2024屆河南省新未來高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省新未來2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，得，即，而，則，所以.故選：B.2已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，則，所以，故.故選：C.3.已知為單位向量，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)闉閱挝幌蛄?，，所以，則，所以.故選：D.4.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.0 C. D.2〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)椋蔀榕己瘮?shù)，得，則，整理得，而不恒為0，于是，即，解得，所以實(shí)數(shù).故選：D.5.芻薨是《九章算術(shù)》中出現(xiàn)的一種幾何體，如圖所示，其底面為矩形，頂棱和底面平行，書中描述了芻薨的體積計(jì)算方法：求積術(shù)曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一，即（其中是芻薨的高，即頂棱到底面的距離），已知和均為等邊三角形，若二面角和的大小均為，則該芻薨的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令點(diǎn)在平面的投影分別為，取的中點(diǎn)，連接，由平面，平面，得，由正，得，平面，則平面，同理平面，由四邊形為矩形，得，于是平面，而面，平面，則，顯然，有，且都在平面，因此點(diǎn)共線，顯然，而平面，平面平面，平面，則，四邊形為平行四邊形，，由，，得是二面角的平面角，即，則，又，因此，同理，而，則，所以該芻薨的體積為.故選：A.6.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，解得，又，所以.故選：B.7.設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，設(shè)甲：；乙：，則（）A.甲是乙的充分不必要條件 B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗C〖解析〗等比數(shù)列的公比為，且，當(dāng)時(shí)，，因此；當(dāng)時(shí)，有，即，而，則，又，，于是，即，又，因此，所以甲是乙的充要條件.故選：C.8.已知雙曲線，點(diǎn)，若上存在三個(gè)不同的點(diǎn)滿足，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，由點(diǎn)，，得，整理得，由，消去得，即，解得或，依題意，，則有，因此雙曲線的離心率，所以的離心率的取值范圍是.故選：A.二?多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.若和外離，則或B.若和外切，則C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一條直線與和均相切D.當(dāng)時(shí)，和內(nèi)含〖答案〗ABC〖解析〗圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，若和外離，則，解得或，故A正確；若和外切，則，解得，故B正確；當(dāng)時(shí)，，則和內(nèi)切，故僅有一條公切線，故C正確；當(dāng)時(shí)，，則和相交，故D錯(cuò)誤.故選：ABC．10.已知正實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C.的最大值為0 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗對于A，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對于B，由，可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故正確；對于C，由，可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對于D，，當(dāng)?shù)忍?hào)成文，由可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)榍昂髢纱尾坏仁饺〉葪l件不一致，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)?，所以，又在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故，故A正確；由A可知，所以，故B正確；因?yàn)閱握{(diào)遞增，且，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，有，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，又二次函?shù)的對稱軸為1，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故D正確，故選：ABD.12.在三棱錐中，平面，，P為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），與平面所成的角為，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得 D.所有滿足條件的線段形成的曲面面積〖答案〗ACD〖解析〗依題意，，取的中點(diǎn)M，則，所以平面，過A作于H，因?yàn)槠矫妫?，所以平面，易得，且H為等邊的外心，由與平面所成角為，可知，所以點(diǎn)P軌跡是以H為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部的一部分，如圖所示，所以的最小值為，A選項(xiàng)正確；由于軌跡圓部分在平面外部，所以的最大值不等于，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫妫?，則點(diǎn)P在線段上，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足題意，C選項(xiàng)正確；動(dòng)線段形成的曲面為圓錐側(cè)面積的一部分，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以曲面面積為圓錐側(cè)面的，圓錐側(cè)面積為，所以所有滿足條件的動(dòng)線段形成的曲面面積為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則______．〖答案〗〖解析〗令等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以.14.已知函數(shù)，且為曲線的一條切線，則______．〖答案〗2〖解析〗設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)，由求導(dǎo)得，切線斜率為，因此切線方程為，依題意，，且，聯(lián)立消去得，令函數(shù)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，所以.15.設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的取值范圍為，則橢C的長軸長為______．〖答案〗〖解析〗橢圓半焦距為c，為的中點(diǎn)，，顯然，于是，因此，即，解得，，即，所以橢圓C的長軸長為.16.已知函數(shù)，若，且，則______．〖答案〗〖解析〗由可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，則，又，即，所以，因?yàn)?，又，則，所以，則，即，解得（負(fù)值舍去），故，所以，則，則.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.記的內(nèi)角的對邊分別為，面積為，且．（1）求的外接圓的半徑；（2）若，且，求邊上的高．解：（1）在中，，解得，由正弦定理得的外接圓的半徑.（2）由（1）知，，由余弦定理得，則，令邊上的高為，則，即，所以邊上的高為.18.設(shè)為數(shù)列前項(xiàng)和，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：．（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，則，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，顯然符合，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）證明：由（1）知，，所以.19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)分別為的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得或，則當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，，，因此，設(shè)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以的取值范圍是.20.如圖，在四棱錐中，，設(shè)分列為棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，則，且，又，且，于是，四邊形為平行四邊形，則，又平面平面，所以平面.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，由，得，又是的中點(diǎn)，則，又是的中點(diǎn)，則，而平面，于是平面，平面，，又平面，因此平面，不妨設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、過點(diǎn)平行于的直線、直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，由為的中點(diǎn)，得，由（1）知，，直線與平面所成角即為直線與平面所成角，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，得，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.21.已知函數(shù)．（1）證明：有唯一的極值點(diǎn)；（2）若，求的取值范圍．（1）證明：函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，取，且，顯然，因此存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，無極大值，所以有唯一極值點(diǎn)（2）解：由（1）知，，即，依題意，，將代入整理得，，設(shè)，求導(dǎo)得，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，解得，因此，解得，所以的取值范圍是.22.已知拋物線為的焦點(diǎn)，在上，且．（1）求拋物線的方程；（2）若直線與交于兩點(diǎn)（分別位于直線的兩側(cè)），且直線的斜率之和為0，（?。┣笾本€的斜率；（ⅱ）求的面積的最大值．解：（1）拋物線的準(zhǔn)線為，由拋物線的定義得，解得，所以拋物線的方程為.（2）（i）將代入的方程，解得，而，解得，設(shè)，則直線斜率為，點(diǎn)，則直線斜率為，同理得直線斜率為，依題意，，解得，所以直線的斜率為.（ii）設(shè)直線，由消去x得，顯然，，由，分別位于直線兩側(cè)，得，，解得，，點(diǎn)到直線的距離，面積為，設(shè)，，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，所以面積的最大值為.河南省新未來2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，得，即，而，則，所以.故選：B.2已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，則，所以，故.故選：C.3.已知為單位向量，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)闉閱挝幌蛄浚?，則，所以.故選：D.4.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.0 C. D.2〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，由為偶函?shù)，得，則，整理得，而不恒為0，于是，即，解得，所以實(shí)數(shù).故選：D.5.芻薨是《九章算術(shù)》中出現(xiàn)的一種幾何體，如圖所示，其底面為矩形，頂棱和底面平行，書中描述了芻薨的體積計(jì)算方法：求積術(shù)曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一，即（其中是芻薨的高，即頂棱到底面的距離），已知和均為等邊三角形，若二面角和的大小均為，則該芻薨的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令點(diǎn)在平面的投影分別為，取的中點(diǎn)，連接，由平面，平面，得，由正，得，平面，則平面，同理平面，由四邊形為矩形，得，于是平面，而面，平面，則，顯然，有，且都在平面，因此點(diǎn)共線，顯然，而平面，平面平面，平面，則，四邊形為平行四邊形，，由，，得是二面角的平面角，即，則，又，因此，同理，而，則，所以該芻薨的體積為.故選：A.6.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，解得，又，所以.故選：B.7.設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，設(shè)甲：；乙：，則（）A.甲是乙的充分不必要條件 B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗C〖解析〗等比數(shù)列的公比為，且，當(dāng)時(shí)，，因此；當(dāng)時(shí)，有，即，而，則，又，，于是，即，又，因此，所以甲是乙的充要條件.故選：C.8.已知雙曲線，點(diǎn)，若上存在三個(gè)不同的點(diǎn)滿足，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，由點(diǎn)，，得，整理得，由，消去得，即，解得或，依題意，，則有，因此雙曲線的離心率，所以的離心率的取值范圍是.故選：A.二?多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.若和外離，則或B.若和外切，則C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一條直線與和均相切D.當(dāng)時(shí)，和內(nèi)含〖答案〗ABC〖解析〗圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，若和外離，則，解得或，故A正確；若和外切，則，解得，故B正確；當(dāng)時(shí)，，則和內(nèi)切，故僅有一條公切線，故C正確；當(dāng)時(shí)，，則和相交，故D錯(cuò)誤.故選：ABC．10.已知正實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C.的最大值為0 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗對于A，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對于B，由，可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故正確；對于C，由，可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對于D，，當(dāng)?shù)忍?hào)成文，由可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)榍昂髢纱尾坏仁饺〉葪l件不一致，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)椋?，又在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故，故A正確；由A可知，所以，故B正確；因?yàn)閱握{(diào)遞增，且，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，有，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，又二次函?shù)的對稱軸為1，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故D正確，故選：ABD.12.在三棱錐中，平面，，P為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），與平面所成的角為，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得 D.所有滿足條件的線段形成的曲面面積〖答案〗ACD〖解析〗依題意，，取的中點(diǎn)M，則，所以平面，過A作于H，因?yàn)槠矫?，所以，所以平面，易得，且H為等邊的外心，由與平面所成角為，可知，所以點(diǎn)P軌跡是以H為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部的一部分，如圖所示，所以的最小值為，A選項(xiàng)正確；由于軌跡圓部分在平面外部，所以的最大值不等于，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，若，則點(diǎn)P在線段上，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足題意，C選項(xiàng)正確；動(dòng)線段形成的曲面為圓錐側(cè)面積的一部分，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以曲面面積為圓錐側(cè)面的，圓錐側(cè)面積為，所以所有滿足條件的動(dòng)線段形成的曲面面積為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則______．〖答案〗〖解析〗令等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以.14.已知函數(shù)，且為曲線的一條切線，則______．〖答案〗2〖解析〗設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)，由求導(dǎo)得，切線斜率為，因此切線方程為，依題意，，且，聯(lián)立消去得，令函數(shù)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，所以.15.設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的取值范圍為，則橢C的長軸長為______．〖答案〗〖解析〗橢圓半焦距為c，為的中點(diǎn)，，顯然，于是，因此，即，解得，，即，所以橢圓C的長軸長為.16.已知函數(shù)，若，且，則______．〖答案〗〖解析〗由可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，則，又，即，所以，因?yàn)?，又，則，所以，則，即，解得（負(fù)值舍去），故，所以，則，則.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.記的內(nèi)角的對邊分別為，面積為，且．（1）求的外接圓的半徑；（2）若，且，求邊上的高．解：（1）在中，，解得，由正弦定理得的外接圓的半徑.（2）由（1）知，，由余弦定理得，則，令邊上的高為，則，即，所以邊上的高為.18.設(shè)為數(shù)列前項(xiàng)和，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：．（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，則，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，顯然符合，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）證明：由（1）知，，所以.19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)分別為的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得或，則當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，，，因此，設(shè)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以的取值范圍是.20.如圖，在四棱錐中，，設(shè)分列為棱的中點(diǎn)．（1