郴州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測（一模） 數(shù)學(xué)試卷（含答案）

科目：數(shù)學(xué)(試題卷)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。4.考試時間為120分鐘,滿分為150分。5.本試題卷共5頁。如缺頁，考生須聲明，否則后果自負(fù)。姓名準(zhǔn)考證號郴州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷數(shù)學(xué)一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.設(shè)集合A=x|x-1x-6<0,B=x|x2<9,則AA.(6,+∞)B.(-3,1)C.(-3,6)D.(1,3)2.設(shè)復(fù)數(shù)z=1-ii2024+i,A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(0,-1)3.設(shè)x∈R,向量a=x-1,b=x4,A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知sinα+cosβ=32,cosA.12B.14C.18D5.函數(shù)fx6.已知函數(shù)fx=x2-2ax+a,x<0A.(-∞,0]B.[-l,0]C.[-1,1]D.[l,+∞)7.已知正方體ABCD-A?B?C?D?中,點E、F滿足BE=2EB1C1A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形高三數(shù)學(xué)試題第1頁(共5頁)8.已知fx=me??-lnxm≥0若f(xA.01eC.1e+∞二、多項選擇題(本題共3小題，每小6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)9.下列命題中正確的是A.已知隨機(jī)變量X～B312,則E(2XB.已知隨機(jī)變量X～NC.數(shù)據(jù)1,3,4,5,7,8,10的第80百分位數(shù)是8D.樣本甲中有m件樣品，其方差為s2，樣本乙中有n件樣品，其方差為：s22,10.已知曲線C:x2cosθ+y2sinθ=1,θ∈0A.若cosθ=0,則曲線C表示兩條直線B.若cosθ>0,則曲線C是橢圓C.若cosθ<0,則曲線C是雙曲線D.若cosθ=-sinθ,則曲線C的離心率為.211.在正三棱臺ABC-DEF中,AB=6,DE=2,且等腰梯形所在的側(cè)面與底面ABC所成夾角的正切值均為2，則下列結(jié)論正確的有A.正三棱臺ABC-DEF的高為4B.正三棱臺ABC-DEF的體積為52C.AD與平面ABC所成角的正切值為lD.正三棱臺ABC-DEF外接球的表面積為160π高三數(shù)學(xué)試題第2頁(共5頁)三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)12.已知Sn為等差數(shù)列{an的前n項和，若S?+S?=24,則13.從數(shù)字1，2，3，4中隨機(jī)取一個數(shù)字，第一次取到的數(shù)字為ii=1234,,再從數(shù)字1,…,i14.已知拋物線y2=4x,從拋物線內(nèi)一點A22發(fā)出平行于x軸的光線經(jīng)過拋物線上點B反射后交拋物線于點C，則△ABC的面積為四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本小題滿分13分)若銳角△ABC中,A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且△ABC的面積為3(1)求B;(2)求ca16.(本小題滿分15分)如圖,在四面體A-BCD中,AD=BD=3,AC=BC=2,AD?DB,∠CAD=30°,M是AD的中點，P是BM的中點，點(1)證明:PQ∥平面BCD;(2)求二面角A-PC-M的余弦值.17.(本小題滿分15分)已知橢圓E的離心率為22,橢圓E上一點P到左焦點的距離的最小值為(1)求橢圓E的方程；(2)已知直線l與橢圓E交于M、N兩點，且(OM⊥ON,求△OMN面積的取值范圍.18.(本小題滿分17分)已知函數(shù)fx=2aln(1)當(dāng)a>0時,試討論f(x)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)f(x)有兩個不相等的零點.x?,x?,(i)求a的取值范圍；(ii)證明:x?+x?>4.19.(本小題滿分17分)已知數(shù)列An:a1,a2,?,ann≥2n∈N*是正整數(shù)1，2，3，…，(1)列出所有H數(shù)列.A?的情形；(2)寫出一個滿足a5k=5kk=12?405(3)在H數(shù)列A????中，記bk=a5k=k=12?405,若數(shù)列高三數(shù)學(xué)試題第5頁(共5頁)原卷掃描版原卷掃描版郴州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷數(shù)學(xué)參考答案一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1-5DABCC6-8DBA二、選擇題(本題共3小題，每小6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)9-11ABC、ACD、BCD6.【解】因為f(x)在R上單調(diào)遞減,且x≥0時,fx=1ex-lnx+1單調(diào)遞減，有最大值1;當(dāng)x<0時,函數(shù).y=x2-2ax+a的對稱軸a≥0，單調(diào)遞減有最小值a,則要滿足a≥1,故a≥7【解】如圖,設(shè)AB=6,分別延長AE、A?B?交于點G,此時B?G=3,連接FG交B?C?于H,連接EH,設(shè)平面AEF與平面DCC?D?的交線為l,則F∈l,因為平面ABB?A?∥平面DCC?D?,平面AEF∩平面,ABB?A?=AE,平面AEF∩平面DCC?D?=l,所以l∥AE,設(shè)l∩D?D=I,則FI∥AE,此時△FD?I∽△ABE,故ID1=43,故選:B.8.【解】由f(x)=0,得me??=lnx,即mxe??=∵m≥0,∴l(xiāng)nx≥0,mx≥0,∴x≥1設(shè)hh't=t+1∴mx=lnx,即m=設(shè)g令g'(x)>0,解得1<x<e;令g'(x)<0,解得x>e∴g(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,g1=0,ge=1e∴0<m<1e時,f(x)有兩個零點.故選:11.【答案】BCD【詳解】解:取EF的中點G,BC的中點H,連接DG,GH,AH,過D點作垂線與AH相交于點X，過G點作垂線與AH相交于點Y，過F點作垂線與BC相交于點I由題可知：DG=3,AH=33,設(shè)正棱臺的高為h，即||GY|=|DX|=h,設(shè)∵GH⊥BC,AH⊥BC∴∠GHY為等腰梯形EFBC與底面ABC所成角的平面有∴tan在直角三角形ADX中，AX=2h在直角三角形FIC中，F(xiàn)I2+IC2=x2+h2+又FC2=DA2∴解得：x=故A錯；S=14.【解】∵A由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，BC過焦點F，又F(1，0)，直線BF的斜率為.-2∴直線BC的方程為y=-22x-1,聯(lián)立y2=4x∴四、解答題(本題共5小題，共77分.)15.【解】1)∵SABC=∴a2+c2-∴tanB=sin又0<B<π2,∴B=2∵A+B+C=π:A+C=5π6則ca=sin∴ca=∵△ABC為銳角三角形∴0<A<π2∴tanA∈3∴ca=16.【解】(1)取BD中點E,在線段CD上取點F,使得DF=3FC,連接EP,EF,FQ,∵AQ=3QC,∴QF∥AD,且QF=14AD又E,P分別為BD,BM的中點,∴PE∥DM,且PE=12DMn?MP=32x所以平面DEF的一個法向量為n=13所以cos<m,由圖可知，二面角A-PC-M為銳角，故二面角A-PC-M的余弦值為13220.17.解:(1)橢圓E的離心率為22,橢圓E上一點P到左焦點的距離的最小值為則ca=2∴a=2,c=1·……∵a2=b2+c2∴b=1…5分所以橢圓E的方程為x22+(2)當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線l：x=m代入x22+y2=1由OM⊥ON得m=±63當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線l:y=kx+m,設(shè)M(x?,y?),N(x?,y?)由y=kx+mx22△=82k2-m2+1>0,解得x1+x因為OM⊥ON,所以x?x?+y?y?=010分即1+k2x?x?+kmx?+x?+m2-2=0化簡得3m2=2k2+2MN|=1+k2SOMN=12|MN|?d=2m22k2+1-m則可化為SOMN=2當(dāng)t=2時△OMN面積有最大值，最大為SOMN=22,當(dāng)∵t>1,∴SOMN>23(請閱卷老師嚴(yán)格按照得分點給分到位)18.【解】(1)解:f'x=①當(dāng)0<a<2時,當(dāng)x∈(0,a)∪(2,+∞)時,f'(x)>0;當(dāng)x∈(a,2)時,f'(x)<0;∴x∈(0,a)和x∈(2,+∞),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;x∈(a,2),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;…………………3分②當(dāng)a=2時,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;……4分③當(dāng)a>2時,當(dāng)x∈(0,2)∪(a,+∞),f'(x)>0;當(dāng)x∈(2,a)時,f'x<0;∴x∈(0,2)和x∈(a,+∞),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;x∈(a,2),函數(shù)f(x(2)解:若函數(shù)有兩個不同的零點x?,x?,由(1)知:當(dāng)0<a<2時,fx棱錐側(cè)=f當(dāng)a=2時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,不合題意當(dāng)a=2時,fx棱錐側(cè)=f∴a<0,函數(shù)f(x)在x∈(0,2)時單調(diào)遞減,在x∈(2,+∞)|時單調(diào)遞增，在x=2處取得極小值，………………………8分當(dāng)fx∴1ln2-1不妨令0<x?<2<x?;令：F=2a=2alnx-2aln(4-x)+4x+4a-2(a+2)x·10分F'x=2a∴函數(shù)F(x)在x∈(0,2)上單調(diào)遞減;∴F(x)>F(2)=0,………………12分∴fx>f4-x∵fx?=fx?∵0<x?<2;∴4-x?>2,又因為函數(shù)f(x)在x∈(2,+∞)上單調(diào)遞增;…16分∴x?>4-x?,即x?+x?>4………17分19.解:(1)4?:3,1,4,2,5或A?:5,2,4,1,3A?:2,4,1,3,5或A?:5,3,1,4,2A?:1,3,5,2,4或A?:4,2