《第十六章二次根式》知識(shí)串講熱考題型

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十六章二次根式》本章知識(shí)綜合運(yùn)用二次根式有關(guān)概念二次根式有關(guān)概念●●1、二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“”稱為二次根號(hào)，a為被開方數(shù).●●2、代數(shù)式的定義：用基本運(yùn)算符號(hào)（基本運(yùn)算符號(hào)包括：加、減、乘、除、乘方和開方）把表示數(shù)或字母連接起來的式子，稱為代數(shù)式.●●3、最簡二次根式概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式．●●4、可合并的二次根式概念：把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是可以合并的二次根式．二次根式的有關(guān)性質(zhì)二次根式的有關(guān)性質(zhì)●●1、a的性質(zhì)：a≥0；a●●2、（a）2（a≥0）的性質(zhì)：（a）2＝a（a≥0）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式）．●●3、a2的性質(zhì)：a2=|a|二次根式的相關(guān)運(yùn)算二次根式的相關(guān)運(yùn)算●●1、二次根式的乘除法二次根式的乘法法則：兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.二次根式的除法法則：兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.用字母表示為：（1）二次根式的乘法法則：a?b=a?b（a≥0（2）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：a?b=a?b（a≥0（3）二次根式的除法法則：ab=ab（a≥0，（4）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：ab=ab（a≥0，●●2、二次根式的加減法二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.合并方法為系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變．●●3、二次根式的混合運(yùn)算（1）二次根式的混合運(yùn)算是指二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算．（2）二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序是一樣：先乘方、再乘除、最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）．題型題型一根據(jù)二次根式是整數(shù)求字母的取值【例題1】（2021春?德宏州期末）已知20-n是整數(shù)，則自然數(shù)nA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】由二次根式的定義即可求出答案．【解答】解：由于20﹣n≥0，且n≥0，∴0≤n≤20，由于20-n∴20﹣n＝0或1或4或9或16，解得：n＝20或19或16或11或4，一共5個(gè)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式有意義的條件．解題技巧提煉先通過二次根式的定義求出自然數(shù)n的范圍，再由二次根式的性質(zhì)確定20﹣n是一個(gè)完全平方數(shù)，最后通過分類討論思想求出自然數(shù)的所有可能取的值.【變式11】（2022春?溫州期中）若12-n是整數(shù)，則滿足條件的自然數(shù)n的值可以是【分析】先確定n的取值范圍，再根據(jù)代數(shù)式是整式寫一個(gè)滿足題意的n即可．【解答】解：∵12﹣n≥0，∴n≤12，∵12-n∴當(dāng)12﹣n＝1時(shí)，n＝11．故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式12】已知24n是整數(shù)，求正整數(shù)n【分析】根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出正整數(shù)n的最小值即可．【解答】解：∵24n是整數(shù)，n∴24n＝144，即n＝6，則正整數(shù)n的最小值為6．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式13】已知18-n是整數(shù)，求自然數(shù)n【分析】根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出自然數(shù)n的值即可；【解答】解：∵18-n∴18﹣n＝0，18﹣n＝1，18﹣n＝4，18﹣n＝9，18﹣n＝16，解得：n＝18，n＝17，n＝14，n＝9，n＝2，則自然數(shù)n的值為2，9，14，17，18；【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．題型二題型二二次根式與絕對(duì)值的綜合運(yùn)用【例題2】已知實(shí)數(shù)x滿足|2017﹣x|+x-2018=x，求x【分析】由絕對(duì)值的性質(zhì)和已知，先求出x的值，再計(jì)算20172的值．【解答】解：∵實(shí)數(shù)x滿足|2017﹣x|+x-∴x≥2018．∴x﹣2017+x-即x-2018∴x﹣2018＝20172．∴x＝20172+2018．∴x﹣20172＝20172+2018﹣20172＝2018．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，掌握絕對(duì)值的意義、二次根式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉靈活利用二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡計(jì)算是解題的關(guān)鍵.1、的性質(zhì)：具有雙重非負(fù)性，即，即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)；2、，即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身；3、，即一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它的絕對(duì)值.【變式21】（2022春?灌云縣期末）a2=|a（1）化簡：(-3)2=，(3-π（2）已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡﹣|c﹣a|+(【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）由數(shù)軸可得a＜b＜0＜c，從而可得c﹣a＞0，b﹣c＜0，再進(jìn)行化簡即可．【解答】解：（1）(-3)＝|﹣3|＝3，(3-π＝|3﹣π|＝π﹣3，故答案為：3，π﹣3；（2）由數(shù)軸得：a＜b＜0＜c，∴c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴﹣|c﹣a|+＝﹣（c﹣a）+c﹣b＝﹣c+a+c﹣b＝a﹣b．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的化簡，數(shù)軸，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的知識(shí)的掌握．【變式22】已知x2+8x+16+x2【分析】先由x2+8x+16+x2-12x+36=10，求得x的取值范圍，再判定【解答】解：x2+8(x|x+4|+|x﹣6|＝10，當(dāng)x+4＞0，x﹣6＜0時(shí)，|x+4|+|x﹣6|＝10成立，∴﹣4＜x＜6，∴2x+8＞0，x﹣6＜0，(2x+8)2+2|x﹣6|＝|2x+8|+2|x﹣6|＝2x+8﹣2（x﹣6）＝2x+8﹣2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解決本題的關(guān)鍵是確定x的取值范圍．【變式23】（2022秋?南江縣校級(jí)期中）若﹣1≤x≤2，化簡：|x﹣2|+x【分析】首先根據(jù)x的范圍確定x﹣2、x+1以及x﹣3的符號(hào)，然后去掉絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行化簡即可．【解答】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+1≥0，x﹣3＜0，則原式＝2﹣x+|x+1|+|x﹣3|＝2﹣x+x+1+3﹣x＝6﹣x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡求值，正確理解絕對(duì)值的性質(zhì)是關(guān)鍵．【變式24】（2021春?姜堰區(qū)期末）小明在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，碰到這樣一道題，他嘗試著運(yùn)用分類討論的方法解題如下：題目：若代數(shù)式(m-1)2+解：原式＝|m﹣1|+|m﹣2|，當(dāng)m＜1時(shí)，原式＝（1﹣m）+（2﹣m）＝3﹣2m＝1，解得m＝1（舍去）；當(dāng)1≤m≤2時(shí)，原式＝（m﹣1）+（2﹣m）＝1，符合條件；當(dāng)m＞2時(shí)，原式＝（m﹣1）+（m﹣2）＝2m﹣3＝1，解得m＝2（舍去）；所以，m的取值范圍是1≤m≤2．請(qǐng)你根據(jù)小明的做法，解答下列問題：（1）當(dāng)3≤m≤5時(shí)，化簡：(m-3)2（2）若代數(shù)式(2-m)2-(【分析】（1）先利用二次根式的性質(zhì)得到原式＝|m﹣3|+|m﹣5|，再根據(jù)m的范圍去絕對(duì)值，然后合并即可；（2）先利用二次根式的性質(zhì)得到原式＝|m﹣2|﹣|m﹣6|，再討論：m＜2或2≤m≤6或m＞6，然后分別去絕對(duì)值確定滿足條件的m的范圍．【解答】解：∵3≤m≤5，∴(m-3)2+(m＝m﹣3﹣（m﹣5）＝m﹣3﹣m+5＝2；故答案為2；（2）原式＝|m﹣2|﹣|m﹣6|，當(dāng)m＜2時(shí)，原式＝（2﹣m）﹣（6﹣m）＝﹣4，不符合條件；當(dāng)2≤m≤6時(shí)，原式＝（m﹣2）﹣（6﹣m）＝2m﹣8＝4，解得m＝6，符合條件；當(dāng)m＞6時(shí)，原式＝（m﹣2）﹣（m﹣6）＝4，符合條件；所以m的取值范圍是m≥6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡：熟練掌握二次根式的性質(zhì)和分類討論的思想是解決問題的關(guān)鍵．題型三題型三二次根式與三角形的綜合運(yùn)用【例題3】設(shè)a，b，c分別為一三角形的三邊長，試化簡：(a+b+c)2+|【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出a+b+c，a﹣b﹣c，b﹣a﹣c及c﹣b﹣a的符號(hào)，再把二次根式進(jìn)行化簡即可．【解答】解：∵a，b，c分別為一三角形的三邊長，∴a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴原式＝a+b+c﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）+（c﹣b﹣a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c+c﹣b﹣a＝4c．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，熟知三角形的三邊關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．解題技巧提煉運(yùn)用a2=|a|進(jìn)行化簡時(shí)，一定要結(jié)合具體問題，本題結(jié)合相關(guān)的幾何圖形的特征，三角形的兩邊之和大于第三邊確定【變式31】已知a、b、c是△ABC的三邊，化簡：(a【分析】由a，b，c為三角形三邊，利用三角形三邊關(guān)系判斷即可得到結(jié)果．【解答】解：∵a，b，c為△ABC三邊，∴a+b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，則原式＝0+a+c﹣b﹣（a+b﹣c）＝a+c﹣b﹣a﹣b+c＝2c﹣2b．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，以及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式32】已知三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長為c，化簡（|2-c|）2【分析】首先利用三角形三邊關(guān)系得出c的取值范圍，進(jìn)而化簡求出答案．【解答】解：∵三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長為c，∴2＜c＜8，∴（|2-c|）＝c﹣2-＝c﹣2﹣（4-12=32c﹣【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡，正確得出c的取值范圍是解題關(guān)鍵．題型四題型四二次根式乘除法法則成立的條件【例題4】等式x+3?x-3=x【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)得出x+3≥0，x﹣3≥0進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵x+3?x∴x+3≥0，x﹣3≥0，解得：x≥3．故答案為：x≥3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)，正確利用二次根式的定義分析是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉式子a?b=a?b成立的條件是a≥0式子ab=ab成立的條件是a≥0且【變式41】（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）如果4x2-1=2x+1?2【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合不等式組的解法，分析得出答案．【解答】解：∵4x2-∴2x解得：x≥1故答案為：x≥1【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的乘法以及二次根式有意義的條件、一元一次不等式組的解法，正確得出不等式組是解題關(guān)鍵．【變式42】（2022?綿陽模擬）等式x2(xA． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出x的范圍．【解答】解：由題意可知：x≤0解得：﹣1≤x≤0，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的意義，二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式有意義的條件．【變式43】（2022秋?萬柏林區(qū)校級(jí)月考）等式1-xx-A．x≤1 B．x＞3 C．1≤x＜3 D．x＜3【分析】根據(jù)二次根式的有意義的條件即可求出答案．【解答】解：由題意可知：1-xx-3≥∴x-1∴x﹣1≤0，x﹣3＞0或x﹣1≥0，x﹣3＜0，∴1≤x＜3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的有意義的條件．題型五題型五把二次根式根號(hào)外的因數(shù)（式）移到根號(hào)內(nèi)【例題5】把下列各式中根號(hào)外的因式適當(dāng)改變后移到根號(hào)內(nèi)．（1）25；（2）﹣412；（3）（2﹣x）7【分析】（1）根據(jù)a2=a（a≥0）可得2（2）根據(jù)a2=a（a≥0）可得﹣4（3）首先分析2﹣x是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，根據(jù)二次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)可得2﹣x＜0，然后再把2﹣x化為-(【解答】解：（1）原式=2（2）原式=-4（3）原式=-(【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握a2=a（a解題技巧提煉把二次根式根號(hào)外的因數(shù)（式）移到根號(hào)內(nèi)時(shí)，應(yīng)先判斷根號(hào)外的因數(shù)（式）的正負(fù)，若為非負(fù)數(shù)，直接平方后移到根號(hào)內(nèi)；若為負(fù)數(shù)，平方后移到根號(hào)內(nèi)并在根號(hào)外加負(fù)號(hào).【變式51】（2022春?涼州區(qū)期末）若把x-1A．x B．-x C．-x D【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：∵-1x∴x＜0，∴原式=-=--故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)．【變式52】（2022春?綏濱縣期末）把（m﹣1）11-m中根號(hào)前的（m﹣A．m-1 B．1-m C．-m【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由題意可知：11-∴1﹣m＞0，∴原式=-=-1-故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)．【變式53】把下列各式中根號(hào)外的因數(shù)（式）移到根號(hào)內(nèi)．（1）﹣xyyx；（2）737；（3）﹣53；（4）3b【分析】（1）根據(jù)題意可得出x與y同號(hào)，進(jìn)而將xy平方后代入根號(hào)內(nèi)化簡即可，注意整體的符號(hào)；（2）根據(jù)題意將7平方后代入根號(hào)內(nèi)化簡即可；（3）根據(jù)題意可得﹣5＜0，進(jìn)而將5平方后代入根號(hào)內(nèi)化簡即可，注意整體的符號(hào)；（4）根據(jù)題意將3b平方后代入根號(hào)內(nèi)化簡即可；【解答】解：（1）﹣xyyx（2）737（3）﹣53=-（4）3b23【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡，正確將根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)注意整體符號(hào)是解題關(guān)鍵．題型六題型六二次根式的運(yùn)算在實(shí)際生活中的應(yīng)用【例題6】（2022春?潼南區(qū)期中）在一塊矩形的土地上種植草坪，該矩形土地的長為128m、寬為75m．（1）求該矩形土地的周長；（2）若種植造價(jià)每平方米160元，求在該矩形土地上全部種植草坪的總費(fèi)用．（提示：結(jié)果保留整數(shù)，6≈2.4【分析】（1）根據(jù)矩形周長公式進(jìn)行計(jì)算，并化簡即可；（2）根據(jù)矩形面積公式先算出面積，而后乘以每平方米的價(jià)錢即可．【解答】解：（1）2（128+75）＝2（82+53）＝162+10即該矩形土地的周長為（162+103）m（2）128×75=82×53=406160×96＝15360（元）．故在該矩形土地上全部種植草坪的總費(fèi)用約為15360元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用，矩形的周長與面積公式，掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉先認(rèn)真分析題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成二次根式的加減乘除運(yùn)算問題，然后按照二次根式的運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性和結(jié)果的要求.【變式61】（2022春?陵城區(qū)期中）如圖，有一張邊長為63cm的正方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個(gè)角剪掉，制作一個(gè)有底無蓋的長方體盒子，剪掉的四個(gè)角是面積相等的小正方形，此小正方形的邊長為3cm．（1）求長方體盒子的容積；（2）求這個(gè)長方體盒子的側(cè)面積．【分析】（1）結(jié)合題意可知該長方體盒子的長為63-23=43(cm)，寬為（2）該長方體盒子的側(cè)面為長方形，長為63-23=43【解答】解：（1）由題意可知：長方體盒子的容積為：(6=43=483（cm3答：長方體盒子的容積為483c（2）長方體盒子的側(cè)面積為：(6=43＝48（cm2），答：這個(gè)長方體盒子的側(cè)面積為48cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用，關(guān)鍵是結(jié)合圖形，結(jié)合二次根式的乘法法則求解．【變式62】（2022春?漢濱區(qū)期中）三角形的周長為（55+210）cm，面積為（206+45）cm2，已知兩邊的長分別為45cm和40cm，求：（（2）第三邊上的高．【分析】（1）根據(jù)第三邊等于周長減去另兩邊之和，即可求出第三邊的長；（2）根據(jù)三角形的高等于三角形的面積的2倍除以底邊即可求出第三邊上的高．【解答】解：（1）∵三角形周長為(55+210)cm，兩邊長分別為45cm和∴第三邊的長是：(55+2（2）∵面積為（206+45）cm2∴第三邊上的高為2(206+45)2【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【變式63】（2022春?云南期末）某居民小區(qū)有塊形狀為矩形ABCD的綠地，長BC為128米，寬AB為50米，現(xiàn)在要矩形綠地中修建兩個(gè)形狀大小相同的長方形花壇（即圖中陰影部分），每個(gè)長方形花壇的長為(13+1)米，寬為（1）求矩形ABCD的周長．（結(jié)果化為最簡二次根式）（2）除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價(jià)為6元/平方米的地磚，要鋪完整個(gè)通道，則購買地磚需要花費(fèi)多少元？【分析】（1）根據(jù)矩形的周長＝（長+寬）×2計(jì)算即可；（2）先求出通道的面積，再算錢數(shù)即可．【解答】解：（1）（128+50＝（82+52）＝132×＝262（米），答：矩形ABCD的周長為262米；（2）128×50-2×（13+1）×＝82×52-2×（13﹣＝80﹣24＝56（平方米），6×56＝336（元），答：購買地磚需要花費(fèi)336元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用，最簡二次根式，掌握ab=a?b（a≥0，b【變式64】如果一個(gè)三角形的三邊的長分別為a，b，c，那么可以根據(jù)海倫﹣秦九韶公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)[其中p=12【分析】將a=5【解答】解：令a=5∴p=∴S2＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）=3+3=3+3=(3=45-9＝9，∵S＞0，∴S＝3，故三邊長分別為5，3，25的三角形的面積為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的運(yùn)算，關(guān)鍵是根據(jù)題意列式求解．題型七題型七二次根式的大小比較【例題7】比較二次根式的大?。海?）；（2）．【分析】（1）把根號(hào)外的因式平方后移入根號(hào)內(nèi)，根據(jù)此時(shí)被開方數(shù)的大小比較即可；（2）首先比較出它們的平方的大小關(guān)系；然后根據(jù)：兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)平方大的反而小，判斷出它們的大小關(guān)系即可．【解答】解：（1）∵，，∵，∴＜.∵，∵45＜50，∴＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，實(shí)數(shù)的大小比較等知識(shí)點(diǎn)，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關(guān)鍵．解題技巧提煉利用二次根式的性質(zhì)比較兩個(gè)二次根式的大小：方法一移動(dòng)因式法：可以把根號(hào)外的因式平方后移入根號(hào)內(nèi)，根據(jù)此時(shí)被開方數(shù)的大小比較即可；方法二平方法：可以把這兩個(gè)二次根式分別進(jìn)行平方，比較平方的大小，再比較原數(shù)的大小，注意是負(fù)數(shù)的，平方大的那個(gè)負(fù)數(shù)反而?。椒ㄈ汗浪愣胃降拇笮肀容^大小.【變式71】（2022春?關(guān)嶺縣期末）王老師在小結(jié)時(shí)總結(jié)了這樣一句話“對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)a，b，如果a＞b，那么a＞b”，然后講解了一道例題：比較15200解：(15200)2=125×200＝8，（23）2＝4×3＝12．參考上面例題的解法，解答下列問題：（1）比較﹣56與﹣65的大小；（2）比較7+1與5【分析】（1）先分別求出兩數(shù)的平方，再根據(jù)求出的結(jié)果比較大小即可；（2）先分別求出兩數(shù)的平方，再根據(jù)求出的結(jié)果比較大小即可．【解答】解：（1）（﹣56）2＝25×6＝150，（﹣65）2＝36×5＝180，∵150＜180，∴﹣56＞-6（2）（7+1）2＝7+27+1＝8+27=8+28，（5+3）2＝5+215+∵28＜∴7+1＜【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，實(shí)數(shù)的大小比較和不等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關(guān)鍵．【變式72】用平方法比較6+11與【分析】先計(jì)算兩個(gè)數(shù)的平方，再根據(jù)平方法的比較原理進(jìn)行判斷即可．【解答】解：(6+11(14+3∵17+266＞17+42∴(∴6【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查運(yùn)用平方法比較二次根式的大小，知道平方法的比較原理（當(dāng)數(shù)大于1時(shí)，平方越大，數(shù)越大；當(dāng)數(shù)大于0且小于1時(shí)，平方越大，數(shù)越小）并會(huì)計(jì)算二次根式的平方是解題的關(guān)鍵．【變式73】（2021秋?山亭區(qū)期末）數(shù)學(xué)課上，老師出了一道題：比較19-23小華的方法是：因?yàn)?9＞4，所以19-22，所以19-2323（填“＞小英的方法是：19-23-23=19-43，因?yàn)?9＞42＝16，所以19-40，所以19-43（1）根據(jù)上述材料填空；（2）請(qǐng)從小華和小英的方法中選擇一種比較6-14【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)即可解答；（2）仿照例題的方法進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）小華的方法是：因?yàn)?9＞4，所以19-2＞2，所以小英的方法是：19-23-23=19-43，因?yàn)?9＞42＝16，19-23-23=故答案為：＞，＞，＞，＞，＞；（2）如果選擇小華的方法，∵6＜∴6-∴6-如果選擇小英的方法，6-∵6＜9，∴6＜3∴6-3＜0∴6-3∴6-【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，熟練掌握作差法比較大小的方法是解題的關(guān)鍵．【變式74】課堂上老師講解了比較11-10和15-14的方法，觀察發(fā)現(xiàn)11﹣10＝15﹣111115因?yàn)?5+14＞11+請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方法比較8+3與【分析】直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而計(jì)算得出答案．【解答】解：∵（8+3）2＝8+28×3+（6+5）2＝6+2×6×5∴11+224＜11+230∴（8+3）2＜（6+∵8+3＞0，∴8+【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)比較大小，正確應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．【變式75】閱讀下面問題：12+1=2-1；（1）根據(jù)以上規(guī)律推測，化簡：①17+6；②1（2）根據(jù)你的推測，比較15-14和【分析】（1）①根據(jù)題目中的例子，可以寫出17②根據(jù)題目中的例子，可以寫出1n（2）根據(jù)題目中的例子，可以得到15-14=115+14【解答】解：（1）①1=7=7②1n（2）15-14=∵15+∴115∴15-【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式混合運(yùn)算的計(jì)算方法．題型八題型八巧用二次根式的小數(shù)部分與整數(shù)部分求代數(shù)式的值【例題8】（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期末）若6-13的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，則（2x+13）A．5-313 B．3 C．313-5【分析】首先根據(jù)13的整數(shù)部分，確定6-13的整數(shù)部分x的值，則y【解答】解：∵3＜13＜∴6-13的整數(shù)部分x＝2則小數(shù)部分是：6-13-2＝4則（2x+13）y＝（4+13）（4＝16﹣13＝3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉確定二次根式的整數(shù)部分和小數(shù)部分的方法：先用”放縮法”確定二次根式的整數(shù)部分，再用二次根式與整數(shù)部分的差確定小數(shù)部分，即n≤a＜n＋1，則可以確定a的整數(shù)部分為n，小數(shù)部分為a﹣n.【變式81】設(shè)a=5，且b是a的小數(shù)部分，求a【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算得到b=5-2，再把a(bǔ)、b的值代入【解答】解：∵a=5，且b是a∴b=5-∴原式=5-55-2=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．【變式82】已知m、n分別是6-13的整數(shù)部分和小數(shù)部分，求m、n的值，并求代數(shù)式n【分析】首先判斷出13在3和4之間，即6-13的整數(shù)部分m＝2，則n＝4-13，然后把a(bǔ)和【解答】解：∵9＜∴13的整數(shù)部分在3和4之間，∴6-13的整數(shù)部分m＝2，n＝4-n2=(4-13＝16﹣813+13﹣4+＝21﹣713．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了代數(shù)式求值，涉及到比較有理數(shù)和無理數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵在于用正確的形式表示出6-13【變式83】（2022秋?羅湖區(qū)校級(jí)期中）根據(jù)推理提示，回答下列問題：∵1＜3＜4，即∴3的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為3-1（1）14的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是．（2）如果6的小數(shù)部分為m，21的整數(shù)部分為n，求2m+n﹣26=（3）已知：10+32=a+b，其中a是整數(shù)，且0＜b＜1，則a＝，b＝【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)14的大小即可；（2）估算無理數(shù)6、21的大小，確定m、n的值，再代入計(jì)算即可；（3）根據(jù)無理數(shù)32的大小，進(jìn)而得出10+32的大小，確定a、b【解答】解：（1）∵9＜14＜16，即∴14的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分為14-3故答案為：3，14-3（2）∵4＜6＜9，即∴6的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分m=6-∵16＜21＜25，即∴21的整數(shù)部分n＝4，∴2m+n﹣26＝26-4+4﹣2＝0，故答案為：0；（3）∵5＜32＜∴15＜10+32＜又∵10+32=a+b，其中a是整數(shù)，且0＜b＜∴a＝15，b＝10+32-15＝42故答案為：15，42-5【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根、算術(shù)平方根以及估算無理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提．題型九題型九二次根式的化簡求值及混合運(yùn)算【例題9】先化簡，再求值：（a+ba-b）2?2a-【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡，再把a(bǔ)、b的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式==2(=2(當(dāng)a=3，b=原式=2(3+2)【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．在化簡的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．解題技巧提煉解決這類問題時(shí)，一般先將所給的式子進(jìn)行化簡，然后將含二次根式的字母的值代入，根據(jù)二次根式的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算.【變式91】已知x=12，y=1【分析】根據(jù)分母有理化把原式化簡，代入計(jì)算即可；【解答】解：x=x=x=2【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則、完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式91】先化簡，再求值：（6xyx+3yxy3）﹣（【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、二次根式的加減混合運(yùn)算法則把原式化簡，把x、y的值代入計(jì)算即可．【解答】解：原式＝6x×xyx+3y×y＝6xy+3xy-4xy=-xy當(dāng)x=23，y＝27時(shí)，原式=-2【點(diǎn)評(píng)】調(diào)標(biāo)考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的加減混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式92】若x2+y2﹣6x﹣4y+13＝0，求yx【分析】x2+y2﹣6x﹣4y+13＝0，可以變形成（x﹣3）2+（y﹣2）2＝0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求得x，y的值，然后把所求的式子進(jìn)行化簡，代入求解即可．【解答】解：x2+y2﹣6x﹣4y+13＝0，即（x2﹣6x+9）+（y2﹣4y+4）＝0，（x﹣3）2+（y﹣2）2＝0，則x﹣3＝0，y﹣2＝0，解得：x＝3，y＝2．yx當(dāng)x＝3，y＝2時(shí)，原式=5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及二次根式的化簡，正確求得x，y的值是關(guān)鍵．【變式93】（2022秋?普陀區(qū)期中）已知a=12+1【分析】直接將已知分母有理化，再結(jié)合分式的性質(zhì)化簡，進(jìn)而代入得出答案．【解答】解：∵a=12∴a=(＝a﹣1-=2-1﹣1﹣（2=2-1﹣1＝﹣3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡求值以及分式的化簡求值、分母有理化，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式94】已知：x＝2+3，y＝2-（1）x2﹣y2；（2）x2﹣xy+y2；（3）2x3+6x2y+2xy2．【分析】（1）直接利用乘法公式計(jì)算得出答案；（2）直接將原式變形，再利用乘法公式計(jì)算得出答案；（3）直接將原式變形，再利用乘法公式計(jì)算得出答案．【解答】解：（1）∵x＝2+3，y＝2-∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝（2+3+2-3）（2+＝4×23＝83；（2）x＝2+3，y＝2-∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy＝（2+3-2+3）2+（2+3＝12+4﹣3＝13；（3）2x3+6x2y+2xy2＝2x（x2+3xy+y2）＝2x[（x+y）2+xy]，＝2×（2+3）[（2+3+2-3）2+（2+3＝2×（2+3）×（42+4﹣3＝2×（2+3）＝68+343．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵．【變式95】（2021春?莒南縣期中）在解決問題：“已知a=12-1，求3a2﹣6a﹣∵a=12∴a﹣1=∴（a﹣1）2＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，∴3a2﹣6a﹣1＝2．請(qǐng)你根據(jù)小明的解答過程，解決下列問題：（1）化簡：22-（2）若a=13+22，求2a2﹣12a【分析】（1）根據(jù)平方差公式計(jì)算；（2）利用分母有理化把a(bǔ)化簡，根據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計(jì)算即可．【解答】解：（1）22-5=2(2+5（2）a=13+22=3-2則2a2﹣12a﹣1＝2（a2﹣6a+9﹣9）﹣1＝2（a﹣3）2﹣19＝2（3﹣22-3）2﹣＝﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握分母有理化、完全平方公式、平方差公式是解題的關(guān)鍵．題型十題型十利用有理數(shù)的意義求字母式子的值【例題10】（2022?江北區(qū)開學(xué)）若a+63=(m+n3)2，當(dāng)a，m，n【分析】通過完全平方公式去掉括號(hào)求出a＝m2+3n2，2mn＝6，根據(jù)a，m，n均為整數(shù)，分兩種情況求出m，n，進(jìn)一步求出a，從而求解．【解答】解：∵a+63=(∴a+63=m2+2nm3+3n2（a，m，∴a＝m2+3n2，2mn＝6，∴mn＝3，①m＝1，n＝3，a＝28，②m＝3，n＝1，a＝12，故a的值為27或23．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方式，熟練掌握完全平方式的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉通過完全平方公式去掉括號(hào),然后比較等式左右兩邊的系數(shù)得出要求的字母的值，這里用到了不為零的有理數(shù)與無理數(shù)相加的和是有理數(shù)和無理數(shù).【變式101】先閱讀下面的材料，然后再根據(jù)要求解答提出的問題：設(shè)a，b是有理數(shù)，且滿足a+2b＝3﹣22，求ba的值．解：由題意得（a﹣3）+（b+2）2=0，因?yàn)閍，b都是有理數(shù)，所以a﹣3，b+2也是有理數(shù)，由于2是無理數(shù)，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣問題：設(shè)x，y都是有理數(shù)，且滿足x2﹣2y+5y＝8+45，求x+y【分析】根據(jù)題目中例題的方法，對(duì)所求式子進(jìn)行變形，求出x、y的值，從而可以求得x+y的值．【解答】解：∵x2﹣2y+5y＝8+45∴（x2﹣2y﹣8）+（y﹣4）5=0∴x2﹣2y﹣8＝0，y﹣4＝0，解得，x＝±4，y＝4，當(dāng)x＝4，y＝4時(shí)，x+y＝4+4＝8，當(dāng)x＝﹣4，y＝4時(shí)，x+y＝（﹣4）+4＝0，即x+y的值是8或0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明確題目中例題的解答方法，然后運(yùn)用類比的思想解答所求式子的值．【變式102】（2022秋?輝縣市期中）【閱讀學(xué)習(xí)】小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+22=（1+2）設(shè)a+b2=（m+n2）2（其中a，b，m，n均為整數(shù)），則有a+b2=m2+2n2+22∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把a(bǔ)+b2的式子化為平方式的方法．【解決問題】（1）當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分別表示a，b，得：a＝，b＝（2）利用（1）的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n（m≠n），使得a+b3=（m+n3）2成立，且a+b+m+n的值最?。?qǐng)直接寫出a，b，m，n（3）若a+65=（m+n5）2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，利用完全平方公式將等式右邊展開，即可求出a、b的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意得到a＝m2+5n2，b＝2mn，求得mn＝3，分類討論即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）（m+n3）2＝m2+23mn+3n2＝m2+3n2+2mn3．∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案為：m2+3n2，2mn．（2）當(dāng)n＝1，m＝2時(shí)，a＝22+3×1＝7，b＝2mn＝4，故a＝7，b＝4，m＝2，n＝1時(shí)，a+b+m+n的值最?。?）（m+n5）2＝m2+25mn+5n2＝a+65，∴a＝m2+5n2，6＝2mn，∴mn＝3，∵a、m、n均為正整數(shù)，∴令m＝1，n＝3或m＝3，n＝1；當(dāng)m＝1，n＝3時(shí)，a＝12+5×32＝46．當(dāng)m＝3，n＝1時(shí)，a＝32+5×12＝14．綜上，a的值為14或46．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡求值，完全平方公式，整式的加減，理解題意，弄清閱讀材料中把一個(gè)式子化為平方式的方法是解題的關(guān)鍵．題型十一題型十一有關(guān)二次根式的規(guī)律探究【例題11】（2022春?承德期末）觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：2+23=23+38=3（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想5+5（2）針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為大于1的整數(shù)）表示的等式并給予驗(yàn)證．【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義計(jì)算5+5（2）計(jì)算n+【解答】解：（1）∵2+23=2∴5+5驗(yàn)證：5+5（2）n+驗(yàn)證：n+【點(diǎn)評(píng)】本題考查算術(shù)平方根以及數(shù)字的變化類，通過具體數(shù)值的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．解題技巧提煉用綜合法解決探索規(guī)律問題，先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律，用一個(gè)統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是解決此類問題的關(guān)鍵，然后再用所得到的規(guī)律解決問題.【變式111】（2021秋?大田縣期中）觀察下列各式及其驗(yàn)證過程①2-25=2②3-310=3（1）類比上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程，猜想5-5（2）針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用m（m為自然數(shù)，且m≥2）表示的等式并證明．（3）模仿上述驗(yàn)算過程的方法，對(duì)338=3+38進(jìn)行驗(yàn)證；并針對(duì)等式反映的規(guī)律，直接寫出用n【分析】（1）仿照所給的例子進(jìn)行求解即可；（2）對(duì)所給的例子進(jìn)行分析，并總結(jié)出規(guī)律即可；（3）仿照所給的例子進(jìn)行求解，不難得出結(jié)果．【解答】解：（1）5-5驗(yàn)證：5-5（2）∵5＝22+1，10＝32+1，26＝52+1，∴m-證明：m-（3）3+3∵8＝32﹣1，∴nn【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，善于發(fā)現(xiàn)題目數(shù)字之間的規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．【變式112】（2022秋?吉安縣期中）觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：12驗(yàn)證：1212驗(yàn)證：1213驗(yàn)證：13（1）按照上述三個(gè)等式及其驗(yàn)證過程，猜想14（2）針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n是大于等于2的自然數(shù)）表示的等式．【分析】（1）仔細(xì)觀察所給的式子，發(fā)現(xiàn)等式左邊根號(hào)里是一個(gè)分?jǐn)?shù)和一個(gè)帶括號(hào)的分?jǐn)?shù)減法運(yùn)算的乘積，結(jié)果是一個(gè)分?jǐn)?shù)與一個(gè)根式的乘積，分?jǐn)?shù)是等號(hào)左邊根號(hào)里減法運(yùn)算中的被減數(shù)；根式中的分子是左邊根號(hào)里減法運(yùn)算中的被減數(shù)的分母，根式中的分母是左邊根號(hào)里分?jǐn)?shù)的分母與分?jǐn)?shù)運(yùn)算中減數(shù)分母的乘積，再結(jié)合二次根式的運(yùn)算，進(jìn)行即可解答；（2）利用（1）中的關(guān)系，結(jié)合運(yùn)算中各個(gè)量之間的大小關(guān)系，即可得到關(guān)于n的等式．【解答】解：（1）14驗(yàn)證：左邊=114×5×6（2）1驗(yàn)證：左邊=11n【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理清式子中各數(shù)之間的關(guān)系．【變式113】（2021秋?鄞州區(qū)期中）先閱讀材料，再解決問題．13131313…根據(jù)上面的規(guī)律，解決問題：（1）13+23+33+（2）求13+2【分析】（1）觀察各個(gè)等式中最左邊的被開方數(shù)中各個(gè)冪的底數(shù)的和與最右邊的結(jié)果的關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）利用（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答即可．【解答】解：∵13+23=13+23+313+23+3∴等式中最左邊的被開方數(shù)中各個(gè)冪的底數(shù)的和＝右邊的結(jié)果．∵1+2+3+4+5+6＝21，∴（1）13+故答案為：212，（2）由（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可得：13+23【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，本題是規(guī)律型題目，