2025屆黑龍江省龍東十校高三上學期開學考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省龍東十校2025屆高三上學期開學考試數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D.2.若，則（）A. B. C.12 D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以.故選：C.3.函數的極值點為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，令，得，此時函數單調遞減；令，得，此時函數單調遞增.所以的極小值點為.故選：B.4.已知，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因由可得，又，由可得，故得，.故選：D.5.已知為冪函數，為常數，且，則函數的圖象經過的定點坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為冪函數的圖象過定點，即有，所以，即的圖象經過定點.故選：B.6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗必要性：由，可得，則，即.所以“”是“的必要條件；充分性；由，可得，即，則，得或.所以“”不是“的充分條件；故選：B.7.如圖1，現(xiàn)有一個底面直徑為10cm，高為25cm的圓錐容器，以的速度向該容器內注入溶液，隨著時間（單位：）的增加，圓錐容器內的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當時，圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設注入溶液的時間為（單位：）時，溶液的高為，液面半徑為，如圖可得，,則，即，則由，解得.由，當時，，即時，圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為.故選：A.8.已知函數滿足：對任意實數x，y，都有成立，且．給出下列四個結論：①；②的圖象關于點對稱；③若，則；④，．其中所有正確結論的序號是（）A.①③ B.③④ C.②③ D.②④〖答案〗C〖解析〗對于①，令，則，所以，故錯誤；對于②，令，則，所以的圖象關于對稱，所以的圖象關于點對稱，故正確；對于③，因為，若，則，故正確；對于④，令，則，可得，令，則，故錯誤.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題既是存在量詞命題又是真命題的是（）A.B.C.至少存在兩個質數的平方是偶數D.存在一個直角三角形的三個內角成等差數列〖答案〗BD〖解析〗“”不是存在量詞命題，A錯誤.，故B正確因為只有質數2的平方為偶數，所以不存在兩個質數的平方是偶數，C錯誤.內角為的直角三角形的三個內角成等差數列，D正確.故選：BD.10.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因為，所以，所以，A，B均正確.，因為，所以，C正確，D錯誤.故選：ABC.11.已知函數有4個不同的零點，則的取值可以為（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗由題意可得方程有4個不同的根.方程的2個根為，所以方程有2個不同的根，且，即函數與函數的圖象有兩個交點.當直線與函數的圖象相切時，設切點為，因為，所以解得.要使函數與函數的圖象有兩個交點，只需直線的斜率大于，即.設（），則，由，所以在上單調遞增，在單調遞減，所以的最大值為.所以.故的取值范圍為.故選：AD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若是定義在上的奇函數，當時，，則__________.〖答案〗〖解析〗因為是定義在上的奇函數，則.所以.13.已知函數，則函數的定義域為__________.〖答案〗〖解析〗由，得，由，得，則，解得，即，即函數的定義域為.14.已知函數在與上的值域均為，則的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗由題意可得.由，得，由，得.因為，所以，則解得，即的取值范圍是.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）求的〖解析〗式；（2）判斷函數的奇偶性，并說明理由；（3）求的值.解：（1）（方法一）令，得，則，所以.（方法二）因為，所以.（2）函數的定義域為關于原點對稱，且故，即為偶函數.（3）因，則由（2）可得，，故.16.已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調性.解：（1），則因為，所以曲線y=fx在點處的切線方程為，即.（2），令，得.當時，令f'x<0，得，令f'x>0，得所以上單調遞減，在上單調遞增.當時，令f'x<0，得或，令f'x>0所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，在上單調遞減，在上單調遞增.17.已知.（1）求的取值范圍；（2）求的最小值；（3）若恒成立，求的取值范圍.解：（1），因為，所以，所以.因為為減函數，所以的取值范圍是，即的取值范圍是.（2）因，所以，當且僅當，即，即時，等號成立，所以的最小值為.（3）因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以，即的取值范圍為.18.在中，分別是內角的對邊，且．（1）若為的中點，求的長；（2）若，求的值．解：（1）因為，所以，所以．因為為的中點，所以，則，即），則．故長為.（2）因為，所以，則，則即，得．又，所以，且，又因為，即，則，所以，則為銳角，所以，所以，整理得，解得或，又，所以，故.19.若函數在上存在，使得，，則稱是上的“雙中值函數”，其中稱為在上的中值點.（1）判斷函數是否是上的“雙中值函數”，并說明理由；（2）已知函數，存在，使得，且是上的“雙中值函數”，是在上的中值點.①求的取值范圍；②證明：.（1）解：函數是上的“雙中值函數”．理由如下：因為，所以.因為，，所以令，得，即，解得.因為，所以是上的“雙中值函數”.（2）①解：因為，所以.因為是上的“雙中值函數”，所以.由題意可得.設，則.當時，，則為減函數，即為減函數；當時，，則為增函數，即為增函數.故.因為，所以，所以，即取值范圍為；②證明：不妨設，則，，即，．要證，即證．設，則．設，則，所以φx在0,1上單調遞增，所以，所以，則在上單調遞減．因為，所以，即．因為，所以．因為，所以．因為，所以．由①可知在上單調遞增，所以，即得證．黑龍江省龍東十校2025屆高三上學期開學考試數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D.2.若，則（）A. B. C.12 D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以.故選：C.3.函數的極值點為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，令，得，此時函數單調遞減；令，得，此時函數單調遞增.所以的極小值點為.故選：B.4.已知，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因由可得，又，由可得，故得，.故選：D.5.已知為冪函數，為常數，且，則函數的圖象經過的定點坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為冪函數的圖象過定點，即有，所以，即的圖象經過定點.故選：B.6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗必要性：由，可得，則，即.所以“”是“的必要條件；充分性；由，可得，即，則，得或.所以“”不是“的充分條件；故選：B.7.如圖1，現(xiàn)有一個底面直徑為10cm，高為25cm的圓錐容器，以的速度向該容器內注入溶液，隨著時間（單位：）的增加，圓錐容器內的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當時，圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設注入溶液的時間為（單位：）時，溶液的高為，液面半徑為，如圖可得，,則，即，則由，解得.由，當時，，即時，圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為.故選：A.8.已知函數滿足：對任意實數x，y，都有成立，且．給出下列四個結論：①；②的圖象關于點對稱；③若，則；④，．其中所有正確結論的序號是（）A.①③ B.③④ C.②③ D.②④〖答案〗C〖解析〗對于①，令，則，所以，故錯誤；對于②，令，則，所以的圖象關于對稱，所以的圖象關于點對稱，故正確；對于③，因為，若，則，故正確；對于④，令，則，可得，令，則，故錯誤.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題既是存在量詞命題又是真命題的是（）A.B.C.至少存在兩個質數的平方是偶數D.存在一個直角三角形的三個內角成等差數列〖答案〗BD〖解析〗“”不是存在量詞命題，A錯誤.，故B正確因為只有質數2的平方為偶數，所以不存在兩個質數的平方是偶數，C錯誤.內角為的直角三角形的三個內角成等差數列，D正確.故選：BD.10.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因為，所以，所以，A，B均正確.，因為，所以，C正確，D錯誤.故選：ABC.11.已知函數有4個不同的零點，則的取值可以為（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗由題意可得方程有4個不同的根.方程的2個根為，所以方程有2個不同的根，且，即函數與函數的圖象有兩個交點.當直線與函數的圖象相切時，設切點為，因為，所以解得.要使函數與函數的圖象有兩個交點，只需直線的斜率大于，即.設（），則，由，所以在上單調遞增，在單調遞減，所以的最大值為.所以.故的取值范圍為.故選：AD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若是定義在上的奇函數，當時，，則__________.〖答案〗〖解析〗因為是定義在上的奇函數，則.所以.13.已知函數，則函數的定義域為__________.〖答案〗〖解析〗由，得，由，得，則，解得，即，即函數的定義域為.14.已知函數在與上的值域均為，則的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗由題意可得.由，得，由，得.因為，所以，則解得，即的取值范圍是.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）求的〖解析〗式；（2）判斷函數的奇偶性，并說明理由；（3）求的值.解：（1）（方法一）令，得，則，所以.（方法二）因為，所以.（2）函數的定義域為關于原點對稱，且故，即為偶函數.（3）因，則由（2）可得，，故.16.已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調性.解：（1），則因為，所以曲線y=fx在點處的切線方程為，即.（2），令，得.當時，令f'x<0，得，令f'x>0，得所以上單調遞減，在上單調遞增.當時，令f'x<0，得或，令f'x>0所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，在上單調遞減，在上單調遞增.17.已知.（1）求的取值范圍；（2）求的最小值；（3）若恒成立，求的取值范圍.解：（1），因為，所以，所以.因為為減函數，所以的取值范圍是，即的取值范圍是.（2）因，所以，當且僅當，即，即時，等號成立，所以的最小值為.（3）因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以，即的取值范圍為.18.在中，分別是內角的對邊，且．（1）若為的中點，求的長；（2）若，求的值．解：（1）因為，所以，所以．因為為的中點，所以，則，即），則．故長為.（2）因為，所以，則，則即，得．又，所以，且，又因為，即，則，所以，則為銳角，所以，所以，整理得，解得或，又，所以，故.19.若函數在上存在，使得，，則稱是上的“雙中值函數”，其中稱為在上的中值點.（1）判斷函數是否是上的“雙中值函數”，并說明理由；（2）已知函數，存在，使得，且是上的“雙中值函數”，是在