化則使計(jì)算復(fù)雜化觀察每題中分子與分母的數(shù)字

特點(diǎn)通過(guò)分拆、分解、一般化、配方等方法尋找它們的聯(lián)系以此為解題的突破口.

（指+#）+3（并+應(yīng)）

解：（1）原式

函+幣）函+⑨

=-7=---廣+—f=---產(chǎn)="6y

原式=有+"）-布（有+0）=（召+』）（向-我==2尿一5

（小"鳳0+"）+收好+了）~（有+0）函+/）一顯+不-

_____________]

⑶考察一般情形=

(2?+1)->/2?-1+(2/-1)J23+1

=_______________1_______________

J2」T72"+1(J2總+1+J2JT)

_J2J+1-、2JT

2V2?-1?V2?+1

所以原式=1(1-

2

=-(1-

2、

（4）原式由口5-揚(yáng)+2舊G拒-71)+(3萬(wàn)-&)

君+2君+1

G陋-&)(書(shū)+2布+1)3/

書(shū)+2出+1

例5、己知人潮為正整數(shù)且6+3&=質(zhì)及求蒼y的值

分析：因?yàn)橹挥型惗胃讲拍芎喜ⅲ?+3后=回?zé)o故&后都與師為

同類二次根式.

解：因?yàn)榱?10"故只能有以下三種情況：

析+3④=4+9/=44+6有=7召+3/=104

解得什3,2=48[為=147

Ui=27[y2=12I為=3

a+b-\-4-]b-2=3-jc-3--c-5

例6、已知2,求a+b+c的值.

分析：已知條件是一個(gè)含三個(gè)未知量的等式，三個(gè)未知量，一個(gè)等式怎樣才能確定未知

量的值呢？考慮從配方的角度試一試.

解：將已知等式整理配方，得

（2切+（3一2）2+；（戶-3八。

J"1T=0

由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得＜^2-2=0

^^3-3=0

a=2rb=6fc=12

故a+8+c=20.

點(diǎn)評(píng)：

應(yīng)用非負(fù)數(shù)概念和性質(zhì)是初中代數(shù)解題的常用方法之一，lai,a叫而是三種重要

的非負(fù)數(shù)表現(xiàn)形式.判斷一個(gè)數(shù)是否為非負(fù)數(shù)，最關(guān)鍵的是看它能否通過(guò)配方得到完全

平方式，如：?！?0+匕=（國(guó)士&淤

在解多變?cè)胃?，?fù)合二次根式等問(wèn)題時(shí)，常用到配方法，如化簡(jiǎn)

+2^/5+《4-2舊=+1尸+-1）。=舊+1+后—1=2出

710+8由+2近=J10+8J（應(yīng)+1尸=718+872=J（4+啰猿=4+&

不等式與不等式組

一、知識(shí)要點(diǎn)概述

1、不等式的基本性質(zhì)

（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一-個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式不等號(hào)的方向不變.

（2）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.

（3）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

2、不等式（組）的解法

（1）解一元一次不等式和解一元一次方程相類似,但要特別注意不等式的兩邊都乘以

（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向必須改變.

（2）解不等式組一般先分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共部

分，就得到不等式組的解集.

（3）設(shè)aVb,那么：

x>a

<

①不等式組1X>b的解集是X>b（大大取大）；

’X<a

<

②不等式組〔X〈&的解集是xVa（小小取?。?；

x>a

<

③不等式組口<b的解集是a<x<b（大小、小大中間找）；

x<a

<

④不等式組的解集是空集（大大、小小題無(wú)解）.

3、不等式（組）的應(yīng)用

會(huì)列一元一次不等式（組）解決實(shí)際問(wèn)題，其步驟是：

（1）找出實(shí)際問(wèn)題的不等關(guān)系，設(shè)定未知數(shù)，列出不等式（組）；

⑵解不等式（組）

（3）從不等式（組）的解集中求出符合題意的答案.

二、典例剖析

例1、（1）已知不等式3x—a豈）的正整數(shù)解恰是1,2,3,則a的取值范圍是.

x-a>0①

<

⑵已知關(guān)于X的不等式組②無(wú)解，則a的取值范圍是.

分析：

對(duì)于（1）,由題意知不等式的解在x<4的范圍內(nèi)；對(duì)于（2）,從數(shù)軸上看，原不等式

組中兩個(gè)不等式的解集無(wú)公共部分.

解：

3<-<4

⑴由題意得3,.\9<a<12.

（2）由（1）得x>a,由（2）得爛3,因不等式組無(wú)解，；.aW3.

說(shuō)明：確定不等式（組）中參數(shù)的取值或范圍常用的方法有：（1）逆用不等式（組）解集

確定；（2）分類討論確定；（3）借助數(shù)軸確定.

例2、解下列關(guān)于x的不等式（組）.

（l）lx-2l<2x-10；

（2）（2mx+3）—nV3x.

分析：

對(duì)于⑴確定“零界點(diǎn)”x=2（令x-2=0得x=2）分x>2和x<2,去掉絕對(duì)值后求出不等

式的解集；對(duì)于（2）,化為ax<b的形式，再就a的正負(fù)性討論.

解：⑴當(dāng)2時(shí),原_不_等式化為Xx—2:2二0:，.解得才》8

x-2￡2x-10

當(dāng)XV2時(shí)，原不等式化為尸一2二。

[2-x<2x-10

解之得x<2且x云4,所以“僑卡情形不等式無(wú)解，故原不等式的解集為X》8.

(2)由原不等式得(2附-3)x<?-3

當(dāng)2附-3>0,即附>』時(shí)，其解集為x<士之

22m-3

當(dāng)2加-3<0,即加<3時(shí),其解為工>士乙

22m-3

當(dāng)2加=3即附二瓦>3時(shí),不等式的解集為所有實(shí)數(shù)；

2

當(dāng)加=3年w多寸，原不等式無(wú)解.

2

說(shuō)明：涉及未知系數(shù)或絕對(duì)值式子的題目，均可用零點(diǎn)分段討論法解答.

例3、已知3a+2b—6=ac+4b—8=0且a>b>0求c的取值范圍.

分析?：消去a,b得到關(guān)于c的不等式組，解不等式組得c的取值范圍.

4

解：解圻公謝旗組"：%；：；得,6-c

12-3-

6-。

g

???a》S>0,所以0<12-3cW4解得qWc<4.

2x-3a<7b

例4、⑴若不等式組的解是5<x<22,求a、謝取值范圍

6b-3x<5a

2x-l1

(2)已知不等式組I->的解集為x>2,求撤范圍.

x>a

分析：

已知不等式組的解集，求某些字母的值(或范圍)是不等式組解集確定方法的逆向應(yīng)

用，處理這類問(wèn)題時(shí)，可先求出原不等式組含有字母的解集，然后對(duì)照已知“對(duì)號(hào)入座”,

應(yīng)取有針對(duì)性的方法.

解：⑴原不等式組可化為《

x>；（-5儀+6b）

由題蒿1導(dǎo)：(-5。+65)<x<；(3a+7b)

又由題意知,該不等式組的解集為5<x<22

-(3a+7b)=22叫rT；,

1(-5<?+6^)=5I

(2)原不等式組可化為1>2,依題意知x>2

[x>a

..<7<2(注意：這里不肓褊掉等號(hào))

例5、己知方檔且產(chǎn)了=1+癡的解滿足芯+y<0,揚(yáng)的取值范圍

矛+3y=1-m

分析?取看成己知數(shù)解關(guān)于X,盤(pán)方程組.再將所得結(jié)果代入x+y<0,就得到一

個(gè)關(guān)于黑的不等式解這個(gè)不等式,就可以求出血的取值范圍.

解:解旗組c產(chǎn)廠1+3o加得x=—4(l+5m)

I-加卜=23那)

,.?%+y<0,-(1+5加)+9(1-3那)<0,解得洸<-1.

44

枷的取值范圍勤<-1.

例6、東風(fēng)商場(chǎng)文具部的某種毛筆每枝售價(jià)25元，書(shū)法練習(xí)本每本售價(jià)5元，該商場(chǎng)為

促銷制定了兩種優(yōu)惠方法：

甲：買(mǎi)一支毛筆就贈(zèng)送一本書(shū)法練習(xí)本；

乙：按購(gòu)買(mǎi)金額打九折付款.

某校欲為校書(shū)法興趣小組購(gòu)買(mǎi)這種毛筆10支，書(shū)法練習(xí)本x(x*O)本.

(1)寫(xiě)出每種優(yōu)惠辦法實(shí)際付款金額y甲(元)、y乙(元)與x(本)之間的關(guān)系式；

(2)比較購(gòu)買(mǎi)同樣多的書(shū)法練習(xí)本時(shí)，按哪種優(yōu)惠辦法付款更省錢(qián)；

(3)如果商場(chǎng)允許可以任意選擇一種優(yōu)惠辦法購(gòu)買(mǎi)，也可以同時(shí)用兩種優(yōu)惠辦法購(gòu)

買(mǎi)，請(qǐng)你就購(gòu)買(mǎi)這種毛筆10支和書(shū)法練習(xí)本60本設(shè)計(jì)一種更省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案.

分析：

(2)中比較哪種優(yōu)惠辦法更省錢(qián)與購(gòu)買(mǎi)練習(xí)本的數(shù)量有關(guān)，因此應(yīng)分類討論；(3)中

因?yàn)榭赏瑫r(shí)用兩種優(yōu)惠辦法購(gòu)買(mǎi)，所以需要重新建立關(guān)于毛筆枝數(shù)的關(guān)系式求解.

解：

(1)依題意，可得y,=25xl0+5(x-10)=5x+200(x>10)；

y,=(25x10+5x)x90%=4.5x+225(x>10)

(2)由(1)有yy6=0.5x—25

當(dāng)y單一y4=0時(shí)，解得x=50；

當(dāng)yLy>0時(shí)，解得x>50；

當(dāng)yLy,<0時(shí)，解得x<50.

所以，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)50本書(shū)法練習(xí)本時(shí)，兩種優(yōu)惠辦法的實(shí)際付款一樣，即可任選一種

辦法付款，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)本數(shù)在10~50之間時(shí)，選擇優(yōu)惠辦法甲付款更省錢(qián)；當(dāng)購(gòu)買(mǎi)本數(shù)大

于50本時(shí)，選擇優(yōu)惠辦法乙更省錢(qián).

(3)①因?yàn)?0>50,由(2)知不考慮單獨(dú)選用優(yōu)惠辦法甲購(gòu)買(mǎi).

若只用優(yōu)惠辦法乙購(gòu)買(mǎi)10支毛筆和60本書(shū)法練習(xí)本需付款(25x10+

5x60)x90%=495(元)

②若用優(yōu)惠辦法乙購(gòu)買(mǎi)m支毛筆，則須用優(yōu)惠辦法甲購(gòu)買(mǎi)(10—m)支毛筆，用優(yōu)惠

辦法乙購(gòu)買(mǎi)60-(10-m)=m+50本書(shū)法練習(xí)本，設(shè)付款總金額為P,貝小

P=25(10-m)+[25m+5(m+50)]x90%=2m+475(0<m<10)

所以，當(dāng)m=0即用優(yōu)惠辦法甲購(gòu)買(mǎi)10支毛筆，再用優(yōu)惠辦法乙購(gòu)買(mǎi)50本書(shū)法練

習(xí)本時(shí)，P取得最小值為：2x0+475=475(元)

故選用優(yōu)惠辦法甲購(gòu)買(mǎi)10支毛筆，再用優(yōu)惠辦法乙購(gòu)買(mǎi)50本書(shū)法練習(xí)本的方案最

省錢(qián).

例7、我市某化工廠現(xiàn)有甲種原料290kg,乙種原料212kg,計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、

B兩種產(chǎn)品共80件，生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要甲種原料5kg,乙種原料1.5kg,生產(chǎn)成本是

120元；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品，需要甲種原料2.5kg,乙種原料3.5kg,生產(chǎn)成本是200元.

(1)該化工廠現(xiàn)有的原料能否保證生產(chǎn)？若能的話，有幾種生產(chǎn)方案？請(qǐng)你設(shè)計(jì)出

來(lái).

(2)設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總成本為y元，其中一種生產(chǎn)的件數(shù)為x,試寫(xiě)出y與

x之間的關(guān)系式，并利用關(guān)系式說(shuō)明(1)中哪種生產(chǎn)方案總成本最低？最低生產(chǎn)總成本是

多少？

分析：

若設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，根據(jù)題意可建立關(guān)于x的不等式組，解出不等式組得

x的取值范圍.由x為整數(shù)在取值范圍內(nèi)確定x的取值，從而得出生產(chǎn)方案，然后由成

本的已知條件求出x與y之間的關(guān)系式，根據(jù)此關(guān)系式求出最低生產(chǎn)總成本.

解：

(1)設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品(80—x)件，依題意，可得：

|5x+2.5(80-%)<290

[1,5X+3.5(80-%)<212

解得：34<x<36

因?yàn)閤為整數(shù)，所以x只能取34或35或36.

所以該工廠現(xiàn)有的原料能保證生產(chǎn)，有三種生產(chǎn)方案：

第一種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品34件，B種產(chǎn)品46件；

第二種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品35件，B種產(chǎn)品45件；

第三種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品36件，B種產(chǎn)品44件.

(2)設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品(80—x)件，依題意，可得：

y=120x+200(80—x)即y=-80x+16000(x取34或35或36)

由式子可知，當(dāng)x取最大值36時(shí)，y取最小值為-80x36+16000=13120元，即第

三種方案；生產(chǎn)A種產(chǎn)品36件，B種產(chǎn)品44件，總成本最低，最低生產(chǎn)成本是13120

元.

說(shuō)明:

利用列不等式組然后求出不等式組的集，在其解集內(nèi)求出符合條件（一般是整數(shù)）的

值，是解方案設(shè)計(jì)型應(yīng)用題的常用方法.

方程與方程組

一、知識(shí)要點(diǎn)概述

1、等式和方程的有關(guān)概念、等式的基本性質(zhì).

2、一元一次方程的解法及最簡(jiǎn)方程ax=b解的三種情況.

(1)解一元一次方程的一般步驟是去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)和將未知數(shù)的

系數(shù)化為1.

(2)最簡(jiǎn)方程ax=b的解有以下三種情況：

b

X——

①當(dāng)a/)時(shí)，方程有唯一?解4；

②當(dāng)a=0,屏0時(shí)，方程無(wú)解.

③當(dāng)a=0,b=0時(shí)，方程有無(wú)窮多解.

3、一元二次方程的一般形式是ax葉bx+c=O(ar。)

其解法主要有：直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、求根公式法.

4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a#))的求根公式是：

百,2=噂-4"?2-4ac^Q)

注意：求根公式成立的條件為：①時(shí)0；②4acK).

5、一元二次方程ax2+bx+c=0(a#))的根的判別式是△=b」4ac.當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

-bl^b2-4ac

x

l,22a

b

&==—

當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即2a.

當(dāng)△<()時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)根，反之成立.

bc

Xi+x2=x>x2=—.

6、若一元二次方程ax2+bx+c=0(aM)的兩根為氏，x2,貝U&。

7、以兩數(shù)a、p為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x2-(a+p)x+aP=0.

8、解一次方程組的基本思想是消元，常用的消元方法是加減消元法和代入消元法.

9、解簡(jiǎn)單的二元二次方程組的基本思想是“消元”與“降次”.①若方程組中有一個(gè)是一

次方程，則一般用代入消元法求解；②若方程組中有能分解成兩個(gè)一次方程的方程，則

一般用“分解降次”的方法將原方程組化為兩個(gè)或四個(gè)方程組求解.

10、簡(jiǎn)單的分式方程組的解法，一般是用去分母或換元法將其轉(zhuǎn)化為整式方程組求解，

并要驗(yàn)解.

11、方程組的解的存在性問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為方程的解的存在性問(wèn)題來(lái)研究.

二、典例剖析

例1、方程X-聲一言一如而(X、削解是.

分析:按部就班地解，顯然繁雜視］)為整體，先去括號(hào)可獲得簡(jiǎn)解

解:去X-jX+-^-(X-^)=

4167167

得L=(J

4

x=0

點(diǎn)評(píng)：靈活解一元一次方程時(shí)常用到以下方法技巧.

⑴若括號(hào)內(nèi)有分?jǐn)?shù)時(shí)，則由外向內(nèi)先去括號(hào)，再去分母；

(2)若有多重括號(hào)，則去括號(hào)與合并同類項(xiàng)交替進(jìn)行；

⑶恰當(dāng)用整體思想.

例2、解下列關(guān)于x的方程.

(1)4x+b=ax—8(a?4)

(2)mx-l=nx

=—(x+2m)

⑶34

分析：把方程化為一般形式后，再對(duì)每個(gè)方程中字母系數(shù)可能取值的情況進(jìn)行討論.

解:⑴原方程朔為(4-加=-8-占

???。工4,..4一。工0

..方程的解為入=里.

(2)原方程化為(加-M)X=1

當(dāng)加W4寸，方程有唯一解X=——.

m-n

當(dāng)羽=加寸,原方程無(wú)解.

(3)原方程化為(4加一3)x=4加福+6羽

當(dāng)四時(shí)，原方程有唯一解x=如+卑

44m-3

當(dāng)加=3，閥=-手寸，原方程有無(wú)數(shù)個(gè)解；

當(dāng)加=3,閥時(shí),原方程無(wú)解.

42

例3、解下列方稗且

123x+17y=63

⑴[17x+23y=57

--1--+---2---=1.

⑵卜T所3

?=0

2x-22y-l

（3）[a+&=&+&=為+/=-=a9“+X1998=百998+百999=1

[%+X2+---+X1998+藥999=1999

分析:依據(jù)方程組的特點(diǎn)靈活選用不同的解題方法,對(duì)于(2)設(shè)<=」=4

X-12y-l

通過(guò)換