河南省青桐鳴2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月大聯(lián)考試題數(shù)學(xué)

2025屆普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試高二聯(lián)考數(shù)學(xué)全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)?考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，則（）A.3B.6C.18D.362.已知隨機(jī)變量，則（）3.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)，都有，則（）A.B.C.D.4.在直三棱柱中，，則與平面所成的角為（）A.B.C.D.5.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線的漸近線在第一象限上的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，直線交另一條漸近線于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A.B.2C.D.46.已知點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，直線交圓2于兩點(diǎn)，且，則（）A.0B.1C.D.7.甲?乙兩人各自在兩個(gè)區(qū)域各投籃1次，且每次投籃互不影響，甲在區(qū)域投中的概率為0.6，在區(qū)域投中的概率為0.3；乙在區(qū)域投中的概率為0.8，在區(qū)域投中的概率為0.2.已知甲?乙共投中3次，則甲恰好投中2次的概率為（）A.B.C.D.8.如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.D.10.已知正方體的棱長(zhǎng)為是正方體的面上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.線段上存在點(diǎn)，使得B.若點(diǎn)在線段上，則C.若，則D.若點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)到平面的距離為11.已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為是上的一點(diǎn)，則__________.13.過(guò)點(diǎn)可作的斜率為1的切線，則實(shí)數(shù)__________.14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________.四?解答題：共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，研究的單調(diào)性；（2）若在其定義域上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.16.（15分）如圖，在四棱錐中，平面平面，平面平面，且.（1）證明：平面；（2）若，求二面角的平面角的正弦值.17.（15分）已知甲?乙兩個(gè)不透明的盒子里共有7個(gè)質(zhì)地?大小均相同的小球，甲盒中有2個(gè)紅球?1個(gè)白球；乙盒中有2個(gè)紅球?2個(gè)白球.現(xiàn)從兩個(gè)盒子里同時(shí)各隨機(jī)抽取1個(gè)球進(jìn)行交換，經(jīng)過(guò)次這樣的交換后，甲盒中白球的個(gè)數(shù)為，且每次交換互不影響，記.（1）求的分布列及的值；（2）求的通項(xiàng)公式.18.（17分）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為是橢圓在第一象限上的點(diǎn)，滿(mǎn)足.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)直線上的一點(diǎn)，作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，證明：.19.（17分）若集合，集合，其中.，則稱(chēng)集合是集合的一個(gè)“元子集”.若“元子集”中的元素滿(mǎn)足對(duì)任意，恒有，則稱(chēng)為的一個(gè)“個(gè)性獨(dú)立子集”.已知集合，集合是的一個(gè)“個(gè)性獨(dú)立子集”.（1）求所有滿(mǎn)足條件的集合的個(gè)數(shù)；（2）若且互不相等，證明：為定值.2025屆普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試高二聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案1.D【解析】由題意得，，又，故.故選D.2.C【解析】.故選C.3.B【解析】當(dāng)時(shí)，，則3；當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)公差為，可得解得，故.故選B.4.A【解析】由題意，，可知平面，則平面，即為所求線面角，不妨設(shè)，則，，故，故.故選A.5.D【解析】如圖，由漸近線的定義可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入得，解得，故.故選D.6.A【解析】由得，點(diǎn)到直線的距離為，且1，故，解得或1，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故.故選A.7.D【解析】設(shè)“甲?乙共投中3次”為事件，“甲恰好投中2次”為事件，則0.2088，故.故選D.8.C【解析】由題意得，，故，則.故選C.9.BCD【解析】令，則，故A錯(cuò)誤；，故的系數(shù)為，即，故B正確；的系數(shù)為，即，故C正確；令，則，故D正確.故選BCD.10.ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)，取為的中點(diǎn)，則，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)，由于平面，而平面，故，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)，在中，，又，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，，則平面，設(shè)到平面的距離為，則，故，故D正確.故選ABD.11.AD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，令，故為減函數(shù)，，可得，故，故，即，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，故D正確.故選AD.12.10【解析】將代入拋物線方程，解得，故.13.22ln2【解析】設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由，解得，故，將切點(diǎn)代入切線方程，解得.14.【解析】由題意得，，故.15.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞增.（2），當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，即故，即的取值范圍為.16.解：（1）證明：取的中點(diǎn)為，連接，由且，得四邊形為平行四邊形，故，故，即.又平面平面，平面平面，故平面因?yàn)槠矫?，?在中，作于點(diǎn)，則由平面平面，平面平面，得平面，又平面，故，又平面，故平面.（2）取的中點(diǎn)為，連接，則，又平面平面，平面平面，故平面.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸?軸?軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，由（1）知，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即取，則，故，故，故二面角的平面角的正弦值為.17.解：（1）第1次交換后，，，.故的分布列為012故.（2）設(shè)第次交換后，的分布列為0123故.設(shè)第次交換后，的分布列為0123其中，，，故，故，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，得.18.解：（1）設(shè)，由，得解得代入橢圓的方程得，解得，故，故橢圓的方程為.（2）證明：設(shè)，設(shè)直線的方程為，即，代入橢圓的方程整理得，，，即.而，故，故直線的方程為，即.同理直線的方程為.而同時(shí)在直線上，故故都在直線2上，即直線的方程為.當(dāng)時(shí)，直線的斜率，又，故，故當(dāng)時(shí)，易知直線的方程為，又因?yàn)橹本€的方程為，顯然，綜上所述，.19.解：（1）將集合分成10個(gè)2元子集，，，其中每個(gè)集合中兩元素之和均為21，故從中各取1個(gè)元素，作為集合的元素，則