人教B版高中數(shù)學(xué)選修2-2133導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用教案

1.3.3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)和技能目標(biāo)

(1)研究使經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)最大、用料最省、生產(chǎn)效率最高等優(yōu)化問(wèn)題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；(2)提高將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．2．過(guò)程和方法目標(biāo)

通過(guò)學(xué)習(xí)使經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)最大、用料最省、生產(chǎn)效率最高等優(yōu)化問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的方法和導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．3．情感態(tài)度和價(jià)值觀目標(biāo)

通過(guò)對(duì)生活中優(yōu)化問(wèn)題的探究過(guò)程，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．二、教學(xué)重點(diǎn).難點(diǎn)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題．難點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的作用，并利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題．三、學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)，但還不夠深入，因此在學(xué)習(xí)上還有一定困難。本節(jié)課能進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的能力,讓學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)的工具作用。四、教學(xué)方法師生互動(dòng)探究式教學(xué)五、教學(xué)過(guò)程1．最優(yōu)化問(wèn)題生活中經(jīng)常遇到求__________、__________、________等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱(chēng)為最優(yōu)化問(wèn)題．2．用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問(wèn)題的基本思路知識(shí)應(yīng)用，深化理解題型一面積、體積的最值問(wèn)題例1、請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖1-3-9，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線(xiàn)折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝x(cm)．圖1-3-9(1)某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．【自主解答】設(shè)包裝盒的高為hcm，底面邊長(zhǎng)為acm.由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以當(dāng)x＝15時(shí)，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.當(dāng)x∈(0,20)時(shí)，V′＞0；當(dāng)x∈(20,30)時(shí)，V′＜0.所以當(dāng)x＝20時(shí)，V取得極大值，也是最大值．此時(shí)eq\f(h,a)＝eq\f(1,2)，即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為eq\f(1,2).總結(jié)：1．解決面積、體積最值問(wèn)題的思路要正確引入變量，將面積或體積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值．2．解決優(yōu)化問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)列函數(shù)關(guān)系式時(shí)，注意實(shí)際問(wèn)題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域；(2)一般地，通過(guò)函數(shù)的極值來(lái)求得函數(shù)的最值．如果函數(shù)f(x)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)或函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間上只有一個(gè)點(diǎn)使f′(x)＝0，則只要根據(jù)實(shí)際意義判斷該值是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較．題型二用料最省、成本(費(fèi)用)最低問(wèn)題例2、位于A，B兩點(diǎn)處的甲、乙兩村合用一個(gè)變壓器，如圖1-3-11所示，若兩村用同型號(hào)線(xiàn)架設(shè)輸電線(xiàn)路，問(wèn)變壓器設(shè)在輸電干線(xiàn)何處時(shí)，所需電線(xiàn)總長(zhǎng)最短．圖1-3-11【自主解答】設(shè)CD＝xkm，則CE＝(3－x)km.則所需電線(xiàn)總長(zhǎng)l＝AC＋BC＝eq\r(1＋x2)＋eq\r(1.52＋3－x2)(0≤x≤3)，從而l′＝eq\f(x,\r(1＋x2))－eq\f(3－x,\r(1.52＋3－x2)).令l′＝0，即eq\f(x,\r(1＋x2))－eq\f(3－x,\r(1.52＋3－x2))＝0，解得x＝1.2或x＝－6(舍去)．因?yàn)樵赱0,3]上使l′＝0的點(diǎn)只有x＝1.2，所以根據(jù)實(shí)際意義，知x＝1.2就是我們所求的最小值點(diǎn)，即變壓器設(shè)在DE之間離點(diǎn)D的距離為1.2km處時(shí)，所需電線(xiàn)總長(zhǎng)最短．總結(jié)：1．用料最省、成本(費(fèi)用)最低問(wèn)題是日常生活中常見(jiàn)的問(wèn)題之一，解決這類(lèi)問(wèn)題要明確自變量的意義以及最值問(wèn)題所研究的對(duì)象．正確書(shū)寫(xiě)函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答．2．利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問(wèn)題，當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′(x)＝0時(shí)，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道在這個(gè)點(diǎn)取得最大(小)值．六、當(dāng)堂檢測(cè)1．某箱子的體積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為V(x)＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))(0<x<60)，則當(dāng)箱子的體積最大時(shí)，箱子底面邊長(zhǎng)為()A．30 B．40C．50 D．602．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A．13萬(wàn)件 B．11萬(wàn)件C．9萬(wàn)件 D．7萬(wàn)件3．做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，若要使水桶的體積是27π，且用料最省，則水桶的底面半徑為_(kāi)_______．4．某產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入y1(萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)：y1＝17x2(x＞0)，生產(chǎn)成本y2(萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)：y2＝2x3－x2(x＞0)，為使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)________千臺(tái)．5．某商品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣(mài)出432件，如果降低價(jià)格，銷(xiāo)售量可以增加，且每星期多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣(mài)出24件．(1)將一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售