《機械控制工程基礎(chǔ) 第2版》 課件 第7章-控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1第7章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性幾何穩(wěn)定性判據(jù)3系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念及穩(wěn)定條件1代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)24系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性7.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念及穩(wěn)定條件系統(tǒng)穩(wěn)定性定義：系統(tǒng)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)受到擾動后，偏離了原來的平衡狀態(tài)，當擾動取消后，系統(tǒng)又能逐漸恢復(fù)到原來的狀態(tài)或趨于一個新的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或具有穩(wěn)定性；否則，稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，或不具有穩(wěn)定性。穩(wěn)定性是系統(tǒng)固有的特性，只取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與初始條件及外界作用無關(guān)。系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件當系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù)

(t)，如果輸出xo(t)隨著時間的推移

趨于零，即設(shè)線性定常系統(tǒng)：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)特征方程：此方程的根稱為系統(tǒng)特征根，特征方程的解可表示為：

若所有特征根si的實部

j均為負值，則零輸入響應(yīng)最終將衰減到零即，這樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若特征根中有一個或多個根具有正實部，則零輸入響應(yīng)隨時間的推移而發(fā)散，即,系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：充要條件：系統(tǒng)特征方程根全部具有負實部；即：如果一個系統(tǒng)的特征根全部落在[s]平面的左半部分，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定。（當特征根具有負實部，則此特征根在復(fù)平面左側(cè)。）系統(tǒng)的閉環(huán)極點中，若有極點實部為零，而其余極點全部位于[s]平面左半部時，稱系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)時，系統(tǒng)輸出信號將出現(xiàn)等幅振蕩；在工程中這樣的系統(tǒng)通常不能被采用，因為這樣的系統(tǒng)參數(shù)微小的變化就會導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。為了判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，除了直接求出系統(tǒng)特征根外，還有許多其他判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，用這些方法不必解出特征根就能確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。7.2代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)5.2.1勞斯判據(jù)其中，所有的系數(shù)均為實數(shù)。這個方程的根沒有正實部的必要(但并非充分)條件為:Routh判據(jù)的必要條件：

(1)方程各項系數(shù)的符號一致。(2)方程各項系數(shù)非0。7.2.1勞斯判據(jù)特征方程：首先列出下面的勞斯表其中，前兩行中不存在的系數(shù)可以填“0”元素b1、b2…c1、c2…e1、e2…f1、g1根據(jù)下式計算7.2.1勞斯判據(jù)計算bi時，所用二階行列式是由勞斯表右側(cè)前兩行組成的二行陣的第1列與第i+1列構(gòu)成的。系數(shù)b的計算一直進行到其余值為零時止。7.2.1勞斯判據(jù)計算ci時所用的二階行列式是由勞斯表右側(cè)第二、三行組成的二行陣的第1列與第i+1列構(gòu)成的;同樣，系數(shù)c的計算一直進行到其余值為零為止。7.2.1勞斯判據(jù)——判定標準勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：若勞斯表中第1列元素的符號沒有變化，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若第1列元素有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程的根在[s]平面右半部的個數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。7.2.1勞斯判據(jù)例7.1系統(tǒng)的特征方程為用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：因為方程各項系數(shù)非零且符號一致，滿足方程的根在復(fù)平面左半平面的必要條件，但仍然需要檢驗它是否滿足充分條件。計算其勞斯表中各個參數(shù)如下7.2.1勞斯判據(jù)第一列元素符號改變，因而系統(tǒng)不穩(wěn)定。符號改變兩次，有兩個根在復(fù)平面右半部分7.2.1勞斯判據(jù)—特例1（1）勞斯表某一行的第一列元素為零，其他項元素均為非零。判定方法：將等于零的那一行第一項元素替換為任意小的正數(shù)

；繼續(xù)計算勞斯表后續(xù)行元素如果勞斯表第一列元素符號有變化，其變化次數(shù)等于[s]右半平面上特征根個數(shù)，表明該系統(tǒng)不穩(wěn)定。7.2.1勞斯判據(jù)—特例1例7.2已知線性系統(tǒng)的特征方程，用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：可以將0元素替換為一小的正數(shù)

，繼續(xù)計算勞斯表。各項系數(shù)非零且同號，因此可以進一步用勞斯判據(jù)。計算勞斯表為第一列元素中有兩次符號改變，系統(tǒng)不穩(wěn)定7.2.1勞斯判據(jù)—特例2（2）勞斯表某一行元素全為零判定方法：第一步，采用0元素行的上一行元素作為系數(shù)建立輔助方程計算輔助方程對s的導(dǎo)數(shù)用各項系數(shù)來代替0元素行用替換后新得到的元素行繼續(xù)計算勞斯表根據(jù)勞斯表中第一列各元素的符號改變情況判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性7.2.1勞斯判據(jù)—特例1例7.3已知線性系統(tǒng)的特征方程，用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解計算勞斯表為用系數(shù)8和0替換原表中

行中的0元素的勞斯表為第一列元素符號沒有改變，說明特征方程沒有根在[s]右半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定Routh判據(jù)的應(yīng)用——分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響引申例題：某機械系統(tǒng)的系統(tǒng)方框圖如下圖所示，試確定保證系統(tǒng)穩(wěn)定時，系統(tǒng)參數(shù)K1的取值范圍-解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：建立勞斯表：特征方程為：結(jié)果：7.2.2赫爾維茨判據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程式7.2.2赫爾維茨判據(jù)7.2.2赫爾維茨判據(jù)5.2.2赫爾維茨判據(jù)例7.6單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為7.2.2赫爾維茨判據(jù)7.3幾何穩(wěn)定性判據(jù)勞斯判據(jù)建立在已知閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為基礎(chǔ)，而有些實際系統(tǒng)的特征方程是無法列寫的，通過勞斯表僅可以推斷出系統(tǒng)是否穩(wěn)定卻無法判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的程度。奈奎斯特提出一種用閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的頻域曲線（即奈奎斯特圖），不但可以判斷穩(wěn)定性，而且還能夠指出穩(wěn)定的程度。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)7.3.1幅角原理奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)需要用到復(fù)變函數(shù)中的輻角原理，對于復(fù)變函數(shù)，若在[s]平面上任意選擇一條封閉曲線Ls，只要曲線Ls不經(jīng)過F(s)的極點和零點，則在像平面[F(s)]上的像也為一條封閉曲線，記為LF。若LF繞原點按順時針轉(zhuǎn)N周，則:N=Z-P其中,Z和P分別為包含在Ls內(nèi)F(s)的零點和極點的個數(shù)。關(guān)于幅角原理的說明LFRe

Lsj

7.3.1幅角原理根據(jù)復(fù)數(shù)性質(zhì)可知，兩個復(fù)數(shù)積的幅角等于它們幅角的和。F(s)的幅角為設(shè)F(s)的零點、極點、分布如圖7.2(a)所示。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)1.奈奎斯特路徑在[s]的復(fù)平面上，以虛軸由-

到+

的直線為左邊界，做一個順時針包圍右半面的封閉曲線，以+

為半徑從虛軸的正向順時針轉(zhuǎn)

角到虛軸的負向的半徑為無窮大的半圓。稱封閉曲線為復(fù)平面[s]上的奈奎斯特圖。L1和L2兩段線包圍了復(fù)平面[s]的右半面。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)2.用系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)表示的奈奎斯特判據(jù)

當已知系統(tǒng)有Z個零點時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以表示為

繪制出Ls的由GB(s)映象的曲線繞原點按順時針轉(zhuǎn)的周數(shù)N來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，當N=Z時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當N<Z時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)3.用系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表示的奈奎斯特判據(jù)+-在通常情況下，并不能容易地得到系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，只能得到閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，形式為對于上圖中的閉環(huán)控制系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程由閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母等于零得出，即系統(tǒng)的特征方程為7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)的特征方程：+-設(shè)：則：可見，閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的極點就是GB(s)的零點，而D(s)的零點就是閉環(huán)系統(tǒng)GB(s)的極點。因此，可以用D(s)來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性所以系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：D(s)函數(shù)在Ls內(nèi)有P個極點時，其像曲線繞D(s)像平面原點逆時針轉(zhuǎn)P圈。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)因此，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可表述為：當開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在復(fù)平面[s]的右半面內(nèi)沒有極點時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的充要條件是：G(s)H(s)平面上的映射圍線

L不包圍（-1，j0）點。

[D(s)]平面和[GH)]平面的奈奎斯特圖關(guān)系[D]D(s)平面與[GH]平面間的關(guān)系是：G(s)H(s)=D(s)-17.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)如果G(s)H(s)在[s]的右邊面有極點，閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：當

由-

向+

變化時，開環(huán)頻率特性G(s)H(s)的奈奎斯特周線Ls的映射圍線

L沿逆時針方向包圍（-1，j0）點的周數(shù)等于G(s)H(s)在復(fù)平面[s]的右半面內(nèi)極點的個數(shù)p。因此又可敘述如下：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當

由0向+變化時，開環(huán)奈奎斯特圖應(yīng)當按逆時針包圍（-1，j0）點的p/2周，p是開環(huán)傳遞函數(shù)右半平面內(nèi)極點的個數(shù)。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)例7.7三個閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)=k/(1+T1s)、Gk(s)=k/(1+T1s)(1+T2s)、Gk(s)=k/(1+T1s)(1+T2s)(1+T3s)，系統(tǒng)時間常數(shù)T1、T2、T3均大于零，系統(tǒng)的奈奎斯特圖分別如圖7.8所示，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）系統(tǒng)時間常數(shù)均大于零，故開環(huán)系統(tǒng)在[s]的右半面內(nèi)沒有極點，p=0。（這三個系統(tǒng)均是開環(huán)穩(wěn)定的）（2）當

由0變到+

時，開環(huán)奈奎斯特曲線不包圍（-1，j0）點，（3）根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，無論k取何正值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)例7.8系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為Gk(s)=k/s(1+T1s)、Gk(s)=k/s(1+T1s)(1+T2s)，系統(tǒng)時間常數(shù)T1、T2均大于零，所對應(yīng)的系統(tǒng)的奈奎斯特圖分別如圖7.9所示，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：1）開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)，奈奎斯特曲線不封閉，不能說明開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特曲線是否包圍（-1，j0）點。2）在奈奎斯特曲線上需畫出輔助曲線來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。方法是：以原點為圓心，以無窮大為半徑作圓，從奈奎斯特曲線的起始端（

=0）沿逆時針方向轉(zhuǎn)過

90°（

是積分環(huán)節(jié)個數(shù)），并與實軸相交，該交點即為奈奎斯特曲線的新起點，使曲線封閉，再進行穩(wěn)定性判斷。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)原圖補充后的圖由已知條件得，開環(huán)傳遞函數(shù)無正實部極點，即p=0；當

由0→+

變化時，圖（a）中開環(huán)極坐標圖在（-1，j0）點左側(cè)沒有穿越負實軸，所以系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。而圖（b）中開環(huán)極坐標圖在（-1，j0）點左側(cè)對負實軸有一次負穿越，所以系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)關(guān)于奈奎斯特判據(jù)的幾點說明：（1）奈奎斯特判據(jù)的證明雖然較復(fù)雜，但應(yīng)用簡單。一般系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)多為最小相位傳遞函數(shù)，p=0，故只看開環(huán)奈奎斯特軌跡是否包圍（-1，j0）點，若不包圍，系統(tǒng)就穩(wěn)定。（2）當開環(huán)傳遞函數(shù)為非最小相位傳遞函數(shù)，即p0時，先求p，再看開環(huán)奈奎斯特圖包圍點（-1，j0）圈數(shù)，若逆時針包圍點（-1，j0）p圈，則系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）在p=0，即Gk(s)在[s]平面的右半平面無極點時，稱開環(huán)穩(wěn)定；在p0，即開環(huán)傳遞函數(shù)在[s]平面的右半面有極點時，稱開環(huán)不穩(wěn)定。(4)開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)仍可能穩(wěn)定；開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)也可能不穩(wěn)定。(5)開環(huán)不穩(wěn)定而其閉環(huán)卻能穩(wěn)定的系統(tǒng)，在實用上有時是不太可靠的。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)例：7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)方法二：利用穿越的方法注意到，-∞到+∞的像是對稱的，故可只畫出ω由0到+∞所對應(yīng)的像軌跡;特別是當包圍(-1,j0)點轉(zhuǎn)動的周數(shù)比較多時，可引入“穿越”的概念。對于復(fù)雜的開環(huán)極坐標圖，還可以采用開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖中正、負穿越的概念來判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。穿越的概念正穿越：如果開環(huán)極坐標圖按逆時針方向（從上向下）穿過負實軸，稱為正穿越，正穿越時相位增加；負穿越：按順時針方向（從下向上）穿過負實軸，稱為負穿越，負穿越時相位減小。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)又可以敘述如下：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：·當

由0向+

變化時，開環(huán)頻率特性極坐標圖在點（-1，j0）左側(cè)正、負穿越負實軸次數(shù)之差應(yīng)為p/2，p是開環(huán)傳遞函數(shù)正實部極點的個數(shù)?！(s)H(s)起始于負實軸上，或終止于負實軸時，穿越次數(shù)定義為1/2次?！と糸_環(huán)極坐標圖在點（-1，j0）左側(cè)負穿越負實軸次數(shù)大于正穿越的次數(shù)。則閉環(huán)系統(tǒng)一定不穩(wěn)定。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（a）圖：開環(huán)傳遞函數(shù)在復(fù)平面的右半面有一個極點，即P=1，因而開環(huán)是不穩(wěn)定的；而開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特曲線穿越次數(shù)為1/2，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（b）圖：，同樣是開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特曲線穿越次數(shù)為1/2，雖然開環(huán)在復(fù)平面的右半面沒有極點，是穩(wěn)定的，但閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。奈奎斯特曲線穿越次數(shù)為1/2的情況a）P=1b）P=07.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)解：p=2，

由0向變化，奈奎斯特圖在點（-1，j0）左側(cè)正負穿越負實軸次數(shù)之差是2-1=1=p/2，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)典型傳遞環(huán)節(jié)的參數(shù)有關(guān)，參數(shù)的變化往往會導(dǎo)致系統(tǒng)由穩(wěn)定轉(zhuǎn)向了不穩(wěn)定。例7.9已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有2個正實部極點，開環(huán)極坐標圖如圖7.14所示，試分析閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。開環(huán)伯德圖判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性通常，要想得到系統(tǒng)的精確極坐標圖是比較困難的，而系統(tǒng)的對數(shù)坐標圖相對容易畫出。因此，希望能夠利用系統(tǒng)開環(huán)伯德圖來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由此帶來了一個關(guān)鍵的問題：極坐標圖中（-1，j0）點左側(cè)正、負穿越負實軸是如何和對數(shù)坐標圖相對應(yīng)的？它們之間有什么樣的內(nèi)在關(guān)系？開環(huán)伯德圖判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)，若一個控制系統(tǒng)，其開環(huán)是穩(wěn)定的，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是開環(huán)奈奎斯特特性圖不包圍(-1,j0)點。1、伯德圖與奈奎斯特圖的關(guān)系

圖中的特性曲線1對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而特性曲線2對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。開環(huán)伯德圖判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性所以，對應(yīng)下圖特性曲線1(閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的)在ωc點處：而在ωg點處：開環(huán)伯德圖判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性由此可知：開環(huán)奈奎斯特圖上的單位圓與伯德圖對數(shù)幅頻特性的0dB線相對應(yīng)；單位圓與負實軸的交點與伯德圖對數(shù)相頻特性的-π軸對應(yīng)。奈奎斯特圖Bode圖開環(huán)伯德圖判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性因此：開環(huán)奈奎斯特曲線與(-1,j0)點以左實軸的穿越就相當于L(ω)≥0的所有頻率范圍內(nèi)的對數(shù)相頻特性曲線與-180o的穿越點。當ω增加時相角增大為正穿越。所以：在對數(shù)相頻特性圖中，L(ω)≥0范圍內(nèi)開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線，由下而上穿過-180o線時為正穿越；由上自下，為負穿越。奈奎斯特圖Bode圖開環(huán)伯德圖判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性例7.11已知系統(tǒng)開環(huán)特征方程的右根數(shù)P，以及開環(huán)伯德圖如圖(a)，(b)、(c)所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定7.4系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)只能判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，但不能知道穩(wěn)定的程度。如圖，即使是同樣結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，由于比例環(huán)節(jié)的取值不同，系統(tǒng)就可由穩(wěn)定狀態(tài)變成不穩(wěn)定的。因此，希望實際的控制系統(tǒng)不但是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，而且要求它具有足夠的穩(wěn)定程度或穩(wěn)定裕度。如果一個系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度大，那么即使系統(tǒng)受到一定的干擾，系統(tǒng)也完全可以工作在穩(wěn)定的狀態(tài)。7.4系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性1.相位穩(wěn)定裕度

在[L(s)]平面上，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特軌跡與復(fù)平面上以原點為中心的單位圓相交的頻率稱為幅值穿越頻率，用

c表示。定義交點的矢量與負實軸的夾角為相位穩(wěn)定裕度，即

在第二象限為負，在第三象限為正。

>0時，系統(tǒng)穩(wěn)定；

<0

時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

越大，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度越大。7.4系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性L[s]平面上的單位