構(gòu)思想方法路徑 破高考垂直難題

摘要：立體幾何是培養(yǎng)學生直觀想象和邏輯推理的重要載體，在歷年高考中呈現(xiàn)“占比大、失分高”的特點。課題組通過梳理學生在立體幾何中的學習障礙，并對53份歷年數(shù)學高考卷進行分析，根據(jù)高中課程內(nèi)容構(gòu)建知識網(wǎng)絡，以知識、思想體系為核心，分類突破“空間垂直證明”的難題，從而為教師教學和學生答題提供可行性幫助。關(guān)鍵詞：垂直證明；知識體系；立體幾何；空間垂直證明《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出的六大核心素養(yǎng)中的直觀想象，指的是學生利用空間想象結(jié)合幾何圖形的直觀性來解決問題的品格與能力［1］。雖然新版教材的教學內(nèi)容經(jīng)過了刪減，但立體幾何內(nèi)容在高中課程中仍然占有一席之地，考試大綱也要求“高中生需要具備理解空間中線、面的平行與垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理的能力，并能證明相關(guān)命題”。立體幾何內(nèi)容具有高度的抽象性和邏輯性，是培養(yǎng)學生邏輯推理素養(yǎng)的重要載體，且立體幾何內(nèi)容也非常豐富，具有極高的教育研究價值。特別是歷年高考全國卷中均對“立體幾何”進行了考查，考查題型多以“小題（選擇、填空）+解答題”為主。然而，高中生立體幾何的學習是否存在障礙？高考中立體幾何的考查側(cè)重點是什么？如何突破高考幾何證明難題？基于這些問題，本研究通過梳理高中生立體幾何學習障礙，繼而對數(shù)學高考卷中的立體幾何考題進行分析，結(jié)合高中課程內(nèi)容提出空間垂直證明的解題思路，并以高考真題為例進行分類歸納和總結(jié)，讓學生達到“以一題會一類”的目標，指導學生學會處理證明難題，以期為教師的教學提供參考和啟發(fā)。一、研究基礎（一）文獻研究以“高中立體幾何學習”為主題進行檢索并篩選出2017—2023年的22篇碩士論文，采用文獻研究法進行研究。22篇碩士論文大多采用問卷調(diào)查、試卷測試法、訪談法對高中階段三個年級學生進行了現(xiàn)狀調(diào)查和分析。通過梳理上述研究我們發(fā)現(xiàn)，高中生立體幾何學習障礙大多集中在：提取障礙（知識應用、方法選擇不合理）、認知障礙（空間想象能力、邏輯推理能力水平低）、操作障礙（證明思路不清晰、作答不規(guī)范）［2］。因此，本研究提出構(gòu)建知識和思想體系，旨在解決立體幾何學習三大障礙。（二）高考研究高考作為我國選拔人才的重要方式之一，而數(shù)學學科更是在高考中發(fā)揮著舉足輕重的作用。因此，研究高考試題極具價值，有利于了解高考指揮棒的方向，把握高考的重難點，明晰考試常見的出題模式。本研究選取了近七年（2017—2023年）的文科卷、理科卷的53份高考題，主要包含的卷別為全國甲卷、全國乙卷、全國新高考Ι卷、全國新高考Ⅱ卷、全國Ι卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷、浙江卷、上海卷、北京卷、天津卷、江蘇卷、山東卷，并且以其中的“立體幾何”解答題為研究樣本進行統(tǒng)計分析。因各地各卷對立體幾何的考查和賦分不一致，本研究主要探究考點集中趨勢、考查方向和考查難度，主要進行考點的頻次統(tǒng)計（基本考查方向和情況如下頁表1所示）。由表1可知，文科卷的垂直證明占比為35%—53.3%，理科卷相對少一些，占比為33.3%—37.6%。但是值得關(guān)注的是，除2017年（理）、2018年（理）、2020年（理）外，其他年份對“垂直關(guān)系證明”考查的占比遠高于“體積面積”“角度”“平行”“其他”四類，這說明“垂直關(guān)系證明”在高考中占有相當大的比重。通過進一步深入分析我們發(fā)現(xiàn)，在2017年（理）、2018年（理）、2020年（理）三次考試中，理科的第（2）小問著重考查二面角，這就是“角度”頻次高的原因。從知識層面進行分析，若使用空間向量的方法，需要建立空間直角坐標系和計算點坐標，此過程需要依賴垂直的相關(guān)知識；若使用歐氏幾何方法求解線面角和二面角，角度的確定和構(gòu)造與線面垂直、面面垂直關(guān)系密切［3］，因此也是側(cè)面考查垂直關(guān)系的證明和判定。綜上所述，垂直在高考立體幾何中的考查比例最大，其重要性不言而喻。但是，根據(jù)上述文獻研究和調(diào)查分析得知，學生的作答情況并不樂觀，立體幾何中的“垂直問題”應引起一線教師的重視。（三）策略研究學生在學習立體幾何的過程中存在諸多困難，體現(xiàn)為提取障礙、認知障礙和操作障礙。而高考立體幾何的考查又以“垂直關(guān)系的證明”為主，所以本研究提出“通過建構(gòu)知識網(wǎng)絡體系”的方法，以解決垂直關(guān)系證明的難題（具體網(wǎng)絡如圖1所示）。策略解析：一是構(gòu)建知識網(wǎng)絡體系，破解提取障礙。學生在教師的帶領下構(gòu)建知識體系，明確“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間的關(guān)聯(lián)，在做題時可運用體系中的“定義”“判定”“性質(zhì)”進行組合搭配，形成做題思路和方法。二是掌握知識轉(zhuǎn)化關(guān)系，破解認知障礙。在轉(zhuǎn)化和化歸思想下，學生可在新知學習和作業(yè)練習中反復訓練“線線”“線面”“面面”之間的推理過程。同時，抓住題目中的關(guān)鍵條件或者信息輔助解題，可逐步解決認知障礙。三是運用定義定理證明，破解操作障礙。學生在日常訓練中應總結(jié)所運用的知識，并嚴格要求作答時結(jié)合題目條件“翻譯”成定理內(nèi)容，在證明過程中呈現(xiàn)出定義定理，以達到踩點得分的規(guī)范效果［4］。二、試題分析（一）“線線垂直類”題型分析1.真題再現(xiàn)及解答思路分析“線線垂直類”題型例題：（2021年全國新高考Ι卷第20題的第1問）如圖2所示，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點。（1）證明：OA⊥CD；（2）略。2.考點及思路分析本題考查線線垂直的證明，該證明過程秉持由復雜到簡單的化歸思想，欲證“線線垂直”可先從“面面垂直”入手，因此可執(zhí)行圖1中的“面面垂直→線面垂直→線線垂直”的證明路徑。證明過程中主要關(guān)注面面垂直和中點兩個條件，運用面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的定義可解（如圖3所示）。3.解題規(guī)律及方法總結(jié)證明“線線垂直”一般有如下方法［5］。①幾何法：通過“面面垂直、線面垂直、線線垂直”的路徑證明（如例題1、2019年浙江卷、2019年江蘇卷、2017年江蘇理科卷、2021年全國文科甲卷、2020年全國Ⅲ文科卷、2018年天津文科卷）。②向量法：證明兩條直線所在的向量的方向向量的數(shù)量積為0（如2021年全國理科甲卷、2020年天津文科卷）。③轉(zhuǎn)化法：通過證明目標線的平行線與另一條線垂直（如2021年浙江理科卷、2020年浙江理科卷）。（二）“線面垂直類”題型分析1.真題再現(xiàn)及解答思路分析“線面垂直類”題型例題：（2019年天津文科卷第17題第1問）如圖4所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3，棱PC的中點為N，連接DN。（1）求證：PA⊥平面PCD；（2）略。2.考點及思路分析本題主要考查線面垂直，該證明運用了面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的定義和線面垂直的判定三個知識點，雖然有所輾轉(zhuǎn)，但核心思路是一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，兩組“線線垂直”可通過“線面垂直”“菱形對角線”“勾股定理”等途徑來構(gòu)造和證明（如圖5所示）。3.解題規(guī)律及方法總結(jié)證明“線面垂直”一般有如下方法。①轉(zhuǎn)化法：證明目標線的平行線垂直于平面，從而間接證明線面垂直（如2020年全國新高考卷）。②判定法：利用線面平行的判定定理證明線線垂直得到線面垂直（如2019年北京卷）。③輾轉(zhuǎn)法：證明路徑為“面面垂直→線面垂直→線線垂直→線面垂直”，其本質(zhì)仍然是判定定理的運用，但是此類方法需要學生有完整的知識體系（如2019年天津文科卷）。④向量法：本質(zhì)為證明直線的方向向量為平面的法向量，即為直線的方向向量和平面內(nèi)兩個不共線向量的數(shù)量積均為0（如2018年浙江文科卷）。（三）“面面垂直類”題型分析1.真題再現(xiàn)及解答思路分析“面面垂直類”題型例題：（2019年天津文科卷第17題第1問）如圖6所示，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=1，AD=[2]，點M在棱BC上。（1）若點M為棱BC的中點，證明：平面PAM⊥平面PBD；（2）略。2.考點及思路分析本題考查了面面垂直的證明，該證明過程主要圍繞“面面垂直的判定定理”進行，關(guān)鍵點在其中一個平面內(nèi)找到一條垂直于另外一個平面的直線，因此問題就轉(zhuǎn)化為證明線面垂直和線線垂直。通過對近五年高考試題中涉及的25道面面垂直類型題進行分析，發(fā)現(xiàn)絕大部分題均可通過此方法進行證明（如圖7所示）。3.解題規(guī)律及方法總結(jié)證明“線面垂直”一般有如下方法。①幾何法：通過面面垂直的判定來證明，其核心是證明線面垂直，因此遵循的路徑應當是“線面垂直→線線垂直→線面垂直→面面垂直”（如例題3、2021年全國新高考Ⅱ卷）。②定義法：作出二面角的平面角，進而證明該角度為90°。③向量法：證明兩個平面的法向量垂直，即證明垂線的方向向量的數(shù)量積為0。④轉(zhuǎn)化法：兩個平行平面中的一個平面與另一個平面垂直，則另一個平面也與第三個面垂直。三、總結(jié)反思本研究從“學習障礙”“高考考向”出發(fā)，提出“應對策略”并運用此策略對高考垂直三大類證明進行分析，得出一般的方法和規(guī)律，給予學生建議和幫助。但教學的主場仍然在于日常課堂，因此筆者提出以下三點教學建議。（一）加強課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，構(gòu)建知識思維網(wǎng)絡課堂小結(jié)在很多日常課堂中經(jīng)常被冠以“草草結(jié)束”的評價，教師應充分利用課堂小結(jié)的平臺與時間，運用思維導圖軟件，引導學生自主總結(jié)知識點、數(shù)學思想和方法，并且及時納入單元思維導圖中，幫助學生形成完備的網(wǎng)絡體系。（二）重視以題會類教學，提升類比遷移能力真正做到以題會類［6］，需要在日常課堂中創(chuàng)設解題情境，選擇典型例題作為母題教會學生“解題出發(fā)點”，即把教師腦子里面的想法嫁接給學生，不僅要教“怎么做”，更要教“怎么想”和“為什么要這樣想”。母題教學之后應當選擇考向考點相近的題目進行訓練，讓學生在熟悉的情