廣東省部分學校2023屆高三下學期5月份大聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省部分學校2023屆高三下學期5月份大聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設復數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗因為，所以.所以的虛部為.故選:C.2.已知集合，，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由集合，，可得，因為，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C.3.對兩組變量進行回歸分析，得到不同的兩組樣本數(shù)據(jù)，第一組對應的相關(guān)系數(shù)，殘差平方和，決定系數(shù)分別為，，，第二組對應的相關(guān)系數(shù)，殘差平方和，決定系數(shù)分別為，，，則（）A.若，則第一組變量比第二組的線性相關(guān)關(guān)系強B.若，則第一組變量比第二組的線性相關(guān)關(guān)系強C.若，則第一組變量比第二組變量擬合的效果好D.若，則第二組變量比第一組變量擬合的效果好〖答案〗B〖解析〗線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，故A錯誤，B正確；殘差平方和越小，則決定系數(shù)越大，從而兩個變量擬合的效果越好，殘差平方和越大，則決定系數(shù)越小，從而兩個變量擬合的效果越差，故C、D錯誤.故選：B.4.函數(shù)的部分圖象為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，所以為奇函數(shù)，故排除A，D；當時，，故排除B；故選：C.5.在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，，，且，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，所以由正弦定理得，即，因為，，所以，所以，即，因為，即，解得.故選：A.6.如圖，某車間生產(chǎn)一種圓臺形零件，其下底面的直徑為4cm，上底面的直徑為8cm，高為4cm，已知點是上底面圓周上不與直徑端點重合的一點，且為上底面圓的圓心，則與平面所成的角的正切值為（）A.2 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設為下底面圓的圓心，連接和，因為，所以，又因為平面，所以平面，因為是該圓臺的一條母線，所以四點共面，且，又平面，所以平面平面，又因為平面平面，所以點在平面的射影在直線上，則與平面所成的角即為，過點作于點，因為，所以.故選：A.7.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，下圖是易經(jīng)后天八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（表示一根陽線，表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，記事件“兩卦的六根線中恰有三根陽線”，“至少有一卦恰有兩根陽線”，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由八卦圖可知，八卦中全為陽線和全為陰線的卦各有一個，兩陰一陽和兩陽一陰的卦各有三個，所以，所以.故選：C.8.定義：一對軋輥的減薄率.如圖所示，為一臺搟面機的示意圖，搟面機由若干對軋輥組成，面帶從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出.已知搟面機沒對軋輥的減薄率都為0.2（軋面的過程中，面帶寬度不變，且不考慮損耗）.有一臺搟面機共有10對軋輥，所有軋輥的橫截面積均為，若第對軋輥有缺陷，每滾動一周在面帶上壓出一個疵點，在搟面機輸出的面帶上，疵點的間距為，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設軋輥的半徑為，由軋輥的橫截面積可得：，解得：，所以軋輥的周長為，由圖易知，第9對軋輥出口處疵點間距為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼體積與冷軋機出口處兩疵點間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔?，有，所以，，所以，故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，直線的方向向量為，直線的方向向量為，則（）A.B.C.與為相交直線或異面直線D.在向量上的投影向量為〖答案〗BC〖解析〗因為平面的一個法向量為，直線的方向向量為，則，即，則或，故A不正確；又平面的一個法向量為，所以，即，所以，故B正確；由直線的方向向量為，所以不存在實數(shù)使得，故與為相交直線或異面直線，故C正確；在向量上的投影向量為，故D不正確.故選：BC.10.若點在雙曲線（，）的一條斜率為正的漸近線的右側(cè)，為半焦距，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗可得雙曲線的一條斜率為正的漸近線方程為:，因在右側(cè),所以，故,故C錯誤；所以,故D正確；對A：要證，即證，即證，顯然成立，故A正確；對B：，故B正確；故選:ABD.11.若，則（）A.可以被整除B可以被整除C.被27除的余數(shù)為6D.的個位數(shù)為6〖答案〗AB〖解析〗，可以被整除，故A正確；，可以被整除，故B正確；，被27除的余數(shù)為5，故C錯誤；，個位數(shù)為，故D錯誤.故選：AB.12.若存在直線與曲線都相切，則的值可以是（）A.0 B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗設該直線與相切于點，因為，所以，所以該切線方程為，即.設該直線與相切于點，因為，所以，所以該切線方程，即，所以，所以，令，所以當時，0；當時，；和上單調(diào)遞減；在和上單調(diào)遞增；又，所以，所以，解得，所以的取值范圍為，所以A正確；對于B，，所以，所以B正確；對于C，因為，所以C正確；對于D，因為，所以D不正確.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設，，，是四個命題，是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，是的充分必要條件，那么是的______條件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要四選一）〖答案〗充分不必要〖解析〗因為是的必要不充分條件，所以，但，是的充分不必要條件，所以，但A，是的充分必要條件，所以，但D，所以，但D，故是的充分不必要條件.14.若等差數(shù)列前項和為，且，，數(shù)列的前10項的和為______.〖答案〗〖解析〗設等差數(shù)列的首項為，公差為，則，解得，故，所以，所以數(shù)列的前10項的和為.15.設內(nèi)接于橢圓，與橢圓的上頂點重合，邊過的中心，若邊上中線過點，其中為橢圓的半焦距，則該橢圓的離心率為______.〖答案〗〖解析〗如圖：邊過的中心，所以為的中點，則為邊上的中線，邊上中線過點，所以兩中線的交點為，即為的重心，所以，即，則，所以，所以，所以，所以.16.設函數(shù)在上的值域為，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗函數(shù)的周期，而，當函數(shù)在上單調(diào)時，，當函數(shù)在上不單調(diào)時，由正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)知，當在上的圖象關(guān)于直線對稱時，最小，此時，即，因此，所以的取值范圍是.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知正項等比數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項和.（1）證明：設等比數(shù)列的公比為，因為成等差數(shù)列，所以1，所以，即，又正項等比數(shù)列，所以，解得，因為，所以，得，所以，所以，，所以，又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；（2）解：由（1）得，，所以，所以①②①-②得，，整理得：.18.西藏隆子縣玉麥鄉(xiāng)位于喜馬拉雅山脈南麓，地處邊疆，山陡路險，交通閉塞.黨的十八大以來，該地區(qū)政府部門大力開發(fā)旅游等產(chǎn)業(yè)，建設幸福家園，實現(xiàn)農(nóng)旅融合，以創(chuàng)建國家全域旅游示范區(qū)為牽引，構(gòu)建“農(nóng)業(yè)+文創(chuàng)+旅游”發(fā)展模式，真正把農(nóng)村建設成為“望得見山、看得見水、記得住鄉(xiāng)愁”的美麗鄉(xiāng)村，在新政策的影響下，游客越來越多.當?shù)芈糜尉纸y(tǒng)計了玉麥鄉(xiāng)景區(qū)2023年1月份到5月份的接待游客人數(shù)（單位：萬人），統(tǒng)計結(jié)果如下：月份12345接待游客人數(shù)（單位：萬人）1.21.82.53.23.8（1）求相關(guān)系數(shù)的值，當時，線性關(guān)系為較強，請說明2023年1-5月份與接待游客人數(shù)之間線性關(guān)系的強弱；若線性相關(guān)，求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）為打造群眾滿意的旅游區(qū)，該地旅游部門對所推出的報團游和自助游項目進行了深入調(diào)查，下表是從接待游客中隨機抽取的30位游客的滿意度調(diào)查表，請將下述列聯(lián)表補充完整，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析游客對本地景區(qū)的滿意度是否與報團游或自助游有關(guān)聯(lián).報團游自助游合計滿意318不滿意5合計1030附：線性回歸方程的斜率及截距的最小二乘法估計分別為，相關(guān)系數(shù)，，參考數(shù)據(jù)：.附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）由題中數(shù)據(jù)可得：，，又，.故2023年1-5月份與接待游客人數(shù)之間有較強的線性相關(guān)程度.由上可知，，，關(guān)于的線性回歸方程為；（2）零假設為：游客對本地景區(qū)滿意度與報團游或自助游無關(guān)聯(lián)，依題意，完善表格如下：報團游自助游合計滿意15318不滿意5712合計201030根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為游客對本地景區(qū)滿意度與報團游或自助游有關(guān)聯(lián).19.記的內(nèi)角的對邊分別為，分別以為邊長的正三角形的面積依次為，已知.（1）計算的面積；（2）若，求.解：（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，因為，所以，所以，.（2）因為，所以，，由正弦定理得，，所以，所以，所以20.如圖，為圓柱的下底面的直徑，分別為上的點，線段與線段交于點.（1）證明：為線段的中點；（2）若圓柱的體積和側(cè)面積都為，且與下底面所成的角為，求平面與平面所成銳角的余弦值.（1）證明：連接，如圖所示，因為線段與線段交于點，所以，四點共面，又因為圓柱的上下底面平行，所以，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，即為線段的中點；（2）解：設圓柱的底面半徑和高分別為，因為圓柱的體積和側(cè)面積都為，所以，所以.延長交于點，連接，因為在上，為的直徑，所以，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面，所以為直線與下底面所成的角，所以，因為，所以，所以.因為兩兩垂直，如圖所示，以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系.所以，，所以，設平面的法向量為，，則，令，則，設平面的法向量為，則有，則，令，則，設平面與平面所成的銳角為，所以，即平面與平面所成銳角的余弦值為.21.在平面直角坐標系中中，動點到定點的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.（1）求曲線的方程；（2）已知點，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點，且，求與面積之和的最小值.解：（1）設動點的坐標為，由已知得，，化簡得：，故曲線的方程為.（2）如圖：因為點，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點，所以當直線的斜率為0時，不適合題意；當直線的斜率不為0時，設直線的方程為，由得，，，所以，由，得，因為，所以，所以，所以，解得：或（舍去），當時，直線的方程為，直線過定點，且滿足，且，所以，當且僅當，即，時取等號，故最小值為.22.已知函數(shù)，.（1）當時，證明：在上恒成立；（2）判斷函數(shù)的零點個數(shù).（1）證明：當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增.故，所以，即在上恒成立.（2）解：，其定義域為：..當時，令得：.若，，所以為減函數(shù)；若，，所以為增函數(shù).所以，所以此時沒有零點；當時，令得：，或.若，，所以為增函數(shù)；若，，所以為減函數(shù)；若，，所以為增函數(shù).所以的極大值為，極小值為.此時時，，時，.所以此時有個零點；當時，，所以在單調(diào)遞增.此時時，；時，.所以此時有個零點；當時，令得：，或.若，，所以為增函數(shù)；若，，所以為減函數(shù)；若，，所以為增函數(shù).所以的極大值為，極小值為.此時時，，時，，所以有個零點.綜上所述：當時，沒有零點；當時，有個零點.廣東省部分學校2023屆高三下學期5月份大聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設復數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗因為，所以.所以的虛部為.故選:C.2.已知集合，，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由集合，，可得，因為，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C.3.對兩組變量進行回歸分析，得到不同的兩組樣本數(shù)據(jù)，第一組對應的相關(guān)系數(shù)，殘差平方和，決定系數(shù)分別為，，，第二組對應的相關(guān)系數(shù)，殘差平方和，決定系數(shù)分別為，，，則（）A.若，則第一組變量比第二組的線性相關(guān)關(guān)系強B.若，則第一組變量比第二組的線性相關(guān)關(guān)系強C.若，則第一組變量比第二組變量擬合的效果好D.若，則第二組變量比第一組變量擬合的效果好〖答案〗B〖解析〗線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，故A錯誤，B正確；殘差平方和越小，則決定系數(shù)越大，從而兩個變量擬合的效果越好，殘差平方和越大，則決定系數(shù)越小，從而兩個變量擬合的效果越差，故C、D錯誤.故選：B.4.函數(shù)的部分圖象為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，所以為奇函數(shù)，故排除A，D；當時，，故排除B；故選：C.5.在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，，，且，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，所以由正弦定理得，即，因為，，所以，所以，即，因為，即，解得.故選：A.6.如圖，某車間生產(chǎn)一種圓臺形零件，其下底面的直徑為4cm，上底面的直徑為8cm，高為4cm，已知點是上底面圓周上不與直徑端點重合的一點，且為上底面圓的圓心，則與平面所成的角的正切值為（）A.2 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設為下底面圓的圓心，連接和，因為，所以，又因為平面，所以平面，因為是該圓臺的一條母線，所以四點共面，且，又平面，所以平面平面，又因為平面平面，所以點在平面的射影在直線上，則與平面所成的角即為，過點作于點，因為，所以.故選：A.7.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，下圖是易經(jīng)后天八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（表示一根陽線，表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，記事件“兩卦的六根線中恰有三根陽線”，“至少有一卦恰有兩根陽線”，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由八卦圖可知，八卦中全為陽線和全為陰線的卦各有一個，兩陰一陽和兩陽一陰的卦各有三個，所以，所以.故選：C.8.定義：一對軋輥的減薄率.如圖所示，為一臺搟面機的示意圖，搟面機由若干對軋輥組成，面帶從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出.已知搟面機沒對軋輥的減薄率都為0.2（軋面的過程中，面帶寬度不變，且不考慮損耗）.有一臺搟面機共有10對軋輥，所有軋輥的橫截面積均為，若第對軋輥有缺陷，每滾動一周在面帶上壓出一個疵點，在搟面機輸出的面帶上，疵點的間距為，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設軋輥的半徑為，由軋輥的橫截面積可得：，解得：，所以軋輥的周長為，由圖易知，第9對軋輥出口處疵點間距為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼體積與冷軋機出口處兩疵點間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔?，有，所以，，所以，故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，直線的方向向量為，直線的方向向量為，則（）A.B.C.與為相交直線或異面直線D.在向量上的投影向量為〖答案〗BC〖解析〗因為平面的一個法向量為，直線的方向向量為，則，即，則或，故A不正確；又平面的一個法向量為，所以，即，所以，故B正確；由直線的方向向量為，所以不存在實數(shù)使得，故與為相交直線或異面直線，故C正確；在向量上的投影向量為，故D不正確.故選：BC.10.若點在雙曲線（，）的一條斜率為正的漸近線的右側(cè)，為半焦距，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗可得雙曲線的一條斜率為正的漸近線方程為:，因在右側(cè),所以，故,故C錯誤；所以,故D正確；對A：要證，即證，即證，顯然成立，故A正確；對B：，故B正確；故選:ABD.11.若，則（）A.可以被整除B可以被整除C.被27除的余數(shù)為6D.的個位數(shù)為6〖答案〗AB〖解析〗，可以被整除，故A正確；，可以被整除，故B正確；，被27除的余數(shù)為5，故C錯誤；，個位數(shù)為，故D錯誤.故選：AB.12.若存在直線與曲線都相切，則的值可以是（）A.0 B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗設該直線與相切于點，因為，所以，所以該切線方程為，即.設該直線與相切于點，因為，所以，所以該切線方程，即，所以，所以，令，所以當時，0；當時，；和上單調(diào)遞減；在和上單調(diào)遞增；又，所以，所以，解得，所以的取值范圍為，所以A正確；對于B，，所以，所以B正確；對于C，因為，所以C正確；對于D，因為，所以D不正確.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設，，，是四個命題，是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，是的充分必要條件，那么是的______條件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要四選一）〖答案〗充分不必要〖解析〗因為是的必要不充分條件，所以，但，是的充分不必要條件，所以，但A，是的充分必要條件，所以，但D，所以，但D，故是的充分不必要條件.14.若等差數(shù)列前項和為，且，，數(shù)列的前10項的和為______.〖答案〗〖解析〗設等差數(shù)列的首項為，公差為，則，解得，故，所以，所以數(shù)列的前10項的和為.15.設內(nèi)接于橢圓，與橢圓的上頂點重合，邊過的中心，若邊上中線過點，其中為橢圓的半焦距，則該橢圓的離心率為______.〖答案〗〖解析〗如圖：邊過的中心，所以為的中點，則為邊上的中線，邊上中線過點，所以兩中線的交點為，即為的重心，所以，即，則，所以，所以，所以，所以.16.設函數(shù)在上的值域為，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗函數(shù)的周期，而，當函數(shù)在上單調(diào)時，，當函數(shù)在上不單調(diào)時，由正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)知，當在上的圖象關(guān)于直線對稱時，最小，此時，即，因此，所以的取值范圍是.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知正項等比數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項和.（1）證明：設等比數(shù)列的公比為，因為成等差數(shù)列，所以1，所以，即，又正項等比數(shù)列，所以，解得，因為，所以，得，所以，所以，，所以，又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；（2）解：由（1）得，，所以，所以①②①-②得，，整理得：.18.西藏隆子縣玉麥鄉(xiāng)位于喜馬拉雅山脈南麓，地處邊疆，山陡路險，交通閉塞.黨的十八大以來，該地區(qū)政府部門大力開發(fā)旅游等產(chǎn)業(yè)，建設幸福家園，實現(xiàn)農(nóng)旅融合，以創(chuàng)建國家全域旅游示范區(qū)為牽引，構(gòu)建“農(nóng)業(yè)+文創(chuàng)+旅游”發(fā)展模式，真正把農(nóng)村建設成為“望得見山、看得見水、記得住鄉(xiāng)愁”的美麗鄉(xiāng)村，在新政策的影響下，游客越來越多.當?shù)芈糜尉纸y(tǒng)計了玉麥鄉(xiāng)景區(qū)2023年1月份到5月份的接待游客人數(shù)（單位：萬人），統(tǒng)計結(jié)果如下：月份12345接待游客人數(shù)（單位：萬人）1.21.82.53.23.8（1）求相關(guān)系數(shù)的值，當時，線性關(guān)系為較強，請說明2023年1-5月份與接待游客人數(shù)之間線性關(guān)系的強弱；若線性相關(guān)，求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）為打造群眾滿意的旅游區(qū)，該地旅游部門對所推出的報團游和自助游項目進行了深入調(diào)查，下表是從接待游客中隨機抽取的30位游客的滿意度調(diào)查表，請將下述列聯(lián)表補充完整，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析游客對本地景區(qū)的滿意度是否與報團游或自助游有關(guān)聯(lián).報團游自助游合計滿意318不滿意5合計1030附：線性回歸方程的斜率及截距的最小二乘法估計分別為，相關(guān)系數(shù)，，參考數(shù)據(jù)：.附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）由題中數(shù)據(jù)可得：，，又，.故2023年1-5月份與接待游客人數(shù)之間有較強的線性相關(guān)程度.由上可知，，，關(guān)于的線性回歸方程為；（2）零假設為：游客對本地景區(qū)滿意度與報團游或自助游無關(guān)聯(lián)，依題意，完善表格如下：報團游自助游合計滿意15318不滿意5712合計201030根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為游客對本地景區(qū)滿意度與報團游或自助游有關(guān)聯(lián).19.記的內(nèi)角的對邊分別為，分別以為邊長的正三角形的面積依次為，已知.（1）計算的面積；（2）若，求.解：（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，因為，所以，所以，.（2）因為，所以，，由正弦定理得，，所以，所以，所以20.如圖，為圓柱的下底面的