初三數(shù)學(xué)講學(xué)稿

第二十二章一元二次方程

22.1一元二次方程的概念

一、學(xué)前準(zhǔn)備

1.什么叫整式方程？怎樣的方程叫一元一次方程？試舉例說明。

2.設(shè)未知數(shù)，并列出方程：

(1)一個(gè)正方形的面積的2倍等于31,求這個(gè)正方形的邊長。

(2)一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)小3,且兩數(shù)之積為0,求這個(gè)數(shù)。

(3)一個(gè)數(shù)的平方的一g倍與一2的和等于2,求這個(gè)數(shù)。

(4)一個(gè)矩形的長比寬多5cm,面積為150cm2,求這個(gè)矩形的寬。

二、課堂練習(xí)

1.在學(xué)前準(zhǔn)備2中，所得出的四個(gè)方程有哪些共同點(diǎn)？

歸納總結(jié)：叫做一元二次方程，

形如叫做一元二次方程的一般形式，其中—是二次項(xiàng),__是

二次項(xiàng)系數(shù)；一是一次項(xiàng)，一是一次項(xiàng)系數(shù)：一是常數(shù)項(xiàng)。

2.下列方程都是整式方程嗎？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？

(1)3x+2=5x-3(2)X2=4

(3)(x-1)(x-2)=x2+8(4)(x+3)(3x-4)=(x+2)2

2

3.為什么在一元二次方程的一般形式aX+bX+c=0中，二次項(xiàng)系數(shù)不為0呢？

4.把方程(*+3)(3*—4)=汽+2產(chǎn)化成一般形式，并指出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。

5.當(dāng)a、b、c滿足什么條件時(shí)，方程(a-l)x2+bx+c=0是元二次方程？這時(shí)方程的二次

項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)分別是什么？當(dāng)a、b、c滿足什么條件時(shí)，方程(a—1)x2+bx+c=0是一

元一次方程？

三、課后作業(yè)

1.下列方程是一元二次方程的是()

--71

A.4----1=0B.(x+2)(x—3)—3x+—

XX

C.(x+1)(x2-x+l)=x3-x2D.(2x2-1)2-1=0

2.把下列各題化成一元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)。

⑴(3+y)(3—y)=(y—2)2(2)(x+a)2+2(x+a)(2x+c)=b2

3.對(duì)于方程x2-mx(2x-mT)=0,當(dāng)m為何值時(shí)，是一元二次方程？

22.2.1直接開平方法(1)

一、學(xué)前準(zhǔn)備

1.怎樣的方程叫一元二次方程？一元二次方程的一般形式是什么？

2.什么叫平方根？平方根的性質(zhì)是什么？

3.完全平方公式是。

二、課堂練習(xí)

1.用直接開平方的方法解下列方程：

(1)x2=5(2)2x2=8(3)x2-12=0

2.用直接開平方的方法解下列方程:

(1)(3x—l)2=6(2)4(2x-l)2-9=0(3)4x2-4x+1=9

3.思考：下列一元二次方程有實(shí)數(shù)根嗎？

(1)x2+6=0(2)(2x+l)2+5=0

4.應(yīng)用拓展:(2x-1)2=(3-x)2

三、課后作業(yè)

1.下列一元二次方程可以用直接開平方法解的是()

A.x2—1=0B.x2—2x+4=0

C.(x—I)2=2xD.(x—2尸=x—2

2.用直接開平方法解下列一元二次方程：

(1)2x2-10=6(2)9x2-16=0

(3)(y—5尸—36=0(4)(x一6)(x+6))=6

⑸(x—1)(x+1)=1(6)2(x-3)2-72=0

12

⑺—?(x―1)—-5=0(8)(x-I)2=(2x+3)2

2

22.2.1配方法（2）

一、學(xué)前準(zhǔn)備

1.⑴3x2-1=5(2)4(x+1)2-9=03)4x2+16x+16=9

2.(Da2-+4=(a——)2⑵從―12b+=(b——)2

(3)a2+2ab+=(a+)2(4)a2-2ab+=(a-)2

3.用一根10m長的鐵絲，怎樣用它圍成一個(gè)面積為8m2的長方形？(設(shè)出未知數(shù)，列出方程)

二、課堂練習(xí)

1.⑴X2-8X+1=O(2)2X2+1=-3X(3)3x2-6x+4=0

2.(1)X2+10X+9=0(2)x"-x--1=0(3)3x"+6x-4=0

3.應(yīng)用拓展：當(dāng)x=l,x2-6x+11=.當(dāng)x=-2,x2-6x+11=

試說明不論x取何值，X2-6X+11的值總是一個(gè)正數(shù)。

三、課后作業(yè)

1.將二次三項(xiàng)式爐+6%+7進(jìn)行配方，正確的結(jié)果應(yīng)為()

(A)(x+3)?+2(B)(x—3)?+2(C)(X+3)2—2(D)(x—3)——2

2.用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是()

A、X2-2X-99=0化為(X-1)2=100B、x、8x+9=0化為(x+4)?=25

C、2x2-7x+4=0化為(x-^)2=*D、3x2-4x-2=0化為(x-q)2=與

3.把一元二次方程3X2-2X-3=0化成3(x+m)2=n的形式是

4,用配方法解下列方程：

(1)X2-6X-16=0(2)X2+4X-9=2X-11

(3)x(x+4)=8x+12(4)2x2-3x-2=0

(5)2X2-10X+52=0(6)(2008濟(jì)寧)2x2+1=3x

5.已知方程x?—6x+q=0可以配方成(x—pF=7的形式，那么x2一6x+q=2可以配方成下列

的()

(A)(%-/?)2=5(B)(%-/?)2=9(C)(x-p+2)2=9(D)(x-p+2)2=5

6.(中考題)求證:不論a取何值，a?-a+l的值總是一個(gè)正數(shù)。

22.2.2公式法

一、學(xué)前準(zhǔn)備

用配方法解一般形式的一元二次方程，

ad+力x+c=0(〃W0)

因?yàn)?。?,方程兩邊都除以a,得

x2+___x+____=0

移項(xiàng)，得x=——

a

Ac

配方，得』+2?X?+()2=()2——

2aa

2

2h-4ac

即('+一尸

Va^O,.*.4a2>0,當(dāng)/一4ac20時(shí)，直接開平方，得

,ylb2-4ac

x+___=±-------------

2a

2

x=-2土ylh-4ac

2a2a

由以上研究的結(jié)果，得到了一元二次方程ax?+bx+c=O的求根公式：

「----------------------------1

利用這個(gè)公式，我丫_-b土dac(/_4收20)1直接求得方程的解，這種解方程的

方法叫做公式法.L

二、課堂練習(xí)

⑴6X2-13X-5=0(2)X(X+8)=16⑶0X2-4X=4A/I

(4)X2=2(x+1)(5)2/—3x-2=0(6)(x+3)(2x-9)+6=0

2

(7)x+3=26x(8)3x(x-3)=2(x-l)(x+l).

三、課后練習(xí)

1.用公式法解下列方程

(1)3X2+5X-2=0；(2)f+2x=5；(3)4.r2—3J—1=J—2；

2

(4)x~+2x—2=0；(5)3f+4x—7=0(6)2y+8y-l=0;.

2.用你學(xué)過的你認(rèn)為適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)(y—2>=3；(2)x2+10x=-9

(3)F-3x—2=0：(4)(x-l)(x+2)=5.

22.2.3因式分解法

一、學(xué)前準(zhǔn)備：

1.解下列方程：

(1)2x2+x=0(用配方法)(2)3x2+6x=0(用公式法)

問題：有沒有簡單的方法解這類方程嗎？

2.解一元二次方程的一般方法有,,.

3.利用因式分解法解一元二次方程時(shí)，必須使方程一邊是,另一邊必須是o

4.解方程的指導(dǎo)思想是：

(1)⑵，使高次的轉(zhuǎn)化為多元的轉(zhuǎn)化為

二、課堂練習(xí)

](x+2)(x-5)=02(2x-5卜+3)=03x(3x-1)=0

46x(%+5)=0

5.6x+5=06.x~~2x—8=0

2x+4

x=-----

7.x2=5x4-148.39.X2-5X-6=0

II(x-+2)=(x-2^2x+1)

10.x+3x-18=0

三、課后作業(yè)

2

1.x-9x=02.x2+8x+16=03.x'+7x-30=0

4.3*=2x5.x+4x-5=06.4(x+2h25

22

7.X-9X+14=08.4x+5x=09.10X-6X2=4

10.應(yīng)用拓展：(^+1)(2X-3)=4X2-9

22.2一元二次方程解法訓(xùn)練題（1）

一、用直接開平方法解下列一元二次方程:

1.2/-16=02.9/-3=53.16(1)2=9

4.2(x-3)2-72=05.9x2+6x+1=56.4(3x+l)2-9=0

二、用配方法解下列一元二次方程：

1.x2—4A:4-6—02.X2+i—~7x3.x~1x------0

4

4.2X2+X=-65.4x2-x-9=O6.3x2—6x—4=0

三、用公式法解下列一元二次方程：

1.2x2-10x=32.(x+2)(x-5)=83.2x2+1=2y/lx

4.y(y-2)=35.x(2x—4)=5—8x6.3x2—l—4x

四、用因式分解法解下列一元二次方程：

1.2x2=3x2.3x(x-l)=2(x-l)3.(2x-l)2-x2=0

4.(2x-5)2=3(5-2%)5.JC2+4JC-5=06.(x—3)2=(2x+1產(chǎn)

五、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠?

1.9/-25=02.25(2萬——16=03.(2X+3)2—2X—3=0

4.2x(x-3)=-6x+55.3x(2x+1)=4x+26.2x——3x+1=0

7./7V一第二。8.(x-3)(x+7)=-99.(2y+I)2-8(2y+I)2+15=0

22.2一元二次方程解法訓(xùn)練題(2)

一、用直接開平方法解下列一元二次方程：

L(x-3)-=829》2-25=0

3(31)2=64.4(工一3)2-9=0

二、用配方法解下列一元二次方程:

1.4-x—24=02.2x2+6=7x

3.3Y—4x—2=04y2-47§y+i2=0

三、用公式法解下列一元二次方程:

].f+2x—2=02.2丁+2x=1

3.4x2+4x-l=-10-8x4.(x-2)(3x-5)=1

四、用因式分解法解下列一元二次方程：

22

1x—3x=02.Y_7x+6=03,25(2%-l)-16=0

4x~—2x+1—3(Jt?2-1)=0-y2-5y—24=065x(x—1)=3(1—x)

五、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠?

14(3x-2)2=3622

2(2X+1)-4=03.x—4x+4=7

4(X-3)2+2X(X-3)=05.2x2-12x+9=06.3x+15=—2x——1Ox

7.4(x+3)2—25(x—2>=082/+3%—1=0g—4x—3=0

2

10.(y—7)2—12=011.(x+4產(chǎn)一4(x+4)~+3=0I?.4x—5—4x

22.2一元二次方程解法訓(xùn)練題(3)

一、選擇題

1.一元二次方程2x-3=0的根為()

A.X]=1,%2=3B.X]=-1,欠2=3C.X[=-l,x2=-3D?=l,x2=—3

2.方程x(x+3)=x+3的解是()

A.x=lB.Xi=0,X2=-3C.Xj=l,X2=3D.XI=1,X2=-3

3.用配方法解一元二次方程/-4x=5的過程中，配方正確的是()

A.(x+2)2=1B.(x-2)2=1C.(x+2)2=9D.*-2尸=9

4.一元二次方程51-2x=0的解是()

2

D.Xj=0,X2-—不

二、填空題

1.若x=l時(shí)一元二次方程ax2+bx-2=0的根，則a+b=

2.已知一元二次方程有一個(gè)根為1,那么這個(gè)方程可以是(只需寫出一個(gè)方程)

3.方程x?=4x的解是.

4.已知方程3/-9x+m=0的一個(gè)根是1,則，"的值是.

5.一元二次方程d-2x-l=0的根是.

6.一元二次方程(1+3%)。-3)=2/+1化為一般形式為：,二次項(xiàng)系數(shù)

為：,一次項(xiàng)系數(shù)為：,常數(shù)項(xiàng)為：。

7.在關(guān)于*的方程而-5”1+(111+3卜-3=0中：當(dāng)111=時(shí)，它是一元二次方程；當(dāng)01=時(shí)，它

是一元一次方程。

8.若一元二次方程ax2+bx+c=0(ar0)有一個(gè)根為1,則a+b+c=;若有一個(gè)根為T,則b與

a、c之間的關(guān)系為;若有一個(gè)根為零，則c=.

9.用配方法解方程X?-4x=5時(shí)方程的兩邊同加上______，使得方程左邊配成一個(gè)完全平方式.

10.方程(x-l)z=4的解是。

三、用給定的方法或合適的方法解下列各方程

(1)3X2-7X=0(2)2x(x+3)=6(x+3)(3)(2-1)2=9(直接開方法)

(4)8y2=4y(酉己方法)(5)12,-25=0(6)x~2x=0

(7)(/-2)(Z+1)=0(8)x(A+1)—5x=0.(9)3X2-4X=2X；

(10)X2+(V3+l)x=0(11)x(%—6)=2(%—8)(12)(x+1)(x-l)=2瓜;

(13)x(x+8)=16(14)(x+2)(x-5)=1(15)(2x+l)2=2(2x-+1).

五、閱讀材料：為解方程(一一一5(r-1)+4=0,我們可以將X,—1視為一個(gè)整體，然后設(shè)一一1

=y,則(/—l)2=y2,原方程化為y2—5y+4=0.①

解得yi=l,yz=4

當(dāng)y=l時(shí)，x2-l=l.：.X2=2..,.X=±V2：

當(dāng)y=4時(shí)，X2-1=4,：.X2=5,.?.X=±/。

XIXAS

原方程的解為=，Lx2=—^2,3--\[5,xi=-/

解答問題：

(1)填空：在由原方程得到方程①的過程中，利用法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了

的數(shù)學(xué)思想.

(2)用上面的方法解此方程：X'-X2-6=0.

六、用配方法證明/一4x+5的值不小于1。

22.2.4根與系數(shù)的關(guān)系(1)

一、學(xué)前準(zhǔn)備:

解下列方程，并填寫表1各：

方程

XiX2X1+X2Xl-%2

x-2x=0

X2+3X-4=0

2

x-5x+6=0

觀察上面的表格，你能得到什么結(jié)論？

(1)關(guān)于x的方程不一+〃1+4=0(p,q為常數(shù)，p--4q20)的兩根無，％2與系數(shù)小q

之間有什么關(guān)系？

(2)好x的方程々x2+bx+c=0(aw0)的兩根乃，X2與系數(shù)a，b,C之間又有何關(guān)系呢？

你能證明你的猜想嗎？

二、課堂練習(xí)

1.不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積：

221o

⑴―=0(2)2—=0(3)/-2x=0

(4)V2x+V6x=V3(5)x-l=0(6)X-2X+1=Q

2.不解方程，檢驗(yàn)下列方程的解是否正確？

⑴x-2拒x+l=0(七=后+1,兀=行-1)

(2)2^一3%—8=0a

/+歷X=5-T73

44

3.已知一元二次方程的兩個(gè)根是-1和2,請你寫出一個(gè)符合條件的方程.(你有幾種方法？)

4.已知方程212+攵工_9=0的一個(gè)根是一3,求另一根及k的值.

變式一：已知方程了2一2左x_9=o的兩根互為相反數(shù)，求k；

變式二：已知方程2x'_5x+左=0的兩根互為倒數(shù)，求％

三、課后作業(yè)

1.不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積

(1)X2-3X+1=0(2)3X2-2X=2(3)2x2+3x=0(4)3x2=l(5)x2+px+q=0

2.如果-5是方程5x2+bx-10=0的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及b的值；

2

3.已知方程%—3x+/72—0的一個(gè)根是1,求另一根及m的值.

4.設(shè)X、X2是方程2x2-6x+3=0兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：

2

(1)X]2X2+x]X22(2)(X1-X2)(3)(X1-2)(X2-2)

22.2.4一元二次方程根的判別式(2)

一、學(xué)前準(zhǔn)備：

1.求根公式為：,

2.解下列方程：

(1)X2+X-6=0(2)9X2+6X+1=0(3)2x2+x=-6

二、課堂練習(xí)

1.一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式為。

(1)當(dāng)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

(2)當(dāng)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

(3)當(dāng)實(shí)數(shù)根。

2.不解方程判斷下列方程解的情況

(1)X2+4X+9=0(2)x2-x-^-=0(3)3x2+6x-4=0

3.若關(guān)于x的一元二次方程A：'-2x+〃z=0(1)沒有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。(2)有兩

個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

4.證明關(guān)于x的一元二次方程Y+(2k+l)x+k-l=O無論k為任何值，方程一定有兩個(gè)不同的根。

三、課后作業(yè)

1.關(guān)于x的一元二次方程2》2+ax—3=°的根的情況是()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根D.不能確定

2.若關(guān)于x的一元二次方程火/+履+i=o有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則上的值為()

A.0B.0或4C.4D.任意實(shí)數(shù)

3.下列關(guān)于x的一元二次方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是()

A.x2+l=OB.x2+x-l=OC,X2+2X-3=0D.4X2-4X+1=0

4.若關(guān)于x的一元二次方程4=0有兩個(gè)相同的根，則實(shí)數(shù)m的取值是（）

A.m=lB.m=4C.m=2D.m=-4或4

5.已知關(guān)于x的方程;3）x+機(jī)2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么根的最大整數(shù)值是

（）

A.2B.1C.0D.-1

6.關(guān)于x的一元二次方程a/+4x+c=0,若a、c異號(hào)，則該方程根的情況是（）

A.有兩個(gè)不等實(shí)根B.有兩個(gè)相等實(shí)根C.沒有實(shí)根D.無法確定

【拓展創(chuàng)新】

7.（中考題）如果關(guān)于x的方程d+4x+a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求a的值。

8.求證：無論加取何值，方程9——（m+7）》+〃?-3=0都有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

9.當(dāng)m取什么值時(shí)，關(guān)于%的方程*2+2（2機(jī)+1）》+（2m+2）2=0：

（1）有兩個(gè)相等實(shí)根；（2）有兩個(gè)不相等的實(shí)根；（3）沒有實(shí)根;

22.3實(shí)際問題與一元二次方程

一、學(xué)前準(zhǔn)備

1.兩個(gè)相鄰偶數(shù)的積是168,求這兩個(gè)偶數(shù)？

2.一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的和是14c〃?，面積是24C,〃?2,求兩條直角邊的長？

二、課堂練習(xí)

1.2006年我國部分養(yǎng)雞場突發(fā)禽流感疫情，某養(yǎng)雞場一只帶病毒的小雞經(jīng)過兩天的傳染后使雞場

共有169只小雞遭感染患病，在每一天的傳染中平均一只小雞傳染了幾只小雞？

2.某廠去年3月份的產(chǎn)值為50萬元，5月份上升到72萬元，求這兩個(gè)月平均每月增長的百分率是

多少？(7144-1.2,VT69-1.3)

3.學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地是長18米、寬12米的矩形，為便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩

縱三條等寬的小道（如圖），要使種植面積為196平方米，求小道

的寬.

4.蓮花商場將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元出售，能賣500個(gè)，已知該商品要漲價(jià)1元，其銷

售量就要減少10個(gè)，為了賺8000元利潤，售價(jià)應(yīng)定為多少，這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？

三、課后作業(yè)

1.參加一次足球聯(lián)賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都進(jìn)行兩次比賽（雙循環(huán)制），共要比賽90場，共有多少個(gè)隊(duì)

參加比賽？

2.小明將1000元錢存入銀行，定期一年后取出500元購買學(xué)習(xí)用品，剩下的500元和應(yīng)得的利息又

全部按一年定期投入，若存款的年利率保持不變，到期后取出660元，求年利率？

3.有一個(gè)兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小2,求這個(gè)兩位數(shù)。

4.要組織一場籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽場），計(jì)劃安排15場比賽，應(yīng)邀請

多少個(gè)球隊(duì)參加？

5.某種商品原來售價(jià)80元，經(jīng)過兩次降價(jià)后，現(xiàn)在售價(jià)比原來少15.2元，求平均每次降價(jià)百分?jǐn)?shù)?

6.某校辦工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，今年產(chǎn)量為200件，計(jì)劃通過改革技術(shù)，使今后兩年的產(chǎn)量都比前一

年增長一個(gè)相同的增長率，這樣三年的總產(chǎn)量達(dá)到1400件，求這個(gè)增長率。

7.某種電腦病毒傳播非?？欤绻_(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染.請你

用學(xué)過的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染兒臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染

后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過700臺(tái)？

8.矩形ABCD中，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AB向B點(diǎn)以每秒2cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始

沿BC向C點(diǎn)以每秒1cm的速度移動(dòng)，AB=6cm,BC=4cm,若P、Q兩點(diǎn)分別從A、B同

時(shí)出發(fā)，問幾秒鐘后P、Q兩點(diǎn)之間的距離為2五cm?

9.用長為18cm的鐵絲圍成一個(gè)面積為S的矩形(不考慮接頭的長度)，(1)S=20cm2時(shí)，求這個(gè)

矩形的長與寬。(2)S能等于21cm2?說明理由。(3)你能求出面積S的最大值并說明理由嗎？

第22章一元二次方程全章能力測試

一、填空題

1.把方程2x(x—l)=3(x+5)-4化為一元二次方程的一般形式是。二次項(xiàng)的系數(shù)是

,一次項(xiàng)系數(shù)是_,常數(shù)項(xiàng)是。

2.(m-2)x"'-2+x—3=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為。

3.某種品牌的手機(jī)經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價(jià)，每部售價(jià)由3200元降到了2500元.設(shè)平均每月

降價(jià)的百分率為X,根據(jù)題意列出的方程是.

4.若關(guān)于x的一元二次方程f+(k+3)x+Z=0的一個(gè)根是—2,則另?個(gè)根是____.

5.由于甲型H1N1流感(起初叫豬流感)的影響，在一個(gè)月內(nèi)豬肉價(jià)格兩次大幅下降.由原來每斤

16元下調(diào)到每斤9元，求平均每次下調(diào)的百分率是多少？設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為X,則根據(jù)題

意可列方程為.

6.已知xi、X2是方程2x?+3x—4=0的兩個(gè)根，那么：xj+x2=；xi?X2=；

11

---1---

X1%2;X2I+X22=;(xi+l)(x2+l)=o

二、選擇題

1.方程2x(x-3)=5(x-3)的根是()

5-55

A.x=—B.x=3C.x=3,或x=-D.x="-

222

2.若〃(〃H0)是關(guān)于x的方程/+機(jī)x+2w=0的根，則研〃的值為

A.1B.2C.-1D.-2

3.若王，々是一元二次方程——5x+6=0的兩個(gè)根，則的值是()

A.1B.5C.-5D.6

4.設(shè)小匕是方程犬+x-2009=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則/+2。+6的值為()

A.2006B.2007C.2008I).2009

5.為執(zhí)行“兩免一補(bǔ)”政策，某地區(qū)2007年投入教育經(jīng)費(fèi)2500萬元，預(yù)計(jì)2009年投入3600萬元.設(shè)

這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長百分率為X，那么下面列出的方程正確的是()

A.2500x2=3600B.2500(1+x%)2=3600

C.2500(1+x)2=3600D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3600

6.方程9x+18=0的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)三角形的周長為()

A.12B.12或15C.15D.不能確定

7.定義：如果一元二次方程以2+必+。=0(。工0)滿足。+6+，=0,那么我們稱這個(gè)方程為“鳳

凰”方程.已知0?+以+。=0(〃/0)是“鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正

確的是()

A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c

三、解答題

1.解方程：(X—3)2+4X(X—3)=0.2.解方程：X2-2X-3=0

3.解方程：X2-3X-1=0.4.解方程2x2—x—1=0

5.已知2+也是x2—4x+k=0的一根，求另一根和k的值。

6.關(guān)于x的方程依2+伏+2?+&=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（1）求k的取值范圍。

4

（2）是否存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值；若不存在說明理由。

7.m為何值時(shí)，方程2（m+l）x2+4mx+2m—1=0。（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

（3）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（4）無實(shí)數(shù)根。

8.如圖，有一面積是150平方米的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18米），墻對(duì)面有一個(gè)2米

寬的門，另三邊（門除外）用竹籬笆圍成，籬笆總長33米.求雞場的長和寬各多少米？

第二十三章旋轉(zhuǎn)

23.1圖形的旋轉(zhuǎn)

一、學(xué)前準(zhǔn)備

1.如圖，已知AABC和直線L,請你畫出aABC關(guān)于L的對(duì)稱圖形AA，B，C；

B

2.圓是軸對(duì)稱圖形嗎？等腰三角形呢？你還能指出其它的嗎？

二、課堂練習(xí)

1.請同學(xué)們看講臺(tái)上的大時(shí)鐘，有什么在不停地轉(zhuǎn)動(dòng)？旋繞什么點(diǎn)呢？從現(xiàn)在到下課時(shí)鐘轉(zhuǎn)了多

少度？分針轉(zhuǎn)了多少度？秒針轉(zhuǎn)了多少度？

2.如圖，如果把鐘表的指針看做三角形OAB,它繞0點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到aOEF,在這個(gè)旋轉(zhuǎn)

過程中：（1）旋轉(zhuǎn)中心是什么？旋轉(zhuǎn)角是什么？（2）經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B分別移動(dòng)到什么位置？

3.如圖，四邊形ABCD、四邊形EFGI1都是邊長為1的正方形.

(1)這個(gè)圖案可以看做是哪個(gè)“基本圖案”通過旋轉(zhuǎn)得到的？

(2)請畫出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.

(3)指出，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B、C、D分別移到什么位置？

4.兩個(gè)邊長為1的正方形，如圖所示，讓一個(gè)正方形的頂點(diǎn)與另一個(gè)正方形中心重合，不難知道

重合部分的面積為工，現(xiàn)把其中一個(gè)正方形固定不動(dòng)，另一個(gè)正方形繞其中心旋轉(zhuǎn)，問在旋轉(zhuǎn)過程

4

中，兩個(gè)正方形重疊部分面積是否發(fā)生變化？說明理由.

三、課后作業(yè)

1.AABC和4ADE都是等腰直角三角形，NC和/AED都是直角，點(diǎn)C在AD上，如果4ABC

經(jīng)旋轉(zhuǎn)后能與4ADE重合，那么旋轉(zhuǎn)中心是，旋轉(zhuǎn)方向是，旋轉(zhuǎn)度數(shù)

第2題圖

第1題圖

2.如圖，^ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到4A'B'C',請指出：(1)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是,點(diǎn)C的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)是；(2)AB邊的對(duì)應(yīng)邊是,AC邊的對(duì)應(yīng)邊是；(3)

ZABC的對(duì)應(yīng)角是,ZBAC的對(duì)應(yīng)角是；(4)旋轉(zhuǎn)中心是,

旋轉(zhuǎn)的角度是。

3.已知上圖△ABC,(1)畫出①中4ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形；(2)畫出②中4ABC

繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形；

4.如圖，4ABC是NBAC=50"的等腰三角形，D是BC上?點(diǎn)，4ABD經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到達(dá)4ACE

的位置。則旋轉(zhuǎn)中心是;旋轉(zhuǎn)方向是,旋轉(zhuǎn)的角度是。

如果點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，那么經(jīng)過上述旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到________________位置。

第5撅圖第6題圖

5.如圖，作出AABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°的圖形4A'B'C'。

6.如圖，正方形ABCD是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，它的旋轉(zhuǎn)中心是,它旋轉(zhuǎn)

度后能與自身重合。

7.如圖，AACD.ZiAEB都是等腰直角三角形，ZCAD=ZEAB=90°,指出aABD、ZXAEC的關(guān)

系(1)、旋轉(zhuǎn)中心是旋轉(zhuǎn)度數(shù)是_(2)、AB邊的對(duì)應(yīng)邊是

BD邊的對(duì)應(yīng)邊是；(3)、NBAD的對(duì)應(yīng)角是,/ABD的對(duì)應(yīng)角是_—；

笛7S.ffllSl

8.畫出所給圖形繞圓心A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形，并說明該圖形照此旋轉(zhuǎn)次后可以與原圖

形重合。

9.如圖，線段AD和BC相交于點(diǎn)O,且AO=OD,BO=OC,請問圖中aAOB和aCOD能通過

旋轉(zhuǎn)使他們重合嗎？:如果能，指出旋轉(zhuǎn)中心是;旋轉(zhuǎn)角度

是。如果不能請說明理由。

23.2.1-23.2.2中心對(duì)稱以及中心對(duì)稱圖形

一、學(xué)前準(zhǔn)備

1.什么是軸對(duì)稱？什么是軸對(duì)稱圖形？

2.(1)作出如圖的兩個(gè)圖形繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180。的圖案；(2)將四邊形ABCD繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。。

二、課堂練習(xí)

1.作出四邊形ABCD關(guān)于0點(diǎn)成中心對(duì)稱的四邊形A‘B'C'D'。

2.欣賞圖片：后兩個(gè)圖有?個(gè)共同的特點(diǎn)與第一個(gè)圖不同，是什么？

①②③④

總結(jié)：什么是中心對(duì)稱圖形？請你寫出3個(gè)熟悉的圖形。

3.兩圖形成中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形有什么區(qū)別？

三、課后作業(yè)：

1.下面圖形中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.直角B.等邊三角形C.直角梯形D.兩條相交直線

2.下列命題中真命題是（）

A.兩個(gè)等腰三角形一定全等

B.正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)隨邊數(shù)增多而減少

C.菱形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形

D.兩直線平行，同旁內(nèi)角相等

3.將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖的所示的圖形，已知NCED'=60°,則NAED的大小是（）

A.60°B.50°C.75°D.55°

4.下列圖案中既是中心對(duì)■稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的是（)AB

￡

A.D

5.下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形而不是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

6.下列圖形中，繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。能與自身重合的有（）

①正方?形②長方形③等邊三角形④線段⑤角

A、5個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

7.下列圖形中，中心對(duì)稱圖形有（）.

D.4個(gè)

8.作一直線，將下圖分成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡）.

9.觀察“一、羊、口、王、田、旦”這6個(gè)漢字，它們都是圖形，其中

字可看成中心對(duì)稱圖形.

10.下圖是幾種名車標(biāo)志，其中是軸對(duì)稱圖形的有（填序號(hào)），是中心對(duì)稱圖

形的有（填序號(hào)）.

?

奧迪本田大眾鈴木歐寶

（1）（2）（3）（4）（5）

11.在線段、角、平行四邊形、長方形、等腰梯形、圓、等邊三角形中，是中心對(duì)稱圖形的是

,一定是軸對(duì)稱圖形的有,既是中心對(duì)稱圖形

又是軸對(duì)稱圖形的是.

12.解答題：如圖所示，畫出兩個(gè)半圓關(guān)于點(diǎn)B成

中心對(duì)稱的圖形.

B

23.2.3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

一、學(xué)前準(zhǔn)備：

1.怎樣的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)？

2.中心對(duì)稱ij中心對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系是什么？

3.點(diǎn)P(5,3)與關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P(5,3)與關(guān)于y軸對(duì)稱。

4.關(guān)于x軸對(duì)稱、關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？

二、課堂練習(xí)

1.學(xué)習(xí)課本P.探究，思考：

兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，他們的坐標(biāo)符號(hào),即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)

為。

2.(1)點(diǎn)A(2,-6)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為,關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

為，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為,

(2)已知P(a,-2)和Q(3,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，貝Ua=,b=。

3.學(xué)習(xí)課本P"例2,提示：先描出各頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)后，再順次連接。

(1)作出與AABC關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形。

(2)作出與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形。

(3)作出將aABC沿x軸向右平移3個(gè)單位后的圖形。

4.已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系上三頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(-2,3),B(-1,1),C(-3,2),△ABC

與aABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則Ai(),B,(),C,().

三、課后作業(yè)

1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(8,-6)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是。

2.若點(diǎn)P(x,-3)與點(diǎn)Q(4,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則x+y等于。

3.已知點(diǎn)A(2,2),如果點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是B,B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C,那么C點(diǎn)的坐

標(biāo)是o

4.如果點(diǎn)M(1-x,1-y)在第二象限，那么點(diǎn)N(1-x,y-1)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在第一

象限.

5點(diǎn)A（x+3,2y-l）與點(diǎn)B（y-5,x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)A坐標(biāo)是。

6直線y=x+3有一點(diǎn)P，則P點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是。

7平面直角坐標(biāo)系內(nèi)某圖形上各個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘T,所得圖形與原圖形的關(guān)系是（）

A.關(guān)于x軸對(duì)稱B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.位置不變

8.如圖，畫出aABC關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱圖形AA'B'C',并求出4A'B'C'的面積.

第23章旋轉(zhuǎn)能力測試題

一、選擇題：

下列美麗的圖案，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是（）.

1X.K

A.1個(gè)B.2個(gè)。C.3個(gè)D.4。個(gè)

2.下列圖形中是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.圓B.正方形C.等邊三角形D.