高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識題型全歸納專題08導(dǎo)數(shù)壓軸題之構(gòu)造函數(shù)和同構(gòu)異構(gòu)詳述(原卷版+解析)

更多精品資料請關(guān)注微信公眾號：超級高中生導(dǎo)數(shù)章節(jié)知識全歸納專題08導(dǎo)數(shù)壓軸題之構(gòu)造函數(shù)和同構(gòu)異構(gòu)（詳述版）一．考試趨勢分析：由于該內(nèi)容在高考內(nèi)容中考試頻率相對比較低，然而它卻在我們平時(shí)考試或是診斷型考試中出現(xiàn)又較高，并且該內(nèi)容屬于高中數(shù)學(xué)里面導(dǎo)數(shù)的基本考試題型之一，基本上尖子生里面的基礎(chǔ)題，又是一般學(xué)生里面的壓軸題，所以老師你覺得講還是不講呢？針對這個(gè)情況，作者進(jìn)行了多年研究和分析，這個(gè)內(nèi)容一定要詳細(xì)講述，并且結(jié)合技巧性讓學(xué)生能夠熟練掌握，優(yōu)生幾秒鐘，一般學(xué)生幾分鐘就可以完成該題解答，是設(shè)計(jì)這個(gè)專題的核心目的！二．所用知識內(nèi)容：1.導(dǎo)數(shù)八大基本求導(dǎo)公式：①（C為常數(shù)）②③;④;⑤⑥;⑦;⑧常見構(gòu)造：和與積聯(lián)系：，構(gòu)造；，構(gòu)造；，構(gòu)造；…，構(gòu)造；，構(gòu)造．等等．減法與商聯(lián)系：如，構(gòu)造；，構(gòu)造；…，構(gòu)造．，構(gòu)造，，構(gòu)造，………………，構(gòu)造，3.同構(gòu)異構(gòu)方法：1．順反同構(gòu)：順即為平移拉伸后的同構(gòu)函數(shù)，反即為乘除導(dǎo)致的凹凸反轉(zhuǎn)同構(gòu)函數(shù).2．同位同構(gòu)：①加減同構(gòu)是指在同構(gòu)的過程中“加減配湊”，從而完成同構(gòu)；②局部同構(gòu)是指在同構(gòu)過程中，我們可以將函數(shù)的某兩個(gè)或者多個(gè)部分構(gòu)造出同構(gòu)式，再構(gòu)造同構(gòu)體系中的親戚函數(shù)即可；③差一同構(gòu)是指指對跨階以及指數(shù)冪和對數(shù)真數(shù)差1，我們往往可考慮用同構(gòu)秒殺之.三．導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)典型題型：1.構(gòu)造函數(shù)之和差構(gòu)造：例：1.已知定義在R上的函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．或2.定義在上的函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A． B． C． D．變式：1.已知奇函數(shù)在R上的導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．構(gòu)造函數(shù)之乘積構(gòu)造：例：1.在上的導(dǎo)函數(shù)為，，則下列不等式成立的是（）．A． B．C． D．2.已知定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式的解集是（）A． B．C． D．3.定義在上的連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且成立，則下列各式一定成立的是（）A． B．C． D．變式：1.已知定義在的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足成立，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．變式：2。已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足：（1），（2），則的取值范圍是（）A． B． C． D．變式：3.定義在上的函數(shù)滿足，，則不等式(為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為（）A． B．C． D．變式：4.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則使得成立的的取值范圍（）A． B．C． D．變式：5.定義在上的奇函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，其導(dǎo)函數(shù)為，對任意正實(shí)數(shù)恒有，若，則不等式的解集是（）A． B．C． D．導(dǎo)數(shù)之同構(gòu)異構(gòu)：例：1.已知函數(shù)，，若，，則的最大值為（）A． B． C． D．2.已知函數(shù)，.若存在，使得成立，則的最大值為（）A． B．C． D．變式：1.設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．變式：2.設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)x，使得不等式成立，則的最大值為（）A． B． C． D．變式：3.已知是方程的一個(gè)根，則的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6變式：4.已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．更多精品資料請關(guān)注微信公眾號：超級高中生導(dǎo)數(shù)章節(jié)知識全歸納專題08導(dǎo)數(shù)壓軸題之構(gòu)造函數(shù)和同構(gòu)異構(gòu)（詳述版）一．考試趨勢分析：由于該內(nèi)容在高考內(nèi)容中考試頻率相對比較低，然而它卻在我們平時(shí)考試或是診斷型考試中出現(xiàn)又較高，并且該內(nèi)容屬于高中數(shù)學(xué)里面導(dǎo)數(shù)的基本考試題型之一，基本上尖子生里面的基礎(chǔ)題，又是一般學(xué)生里面的壓軸題，所以老師你覺得講還是不講呢？針對這個(gè)情況，作者進(jìn)行了多年研究和分析，這個(gè)內(nèi)容一定要詳細(xì)講述，并且結(jié)合技巧性讓學(xué)生能夠熟練掌握，優(yōu)生幾秒鐘，一般學(xué)生幾分鐘就可以完成該題解答，是設(shè)計(jì)這個(gè)專題的核心目的！二．所用知識內(nèi)容：1.導(dǎo)數(shù)八大基本求導(dǎo)公式：①（C為常數(shù)）②③;④;⑤⑥;⑦;⑧常見構(gòu)造：和與積聯(lián)系：，構(gòu)造；，構(gòu)造；，構(gòu)造；…，構(gòu)造；，構(gòu)造．等等．減法與商聯(lián)系：如，構(gòu)造；，構(gòu)造；…，構(gòu)造．，構(gòu)造，，構(gòu)造，………………，構(gòu)造，3.同構(gòu)異構(gòu)方法：1．順反同構(gòu)：順即為平移拉伸后的同構(gòu)函數(shù)，反即為乘除導(dǎo)致的凹凸反轉(zhuǎn)同構(gòu)函數(shù).2．同位同構(gòu)：①加減同構(gòu)是指在同構(gòu)的過程中“加減配湊”，從而完成同構(gòu)；②局部同構(gòu)是指在同構(gòu)過程中，我們可以將函數(shù)的某兩個(gè)或者多個(gè)部分構(gòu)造出同構(gòu)式，再構(gòu)造同構(gòu)體系中的親戚函數(shù)即可；③差一同構(gòu)是指指對跨階以及指數(shù)冪和對數(shù)真數(shù)差1，我們往往可考慮用同構(gòu)秒殺之.三．導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)典型題型：1.構(gòu)造函數(shù)之和差構(gòu)造：例：1.已知定義在R上的函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．或【答案】B【分析】令函數(shù)，求導(dǎo)，結(jié)合題意，可得的單調(diào)性，又，則原不等式等價(jià)于，根據(jù)的單調(diào)性，即可得答案.【詳解】令函數(shù)，則，所以在R上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以原不等式等價(jià)于，所以所求不等式的解集為故選：B2.定義在上的函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，，先判斷其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，來確定該函數(shù)的單調(diào)性，再化簡不等式為，根據(jù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】設(shè)，，則，故在上單調(diào)遞增，，不等式，即，即，根據(jù)單調(diào)性知，即，得，即，故解集為.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)解不等式時(shí)，常常要構(gòu)造新函數(shù)，新函數(shù)一方面與已知不等式有關(guān)，一方面與待求不等式有關(guān)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.變式：1.已知奇函數(shù)在R上的導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用構(gòu)造函數(shù)g(x)，即可得到函數(shù)g(x)的單調(diào)性，再將所解不等式轉(zhuǎn)化為用g(x)表達(dá)的抽象函數(shù)不等式而得解.【詳解】因，即，令，則，在上遞減，又是R上的奇函數(shù)，則也是R上的奇函數(shù)，從而有在R上單調(diào)遞減，顯然，則有由在R上單調(diào)遞減得，所以所求不等式的解集為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解給定導(dǎo)數(shù)值特征的抽象函數(shù)不等式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)值特征構(gòu)造對應(yīng)函數(shù)是解題的關(guān)鍵.構(gòu)造函數(shù)之乘積構(gòu)造：例：1.在上的導(dǎo)函數(shù)為，，則下列不等式成立的是（）．A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，求導(dǎo)得，知在上為增函數(shù)，進(jìn)而由即可判斷.【詳解】令，則，因?yàn)樵谏系膶?dǎo)函數(shù)為，所以在上，即在上為增函數(shù).所以，即.故選：A.2.已知定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題目中信息其導(dǎo)函數(shù)為，若可知，需構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性來解題，當(dāng)時(shí)，即，，當(dāng)時(shí)，即，.【詳解】構(gòu)造函數(shù),,當(dāng)時(shí)，，故，在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，在單調(diào)遞減.,則，;，當(dāng)時(shí)，即，，所以；當(dāng)時(shí)，即，，所以.綜上所述，.故選：A【點(diǎn)睛】需對題中的信息聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性解不等式，特別是分為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)兩種情況，因?yàn)閮蛇呁瑫r(shí)除以，要考慮其正負(fù).3.定義在上的連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且成立，則下列各式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由條件可得，即在上單調(diào)遞減，且，由此卡判斷選項(xiàng)A，B，C，將代入條件可得，可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題可得，所以，設(shè)則，所以在上單調(diào)遞減，且由可得，所以，，所以選項(xiàng)A?B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確.把代入，可得，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)值的符號，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，由條件得出其單調(diào)性，根據(jù)，判斷選項(xiàng)，屬于難題.變式：1.已知定義在的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足成立，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可確定其單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小可判斷各選項(xiàng)．【詳解】設(shè)，則，所以在上是減函數(shù)，所以，即，A錯(cuò)；，即，B正確；，即，C錯(cuò)；的正負(fù)不確定，因此與大小不確定，D不能判斷．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查比較大小問題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，從而可比較函數(shù)值大?。兪剑?。已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足：（1），（2），則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)與，利用二者的單調(diào)性即可得到結(jié)果.【詳解】，∴在上單調(diào)遞減，，∴在上單調(diào)遞增，.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要構(gòu)造函數(shù)，一般：（1）條件含有，就構(gòu)造,（2）若，就構(gòu)造，（3），就構(gòu)造，（4）就構(gòu)造，等便于給出導(dǎo)數(shù)時(shí)聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).變式：3.定義在上的函數(shù)滿足，，則不等式(為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由已知得的單調(diào)性，不等式化為，由單調(diào)性得結(jié)論．【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，所以是上的增函?shù)，不等式可化為，即，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)解不等式，解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，原不等式化為，然后由單調(diào)性得結(jié)論變式：4.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則使得成立的的取值范圍（）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并結(jié)合已知得到在上為遞減函數(shù)，進(jìn)一步推出時(shí)，，時(shí)，，據(jù)此可求出使得成立的的取值范圍.【詳解】令，則，所以在上為遞減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以，當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，又所以時(shí)，，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以時(shí)，，所以或，或，或.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性推出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，是解題關(guān)鍵.變式：5.定義在上的奇函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，其導(dǎo)函數(shù)為，對任意正實(shí)數(shù)恒有，若，則不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由是定義在上的奇函數(shù)，得為奇函數(shù)，由，得為上的增函數(shù)，再由得，利用單調(diào)性可得答案.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，有，所以為奇函數(shù)，且對于正實(shí)數(shù)，有，即，所以，所以在是增函數(shù)，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以為上的增函數(shù)，由得，所以，即，解得或，故選：D.【點(diǎn)睛】考查了函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力及計(jì)算能力.導(dǎo)數(shù)之同構(gòu)異構(gòu)：例：1.已知函數(shù)，，若，，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由，，再結(jié)合函數(shù)函數(shù)的圖象可知，，這樣轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.【詳解】由題意得，，，即，令函數(shù)，則，所以，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，作函數(shù)的圖象如圖所示.由圖可知，當(dāng)時(shí)，有唯一解，故，且，∴.設(shè)，，則，令解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，即的最大值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，本題的關(guān)鍵是觀察與變形，，并且由函數(shù)圖象判斷，只有一個(gè)零點(diǎn)，所以，這樣后面的問題迎刃而解.2.已知函數(shù)，.若存在，使得成立，則的最大值為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可知，，由可得出，，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得出，由此可得出，可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.【詳解】，，由于，則，同理可知，，函數(shù)的定義域?yàn)?，對恒成立，所以，函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，同理可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，則，，則，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算，涉及指對同構(gòu)思想的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，有一定的難度.變式：1.設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的符號判斷的單調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理易知使，此時(shí)，進(jìn)而討論的單調(diào)性可知，要使題設(shè)不等式恒成立，即成立，構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性確定的區(qū)間，進(jìn)而求的范圍.【詳解】令，只需要上恒成立，∵且，∴，即在上單調(diào)遞增，∵，，∴，使，即，∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；故只需，令，∴，故在上遞減，而，∴時(shí)，恒成立，可知.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性并確定極小值點(diǎn)范圍，根據(jù)有，結(jié)合構(gòu)造新函數(shù)，求成立時(shí)的區(qū)間，進(jìn)而求參數(shù)范圍.變式：2.設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)x，使得不等式成立，則的最大值為