華師版七年級(jí)數(shù)學(xué)下期期末復(fù)習(xí)提綱、教案

七年級(jí)數(shù)學(xué)下期期末復(fù)習(xí)提綱

第六章一元一次方程

一、基本概念

(一)方程的變形法則

法則1:方程兩邊都或同一個(gè)數(shù)或同一個(gè),方程的解不變。

例如：在方程7-3x=4左右兩邊都減去7,得到新方程：-3x+3=4-70

在方程6x=-2x-6左右兩邊都加上4x,得到新方程：8x=-6。

移項(xiàng)：將方程中的某些項(xiàng)改變符號(hào)后，從方程的一邊移動(dòng)到另一邊，這樣的變形叫

做移項(xiàng)，注意移項(xiàng)要變號(hào)。

例如：(1)將方程x-5=7移項(xiàng)得：x=7+5即x=12

(2)將方程4x=3x—4移項(xiàng)得：4x—3x=-4即x=-4

法則2方程兩邊都除以或同一個(gè)的數(shù)，方程的解不變。

2

例如：(1)將方程-5x=2兩邊都除以-5得：x=-1

(2)將方程7x=-兩邊都乘以上得：x=-

2339

這里的變形通常稱為“將未知數(shù)的系數(shù)化為1”。

注意：

(1)如遇未知數(shù)的系數(shù)為整數(shù)，“系數(shù)化為1”時(shí)，就要除以這個(gè)整數(shù)：如遇到未

知數(shù)的系數(shù)為分?jǐn)?shù)，“系數(shù)化為1”時(shí)，就要乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。

(2)不論上一乘以或除以數(shù)時(shí)，都要注意結(jié)果的符號(hào)。

方程的解的概念：能夠使方程左右兩邊都相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。

求不方程的解的過程，叫做解方程。

(二)一元一次方程的概念及其解法

1.定義：只含有一個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)的式子都是,未知數(shù)的次數(shù)

麥,這樣的方程叫做一元一次方程。

例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。

1

而這些方程5x2—3x+1=0、2x+y=|-3y、=5就不是一元一次方程。

-X-I

2.一元一次方程的一般式為：ax+b=O（其中a、b為常數(shù)，且a/0）

一元一次方程的一般式為：ax=b（其中a、b為常數(shù)，且aWO）

3.解一元一次方程的一般步驟

步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，未知數(shù)的系數(shù)化為1。

注意：（1）方程中有多重括號(hào)時(shí)，一般應(yīng)按先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括

號(hào)的方法去括號(hào)，每去一層括號(hào)合并同類項(xiàng)一次，以簡(jiǎn)便運(yùn)算。

（2）“去分母”指去掉方程兩邊各項(xiàng)系數(shù)的分母；去分母時(shí)，要求各分母的最小公

倍數(shù)，去掉分母后，注意添括號(hào)。去分母時(shí)，不要忘記不等式兩邊的每一項(xiàng)都乘以

最小公倍數(shù)（即公分母）

（三）一元一次方程的應(yīng)用

1.純數(shù)學(xué)上的應(yīng)用：（1）一元一次方程定義的應(yīng)用；（2）方程解的概念的應(yīng)用；（3）

代數(shù)中的應(yīng)用；（4）公式變形等。

2.實(shí)際生活上的應(yīng)用：（1）調(diào)配問題；（2）行程問題；（3）工程問題；（4）利息問

題；（5）面積問題等。

3.探索性應(yīng)用：這類問題與上面的幾類問題有聯(lián)系，但也有區(qū)別，有時(shí)是一種沒有

結(jié)論的問題，需栗你給出結(jié)論并解答。

二、練習(xí)

1.下列各式哪些是一元一次方程。

小x-人,小2x+3x-1

（1）一+1=3x—4（2）----=----⑶——x=o

252

（4）--2x=0（5）3x-y=I十2y

X

(⑴、(2)、(3)都是一元一次方程，⑷、(5)不是一元一次方程)

2.解下列方程。

(1)-(x-3)=2--(x-3)

22

⑵—[―(―x—3)——]=1—x

45225

注意認(rèn)真審題，方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。選用簡(jiǎn)便方法。

第⑴小題，可以先去括號(hào)，也可以先去分母，還可以把X-3看成一個(gè)整體，

解關(guān)于x-3的方程。

1313

方法一：去括號(hào)，得一x——-2——x+—

2222

I|33

移項(xiàng)，得-x+-x=2+-+-

2222

合并同類項(xiàng)，得x=5

方法二：去分母，得x-3=4一x+3

(強(qiáng)調(diào)等號(hào)右邊的“2”也要乘以2,而且不要弄錯(cuò)符號(hào))

移項(xiàng)，得x+x=4+3+3

合并同類項(xiàng)，得2x=10

系數(shù)化為1,得x=5

方法三：移項(xiàng)-(x-3)+-(x—3)=2

22

即x-3=2

x=5

第(2)小題有雙重括號(hào)，一般情況是先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，但本題結(jié)構(gòu)特殊，

應(yīng)先去中括號(hào)簡(jiǎn)便，注意去中括號(hào)時(shí)，要把小括號(hào)看作一個(gè)整體，中括號(hào)里先看成2

項(xiàng)。

解：去中括號(hào)，得dx—3)-2x'=1-X

2425

即一x-3一一=1-x

25

移項(xiàng)，得-x+x=1+3+-

321

合并同類項(xiàng)，得

25

14

系數(shù)化為1,得x=]

也可以讓學(xué)生先去小括號(hào)，讓他們對(duì)兩種解法進(jìn)行比較。

3.解方程。

x5x+ll,2%-4

0.330.02

解：(1)去分母，得3x-(5x+11)=6+2(2x-4)

去括號(hào)，得31—5x—11=6+4x—8

移項(xiàng)，得3x—5x—4x=6—8十11

合并同類項(xiàng)，得—6x=9

3

系數(shù)化為I,得x=--

2

點(diǎn)撥：去分母時(shí)注意事項(xiàng)，右邊的“1”別忘了乘以6,分?jǐn)?shù)線有兩層含義，去

掉分?jǐn)?shù)線時(shí)，要添上括號(hào)。

(2)先利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將分母化為整數(shù)。

10-5x

原方程化為

去分母，得2(10—5x)—4x=90x+6

去括號(hào)，得20-IOx-4x=90x+6

移項(xiàng)，得一IOx—4x-90x=6—20

合并同類項(xiàng)，得一104x=-14

7

系數(shù)化為1,得x=—

52

點(diǎn)撥：“將分母化為整數(shù)”與“去分母”的區(qū)別。本題去分母之前，也可以先將方

程右邊的3302r約分后再去分母。

2

4.解方程。

⑴I5x-2|=3

分析：（1）把5x-2看作一個(gè)數(shù)a,那么方程可看作Ia|=3,根據(jù)絕對(duì)值的意義

得a=3或a=-3

（2）把L1-上2r看作一個(gè)數(shù)，或把IL1-T2xI化成IL1-三2x|

333

解：（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義，原方程化為：

5x-2=3或5x-2=-3

解方程5x—2=3得x=l

解方程5x—2=-3得x=一1

所以原方程解為：X=1或X=—L

5

（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義，原方程可化為

1—2x.v1-2x.

=1或=—1

3---------3

解方程L1_三?r口得x二一1

3

1-2x

解方程L三=-1得x=2

3

所以原方程的解為x=-1或x=2

5.已知，|a—3|+(b十I)?=o,代數(shù)式"一"+的值比—a十m多

22

1,求m的值。

9

解：因?yàn)镮a-3|(b+1)20

9

又la-3|+(b十1)=0

AIa-3|=0且(b+1)2=0

：.a-3=0b十l=0

即a=3b=—1

把a(bǔ)=3,b=-1分別代人代數(shù)式2b-a+mlb-a+m

22

p2(—1)—3+根_根—5

得-----------------

22

—X(-1)-3+m--3—+m

22

根據(jù)題意，得二二0一(一3,十m)=l

22

去括號(hào)得—~~-+3—-m=1

22

m=0

6.m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程4x—2m=3x+1的解是x=2x—3m的2倍。

解：關(guān)于；的方程4x—2m=3x+1,得x=2m+1

解關(guān)于x的方程x=2x—3m得x=3m

???根據(jù)題意，得2m+l=2X3m

解之，得m=-

4

7.為了準(zhǔn)備小勇6年后上大學(xué)的學(xué)費(fèi)5000元，他的父母現(xiàn)在就參加了教育儲(chǔ)蓄，

下面有兩種儲(chǔ)蓄方式。

(1)直接存一個(gè)6年期，年利率是2.88%;

(2)先存一個(gè)3年期的，3年后將本利和自動(dòng)轉(zhuǎn)存一個(gè)3年期。3年期的年利率

是2.7%。

你認(rèn)為哪種儲(chǔ)蓄方式開始存入的本金比較少？

分析：栗解決“哪種儲(chǔ)蓄方式開始存入的本金較少”，只要分別求出這兩種儲(chǔ)蓄

方式開始存入多少元，然后再比較。

設(shè)開始存入x元。.

如果按照第一種儲(chǔ)蓄方式，那么列方程：

xX(1十2.88%X6)=5000

解得xg4263(元)

如果按照第二種蓄儲(chǔ)方式，

可鼓勵(lì)學(xué)生自己填上表，適當(dāng)時(shí)對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)，對(duì)有困難的學(xué)生復(fù)習(xí)：本利

和=本金十利息

利息：本金X利率X期數(shù)

等量關(guān)系是：第二個(gè)3午后本利和=5000

所以列方程1.081x?(1十2.7%*3)=5000

解得x\4279

這就是說，大約4280元，3年期滿后將本利和再存一個(gè)3年期，6年后本利和

達(dá)至45000元。

因此第一種儲(chǔ)蓄方式＜即直接存一個(gè)6年期)開始存入的本金少。

8.解答下列各問題：

(1)據(jù)《北京日?qǐng)?bào)》2000年5月16日?qǐng)?bào)道：北京市人均水資源占有300立方米，

僅是全國人均占有量的世界人均占有量的問全國人均水資源占有量是多少

832

立方米？世界人均水資源占有量是多少立方米？

(2)北京市一年漏掉的水相當(dāng)于新建一個(gè)自來水廠，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，全市至少有

6X10$個(gè)水龍頭，2X10$個(gè)抽水馬桶漏水，如果一個(gè)關(guān)不緊的水龍頭，一個(gè)月能漏掉

a立方米水，一個(gè)漏水馬桶，一個(gè)月漏掉b立方米水，那么一個(gè)月造成的水流失量

至少有多少立方米？(用含a、b的代數(shù)式表示)

(3)水源透支令人擔(dān)憂，節(jié)約用水迫在眉睫，針對(duì)居民用水浪費(fèi)現(xiàn)象，北京市將

制定居民用水標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定三口之家樓房每月標(biāo)準(zhǔn)用水量，超標(biāo)部分加價(jià)收費(fèi)，假設(shè)

不超標(biāo)部分每立方米水費(fèi)1.3元，超標(biāo)部分每立方米水費(fèi)2.9元，某住樓房的三口

之家某月用水12立方米，交水費(fèi)22元，請(qǐng)你通過列方程求出北京市規(guī)定三口之家

樓房每月標(biāo)準(zhǔn)用水量是多少立方米？

10.爸爸為小明存了一個(gè)3年期的教育儲(chǔ)蓄(3年期的年利率為2.7%),3年后

能取5405元，他開始存入了多少元？

11.一收割機(jī)收割一塊麥田，上午收了麥田的25%,下午收割了剩下麥田的20%,

結(jié)果還剩6公頃麥田未收割，這塊麥田一共有多少公頃？

12.兒子今年13歲，父親今年40歲，父親的年齡可能是兒子年齡的4倍嗎？

第七章一次方程組

一、基本概念

(一)二元一次方程組的有關(guān)概念

1.二元一次方程的定義：都含有個(gè)未知數(shù)，并且的次數(shù)都是1,像這

樣的整式方程，叫做二元一次方程。

一般形式為：ax+by=c(a、b、c為常數(shù)，且a、b均不為0)

結(jié)合一元一次方程，二元一次方程對(duì)“元”和“次”作進(jìn)一步的理解；“元”與

“未知數(shù)”相通，幾個(gè)元是指幾個(gè)未知數(shù)，“次”指未知數(shù)的最高次數(shù)。

例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7bx2m+3nz:0>1-s+t=2s等都是二元一次方程。

2

而6xJ-2y-6、4x+8y=-6z、一二n等都不是二元一次方程。

m

2.二元一次方程組的定義：把兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次

方程組。

2x—3y=57a+3b=—3m+n=2C—f—o

例如：1■等都是二元一次方程

x+y=a—2b=\m-n—3s+/=—11

組。

《+〃=2等都不是二元一次方程組。

2x—3y=57Q+3a=-3

而<

x+z=-8a-2a=lm-n=\

2x=5

注意:(1)只要兩個(gè)方程一共含有兩個(gè)未知數(shù)，也是二元一次方程組。如：,

y=-8

$-2

'一也是二元一次方程組。

r=-l1

3.二元一次方程和二元一次方程組的解

(1)二元一次方程的解：能夠使二元一次方程的左右兩邊都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，

叫做二元一次方程的解。

(2)二元一次方程組的解：使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩

個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。(即是兩個(gè)方程的公共解)

注意：寫二元一次方程或二元一次方程組的解時(shí)要用“聯(lián)立”符號(hào)”把方程中

兩個(gè)未知數(shù)的值連接起來寫。

二元方程解的寫法的標(biāo)準(zhǔn)形式是：一,（其中a、b為常數(shù)）

y=b

（二）二元一次方程組的解法

1.解二元一次方程組的基本思想：“消元”，化二元一次方程組為一元一次方程來解。

2.二元一次方程組的基本解法

（1）代入消元法（代入法）

定義：通過“代人”消去一個(gè)未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解的這

種解法叫做代人消元法，簡(jiǎn)稱代入法。

步驟：①選取一個(gè)方程，將它寫成用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)，記作方程

③。

②把③代人另一個(gè)方程，得一元一次方程。

③解這個(gè)一元一次方程，得一個(gè)未知數(shù)的值。

④把這個(gè)未知數(shù)的值代人③，求出另一個(gè)未知數(shù)值，從而得到方程組的

解。

（2）加減消元法（加減法）

定義：通過將兩個(gè)方程相加（或相減），消去一個(gè)未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元

一次方程來解，這種解法叫加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。

步歌：①把兩個(gè)方程同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)乘以適當(dāng)?shù)谋稊?shù)，使得這兩個(gè)未知數(shù)

的絕對(duì)值相同。

②把未知數(shù)的絕對(duì)值相同的兩個(gè)方程相加或相減，得一元一次方程。

③解這個(gè)一元一次方程，得一個(gè)未知數(shù)的值。

④把這個(gè)未知數(shù)的值代人原方程組中系數(shù)叫簡(jiǎn)單的一個(gè)方程，求出另一

個(gè)未知數(shù)值，從而得到方程組的解。

注意：正確選用兩種基本解二元一次方程組

（1）若二元一次方程組中有一個(gè)未知數(shù)系數(shù)的絕對(duì)值為1,適宜用“代入法”。

（2）用加減法解二元一次方程組，兩方程中若有一個(gè)未知數(shù)系數(shù)的絕對(duì)值相等，

可直接加減消元；若同一未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值不等，則應(yīng)選一個(gè)或兩個(gè)方程變形，

使一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等，然后再直接用加減法求解；若方程組比較復(fù)雜，

應(yīng)先化簡(jiǎn)整理。

（三）二元一次方程組的應(yīng)用

1.純數(shù)學(xué)上的應(yīng)用：（1）二元一次方程定義的應(yīng)用；（2）方程解的概念的應(yīng)用；（3）

代數(shù)中的應(yīng)用；（4）公式變形等。

2,實(shí)際生活上的應(yīng)用：（1）調(diào)配問題；（2）行程問題；（3）工程問題；（4）利息問

題；（5）面積問題等。

3.探索性應(yīng)用：這類問題與上面的幾類問題有聯(lián)系，但也有區(qū)別，有時(shí)是一種沒有

結(jié)論的問題，需要你給出結(jié)論并解答。

注意事項(xiàng)：

（1）在實(shí)際問題中，常會(huì)遇到有多個(gè)未知量的問題，和一元一次方程一樣，二元

一次方程組也是反映現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量之間相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型之一，要學(xué)會(huì)將實(shí)際問

題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，從而解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

（2）二元一次方程組的解法很多，但它的基本思想都是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元一

次方程來解的，最常見的消元方法有代人法和加減法。一個(gè)方程組用什么方程來逐

步消元，轉(zhuǎn)化應(yīng)根據(jù)它的特點(diǎn)靈活選定。

（3）通過列方程組來解某些實(shí)際問題，應(yīng)注意檢驗(yàn)和正確作答，檢驗(yàn)不僅要檢查

求得的解是否適合方程組的每一個(gè)方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合實(shí)

際問題的要求。

二、練習(xí)

1.求二元一次方程3x+y=10的正整數(shù)解。

分析：求二元一次方程的解的方法是用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)，如y=

10-3x,給定x一個(gè)值，求出y的一個(gè)對(duì)應(yīng)值，就可得到二元一次方程的一個(gè)解，而

此題是對(duì)未知數(shù)x、y作了限制必須是正整數(shù)，也就是說對(duì)于給定的x可能是1、2、

3、4…但是當(dāng)x=4時(shí)，y=10-3X4=-2,y卻不是正整數(shù)，因此x只能取正整數(shù)的

一部分，即x=1,x=2,x=3。

2.已知{x=1{2xn—m=5

y=2是方程組mx—ny=5的解，求m和n的值。

分析：因?yàn)?，x=1,y=2是方程組的解。

根據(jù)方程組解的定義和x=1,y=2既滿足方程①又滿足方程②于是有：

{2n-2m=5③

m+2n=3④

解這個(gè)方程組即可。

3.A、B兩地相距150千米，甲、乙兩車分別從A、月兩地同時(shí)出發(fā)，同向而行，甲

車3小時(shí)可追上乙車；相向而行，兩車1.5小時(shí)相遇，求甲、乙兩車的速度。

分析：這里有兩個(gè)未知數(shù)：甲、乙兩車的速度；有兩個(gè)相等關(guān)系：

(1)同向而行：甲3小時(shí)的行程=乙3小時(shí)行程十150千米

(2)相向而行：甲1.5小時(shí)行程+乙1.5小時(shí)行程=150千米

解設(shè)甲車的速度為x千米/時(shí)，乙車的速度為y千米/時(shí)。

根據(jù)題意，得

r3x-3y+150

I1.5x+1.5y=150

解這個(gè)方程組即可。

4.一個(gè)三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字之和為13,十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大2,如

果把百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，那么所得新數(shù)比原來的三位數(shù)大99,求這

個(gè)三位數(shù)。

分析：怎樣設(shè)未知數(shù)？直接設(shè)可以嗎？

這里有三個(gè)未知數(shù)——個(gè)位上的數(shù)字，百位上的數(shù)字及十位上數(shù)字，若用二元

一次方程組求解，該怎樣設(shè)未知數(shù)？

由“十位上數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大2”，可設(shè)原三位數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字為x,則

十位上數(shù)字為x+2,另設(shè)百位上數(shù)字為y.

如何表示原三位數(shù)和新三位數(shù)？

100y+10(x+2)+x,IOOx+IO(x+2)+y

2個(gè)等量關(guān)系是什么？

(1)百位上數(shù)字十十位上數(shù)字十個(gè)位上數(shù)字=13

(2)新三位數(shù)一原三位數(shù)二99

根據(jù)題意，得

rx+(x+2)+y=13

I[100x+10(x+2)+y]-[100y+10(x+2)+x]=99

解這個(gè)方程組即可。

5.某旅行團(tuán)從甲地到乙地游覽。甲、乙兩地相距100公里，團(tuán)中的一部分人乘車先

行，余下的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分

人，已知步行時(shí)速是8公里，汽車時(shí)速是40公里，問要使大家在下午4:00同時(shí)到

達(dá)乙地，必須在什么時(shí)候出發(fā)？

分析：這個(gè)問題實(shí)質(zhì)上求的是如果按題設(shè)的行走方式，至少需栗多少個(gè)小時(shí)？

本題比較復(fù)雜，引導(dǎo)學(xué)生用線段圖幫助分析。

ADyBC

甲上車點(diǎn)下車點(diǎn)乙

(1)汽車從ATBTD所需的時(shí)間與先步行的一部分人從A到D所需的時(shí)間相等。

⑵汽車從B—DTC所需的時(shí)間與后步行的一部分人從B到C所需栗的時(shí)間相等。

因此可設(shè)先坐車的一部人下車地點(diǎn)距甲地X公里，這一部分人下車地點(diǎn)距另一

部分人的上車地點(diǎn)相距y公里，如圖所示。

由以上兩個(gè)等量關(guān)系，得：

x+yx-y2y+100_x100-x

40-8408

解方程組即可得到方程組的解。

例2:方程組「ax+by=62的解應(yīng)為pX=8

1mx-20y=-2241y=10

y=1

但是由于看錯(cuò)了系數(shù)m,而得到的解為1,求a+b+m的值;

y=i

第8章一元一次不等式

一、基本概念

（一）不等式的有關(guān)概念和性質(zhì)

1.不等式的定義：用表示不等關(guān)系的式子叫做不等式。

常見不等號(hào)：>、<、>、W、手。

注：不僅表示左右兩邊不等關(guān)系，還明確表示左右兩邊的大??；“W”、

也表示不等，前者表示“不大于”（小于或等于），后者表示“不小于”（大于

或等于），_“手”表示左右兩邊不相等

例如：方程7y-3x>4、-3a+3W4-7a、2m+3n/0等都是不等式。

而-2y-6、4x+8y=-6z等都不是不等式。

2.不等式解的定義：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

例如：不等式120<5x中x=25,26,27,…等都是120<5x的解，而x=24,23,

22,21則都不是不等式的解。

3.不等式的解集

（1）定義：一個(gè)不等式的所有解，組成這個(gè)不等式解的集合，簡(jiǎn)稱為這個(gè)不等式的

解集。

（2）求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

（3）在數(shù)軸上表示不等式的解集：

沒有等號(hào)畫空心圓圈，有等號(hào)畫實(shí)心圓點(diǎn)?！按笥凇毕蛴耶?，“小于”向左畫。

4.不等式的基本性質(zhì)

不等式的基本性1:不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方

向O

即：如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c；

如果aVb,那么a+cVb+c,a-cVb-c.

不等式的基本性2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè),不等號(hào)的方向不變。

即：如果aVb,c>0,那么acVbc,a/c<b/c

不等式的基本性3:不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的o

即：如果a>b,c<0,那么acVbc,a/c<b/c

（二）解一元一次不等式

1.一元一次不等式的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子是整式，未知數(shù)

的次數(shù)是1,像這樣的不等式叫做一元一次不番式。

例如：方程7-3x>4、6xW-2x-6、3*手-2*+150都是一■元一'次不等式。

1

而這些方程5x?-3X+120、2x+yV|-3y、—=#5就不是一元一次不等式。

X-1

2.一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步驟

步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，未知數(shù)的系數(shù)化為1。

注意：Q）不等式中有多重括號(hào)時(shí)，一般應(yīng)按先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大

括號(hào)的方法去括號(hào)，每去一層括號(hào)合并同類項(xiàng)一次，以簡(jiǎn)便運(yùn)算。

（2）“去分母”指去掉不等式兩邊各項(xiàng)系數(shù)的分母；去分母時(shí)，栗求各分母的最小

公倍數(shù)，去掉分母后，注意添括號(hào)。去分母時(shí)，不要忘記不等式兩邊的每一項(xiàng)都乘

以最小公倍數(shù)（即公分母）。

不等式的解法與解一元一次方程類似，完全可以把解一元一次方程的思想照搬過來。

（三）一元一次不等式組

1.一元一次不等式組的定義：幾個(gè)一元一次不等式合起來就組成一元一次不等式組

與二元一次方程組不同的是，這里的“幾個(gè)”可以兩個(gè)，也可以三個(gè)，或更多個(gè)。

2.一元一次不等式組的解集：不等式組中幾個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)

不等式組的解集。

3.一元一次不等式組的解集的確定規(guī)律

同“大”取大，同"小”取小，“大”小“小”大中間找，“大”大“小”小無解了

4.一元一次不等式組的解法

求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

一般步驟：

（1）分別解不等式組中的每個(gè)不等式；

（2）把每個(gè)不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來；

（3）找出各個(gè)不等式解集的公共部分；

（4）再結(jié)合不等式組解集的確定規(guī)律，寫出不等式組的解集。

（四）一元一次不等式（組）的應(yīng)用

1.純數(shù)學(xué)上的應(yīng)用：（1）一元一次不等式定義的應(yīng)用；（2）不等式解集的概念的應(yīng)

用；（3）代數(shù)中的應(yīng)用；

2.實(shí)際生活上的應(yīng)用：（1）調(diào)配問題；（2）行程問題；（3）工程問題；（4）利息問

題；（5）決策問題等。

3.探索性應(yīng)用：這類問題與上面的幾類問題有聯(lián)系，但也有區(qū)別，有時(shí)是一種沒有

結(jié)論的問題，需要你給出結(jié)論并解答。

二、練習(xí)

（-）選擇題:

1、若a>b則（）2、D

ab

A、a—2<b-2B、2a<2bC、~2>~2D、a+5>b+5

2、不等式,x>—3的解集是（）3、A

2

33

A、x>—6B、x>--C、x<--D、x<—6

22

3、下列結(jié)論中，正確的是（）4、A

A、Ux〈O的解集是x<0B、-2>2的解集是x<-a

432

x

C、3x<—5的解集是x>-2D、的解集是x^O

3

4、若代數(shù)式3x+4的值不大于0,則x的取值范圍是（）6、B

4444

A、x<—B、xK—C、x<—D、xN—

3333

r2x>5

5、不等幺［一x2一4的整數(shù)解是（）7、C

A、—4B、2、3、4C、3、4D、4

6、如果不等式（a-1）x>（a-1）的解集是x〈1那么a的取值范圍是（)9、

C

A、aW1B、a>1C、a<1D、a<0

（二）填空題:

1、用不等表示：x的3倍大于511、3x>5

2、不等式2x—1>0的解集是12、x>1/2；不等式一2x<10的解

集是x>-5o

3、x—1<2的正整數(shù)解是13、1,2o

4、在一2(x+2)<2的兩邊都除以14、-2時(shí)，x+1>-1的依據(jù)是不

等性質(zhì)3o

5、由x〈y得到，ax>ay,a應(yīng)滿足的條件是15、a<0□

(三)解答題

1、解不等式并把它的解集在數(shù)軸上表示出來5x-1>8x+3.

1、解：5x-1>8x+3.5x-8x>1+3-3x>4x<-4/3

2、已知y=5—3x試求：當(dāng)x取何值時(shí)，y>Oo

2、解：y>0,即5-3x>0-3x>-5x<5/3

3、解不等式士1—日出>—2

32

3、解：2(x-1)-3(x+4)>-122x-2-3x-12>-12-x>2x<-2

4、5x+4<3(x+1)

x+12x-l

5

4、解：不等式①5x+4<3x+32x<-1x<--

2

?7

不等式②5x+52x-24x^-7x^--

4

71

不等式組的解集為：-L〈x<-L(數(shù)軸略)

42

5、fx+2>0

]x-3>0

x—6W0

5解：不等式①x>-2

不等式②x>3

不等式③xW6

，不等式組的解集為3<xW6

（五）應(yīng)用題

1、如果關(guān)于x的不等式-女-X+6A0正整數(shù)解為1,2,3,正整數(shù)上應(yīng)取怎樣的值？

2、某旅游團(tuán)有48人到某賓館住宿，若全安排住賓館的底層，每間住4人，房間不夠;

每間住5人，有一個(gè)房間沒有住滿5人.問該賓館底層有客房多少間？

2、設(shè)該賓館有x間宿舍；9.6YXY12則x取10或11.

第九章多邊形

一、基本概念

（一）三角形有關(guān)概念

1.三角形定義：三角形是由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面

圖形，這三條線段就是三角形的邊。

三角形專用符號(hào)：A（頂點(diǎn)）

2.三角形的頂點(diǎn)、邊

組成三角形的線段如圖中的AB、BC、AC是這個(gè)三角形的三成，

兩邊的公共點(diǎn)叫三角形的麗點(diǎn)。（如點(diǎn)A等）三角形頂點(diǎn)只能用大寫字

母表示，整個(gè)三角形表示為△ABC。

3.三角形的內(nèi)角，外角的概念：

（1）內(nèi)角：每?jī)蓷l邊所組成的角叫做三角形的為南，如NBAC等。每個(gè)三角形有三

個(gè)內(nèi)角,

（2）外角：三角形中內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角

叫做三角形的外角，如下圖中NACD是NABC的一個(gè)外角，

它與內(nèi)角NACB相鄰。外南

例如右圖中ZACD是NABC的一個(gè)外角，它與內(nèi)角ZACB相鄰。

與aABC的內(nèi)角NACB相鄰的外角有幾個(gè)？它們之間有什么關(guān)系？

一個(gè)三角形共有幾個(gè)外角？

4.三角形的分類

‘銳角三角形（三個(gè)角齷銳角）

（1）三角形按角分類可分為：〈直角三角形（有一個(gè)角是直角）

鈍角三角形（有一個(gè)角是鈍角）

各類三角形的定義

銳角三角形：所有內(nèi)角都是銳角的三角形叫銳角三角形；

直角三角形：有一■個(gè)內(nèi)角是直角的三角形叫直角三角形；

鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角是鈍角的三角形叫鈍角三角形。

‘不等邊三角形（三條潴E不相等）（又稱斜鳥形）

（2）三角形按邊分類可分為：等腰二角形［腰和底不相等的等腰各形（只兩邊等）

，腰和底相等的等腰三觸（等邊三角形）

各類三角形的定義

不等邊三角形：三邊互不相等的三角形叫做不等邊三角形；

等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形。相等的兩邊叫做等腰三角形的

腰。

等邊三角形；三條邊都相等的三角形叫等邊三角形（或正三角形）。

5.三角形的中線、角平分線、高（記住這重要的三線）

三角形的中線：三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊聲點(diǎn)的連線叫三角形的中線。

三角形的角平分線：三角形內(nèi)角的平分線當(dāng)對(duì)邊的交蕉和這個(gè)內(nèi)角頂點(diǎn)之間的線段

叫三角形的角平分線。

三角形的高：過三角形頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，垂上與幻點(diǎn)間的線度叫三角形的高。

注意：

(1)一個(gè)三角形中三條中線(高、南平分線)之間的位置關(guān)系怎樣？

［三條中線交于一點(diǎn)，三條角平分線交于一點(diǎn)，三條高所在的直線交于一點(diǎn)］

⑵一個(gè)三角形的三條中線(角平分線)的交點(diǎn)與三角形有怎樣的位置關(guān)系？

［三條中線(角平分線)相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)在三角形內(nèi)部］

⑶直角三角形的三條高，它們有怎樣的位置關(guān)系？鈍角三角形呢？

［直角三角形有一條高在三角形內(nèi)部，另外兩條就是直角三角形的兩條直角邊，三條

高的交點(diǎn)就是直角三角形的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形有一條高在形內(nèi)，兩條高在形外，

三條高所在的直線的交點(diǎn)在形外。］

(4)以上三線都是線段。

(二)三角形外角的性質(zhì)以及其外角的和

1.三角形外角的性質(zhì):

(1)三角形的一個(gè)外角茅于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；

(2)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。A

如圖：D是aABC邊BC上一點(diǎn)，則有NADC=NDAB+NABD;/

ZADOZDAB,ZADOZABDB/D

問：ZADB=Z()+N()

2.三角形外角的和。

三角形的外角與和它相鄰內(nèi)角有什么關(guān)系？(互補(bǔ))

(1)三角形外角和的定義：與三角形的每個(gè)內(nèi)角相鄰的外角分別有兩個(gè)，這兩個(gè)外

角是對(duì)頂角，從與每個(gè)內(nèi)角相等的兩個(gè)外角中分別取一個(gè)相加，得到的和稱為三角

形的外角和。

(2)三角形外角和定理：三角形的外角和是360°

(三)三角形的三邊關(guān)系

1.三角形三邊不等關(guān)系定理：三角形的任何兩邊的和大于第三邊。

三角形的任何兩邊的差小于第三邊。

即三角形第三邊的取值范圍是：

|任何兩邊的差|V第三邊V任何兩邊的和

以上定理主要用語判斷給出一定長度的線段能否構(gòu)成三角形和求第三邊的取值范

圍。

2.三角形具有穩(wěn)定性

這就是說三南形的三條邊固定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了。三角

形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。四邊形就不具有這個(gè)性質(zhì)。

(四)多邊形的內(nèi)角和與外角和

1.多邊形及其相關(guān)概念

定義：由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，記為n邊

形，又稱多邊形。

一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角，有2n個(gè)外角。

如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，則稱為正多邊形，如正三角形、

正四邊形(正方形)、正五邊形等等。

對(duì)角線：連結(jié)多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線。

從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線，可以弓|(n-3)條，這(n-3)條對(duì)角線把n邊形分

成(n-2)個(gè)三角形。

從n邊形的所有頂點(diǎn)引對(duì)角線的總條數(shù)為：迎二2條。

2

2.多邊形的內(nèi)角和公式

n邊形的內(nèi)角和=(n-2),180°

3.多邊形的外角和。

(1)多邊形的外角和定義：從與每個(gè)內(nèi)前相鄰的兩個(gè)外角中分別用一個(gè)裾加，得到

的和稱為多邊形的外角和。

(2)多邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360°o

多邊形的外角和與多邊形的邊數(shù)無關(guān)。

(五)用正多邊形拼地板

1.用相同的正多邊形拼地板：能拼成既不留空腐，又不重疊的平面圖形的關(guān)鍵是圍

繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角相加恰好等于360°o

在正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形中能夠拼出完整地面是

(n—2)?180°

這就是說，當(dāng)(360°4------------------------)為正整數(shù)時(shí)

n

2n

即一彳為正整數(shù)時(shí)，用這樣的正n邊形就可以鋪滿地面。

n-z

設(shè)正多邊形的個(gè)數(shù)為n,每個(gè)內(nèi)角為a,則要鋪滿地面，它們滿足下列關(guān)系：a

n=360°

2.用多種正多邊形拼地板

鋪墊滿地面的標(biāo)志：滿足圍繞一點(diǎn)的這幾個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的和等于360°

設(shè)正多邊形甲的個(gè)數(shù)為n,每個(gè)內(nèi)角為a,正多邊形乙的個(gè)數(shù)為m,每個(gè)內(nèi)角為

￡,則它們滿足下列關(guān)系：an+￡m=360°

二、練習(xí)

1.下列各組中的數(shù)分別表示三條線段的長度，試判斷以這些線段為邊是否能組成三

角形。

(1)3,5,2(2)a,b,a+b(a>0,b>0)(3)3,4,5

(4)m+1,2m,m+l(m>0)(5)a+1,2,a+5(a>0)

2.如圖(1),ZBAC=90°,N1=N2,AM±BC,AD±BE,那么N2=N3=N4,

你知道這是為什么？

3.如圖（2）,DC平分AABC的外角，與BA的延長線于D,那么NBAONB,為什么？

4.在下列四組線段中，可以組成三痢形的是（）

11

①1,2,3②4,5,6③1,孑，不④15,72,90

A.1組B.2組C3組D.4組

5.下列四種說法正確的個(gè)數(shù)是（）

①一■個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中至多有一■個(gè)鈍角

②一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有2個(gè)銳角

③一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)直角

④一個(gè)三角形的三個(gè)外角中至少有兩個(gè)鈍角

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.ZiABC中，三邊長為6、7、x,則x的取值范圍是（）

A.2<x<12B.1<x<13C.6<x<7D.無法確定

7.等腰三角形兩邊長分別是5和7,則該三角形周長為（）

A.17B.19C17或19D.無法確定

8.Z\ABC的三邊a、b、c都是正整數(shù)，且滿足OWaWbWc,如果b=4,問這樣的三

角形有多少個(gè)？人口

9.如圖⑴依圖填空：.

（1）在aABC中，BC邊上的高是（）V/---

圖⑴

（2）在aAEC中，AE邊上的高是（）

（3）在aFEC中，EC邊上的高是()

(4)AB=CD=2cm,AE=3cm,則AAEC的面積S=(),CE=()

分析：在非標(biāo)準(zhǔn)位置的三角形中，運(yùn)用定義識(shí)別直角三角形、鈍角三角形的高,

11

利用三角形面積公式SZ\AEC=]XAEXCD=-CEXAB可求得CE。

10.如圖⑵，在aABC中，D是BC上一點(diǎn)，Z1=Z2,N3=N4,ZBAC=63°,

求NDAC的數(shù)。

分析：NDAC是aDAC的內(nèi)角，可先求出N4或N3,N4既是aADC的內(nèi)角，又

是4ABD的外角，所以可利用三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)，可建立N4和N2(或N1)的

關(guān)系式，進(jìn)而可求出NDAC。

1

11.如圖⑶，在aABC中，NABC與NACB的平分線相交于0,那么NBDC=90°+-

ZA,你會(huì)說明這個(gè)結(jié)論正確？

分析：因?yàn)镹BDC是aBDC的內(nèi)角，所以根據(jù)三角形內(nèi)角和的定理，ZBDC=180°-

ZI-Z2

12.已知多邊形的一個(gè)內(nèi)角的外角與其它各內(nèi)角和為600°,求邊數(shù)及相應(yīng)的外角的

度數(shù)。

分析：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，已知內(nèi)角和可求邊數(shù)，由于內(nèi)南和中的一個(gè)內(nèi)

角換成了一個(gè)外角，所以設(shè)輔助未知數(shù)x,根據(jù)其外角小于180°,列方程。

第十章軸對(duì)稱、平移與旋轉(zhuǎn)

軸對(duì)稱

一、基本概念

（一）軸對(duì)稱圖形的有關(guān)概念

1.軸對(duì)稱圖形定義：把一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折，對(duì)折的兩部分是完全重合的，

這樣的圖形稱為軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做這個(gè)圖形的對(duì)潁躺。

常見的基本軸對(duì)稱圖形：線段、直線、角、等腰三角形、正三角形、長方形、正方

形、等腰梯形、菱形、圓等。

注意：軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形所具有的特性，不是“兩個(gè)”圖形的位置。

2.軸對(duì)稱（即關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱）的定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折過

去，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形域描對(duì)器，這條直線就是

它們的對(duì)稱軸,兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（即兩圖形重合時(shí)互相重合的點(diǎn)）叫做對(duì)稱點(diǎn)。

注意：軸對(duì)稱是兩個(gè)圖形的空間位置，不是“一個(gè)”圖形的特性。

3.軸對(duì)稱（或關(guān)于某條直線成對(duì)稱的兩個(gè)圖形）的性質(zhì)：

（1）軸對(duì)稱圖形（或關(guān)于某條直線成對(duì)稱的兩個(gè)圖形）沿對(duì)稱軸對(duì)折后的兩部分完全

重合，所以它的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)折后重合的線段）相等，對(duì)應(yīng)角（對(duì)折后重合的角）相等。

（2）關(guān)于某直線成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的大小和形狀完全相同。

（3）對(duì)稱軸垂直平分對(duì)稱點(diǎn)的連線。

4.軸對(duì)稱圖形與兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系：

如圖（1）,如果沿著虛線對(duì)折，直線兩旁的部分會(huì)完全重合，那么這個(gè)圖形就是

軸對(duì)稱圖形。

如圖（2）,如果沿著虛線折疊，右邊的圖形會(huì)與左邊的圖形完全重合，那么就說

這兩個(gè)圖形關(guān)于虛線這條直線成軸對(duì)稱。

（1）

5.如何畫圖形的對(duì)稱軸？

（1）畫軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸

任意找一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，連接這對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，畫出所連線段的垂直平分線。這條垂直

平分線就是該軸對(duì)稱圖形的對(duì)游和。

（2）畫成軸對(duì)稱兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸：

任意找一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，連接這對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，畫出所連線段的垂直平分線。這條垂直

平分線就是該軸對(duì)稱圖形的對(duì)器馳。

6.畫軸對(duì)稱圖形

有一個(gè)圖形、一條直線，那么如何畫出這個(gè)圖形關(guān)于這條直線的對(duì)稱圖形呢？

（1）基