高考物理一輪講義高考必考題突破講座（九）帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的臨界極值問(wèn)題

高考必考題突破講座(九)帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的臨界、極值問(wèn)題題型特點(diǎn)考情分析命題趨勢(shì)帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是歷年高考的熱點(diǎn)，特別是帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值問(wèn)題，考查以綜合計(jì)算為主，也有選擇題出現(xiàn)，對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的分析要把握好帶電粒子的基本運(yùn)動(dòng)形式和重要的解題技巧、規(guī)律、方法2017·全國(guó)卷Ⅱ，182015·山東卷，242015·四川卷，17帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，一般涉及臨界和邊界問(wèn)題，臨界值、邊界值常與極值問(wèn)題相關(guān)聯(lián).2019年高考命題主要會(huì)從臨界狀態(tài)、邊界狀態(tài)的確定以及所需滿(mǎn)足的條件等設(shè)計(jì)考題材料1．帶電粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的臨界、極值問(wèn)題流程圖eq\x(畫(huà)軌跡)→eq\x(找聯(lián)系)→eq\x(用規(guī)律)2．涉及問(wèn)題(1)畫(huà)軌跡：畫(huà)出帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡，并確定圓心，求半徑．(2)找聯(lián)系：軌道半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、運(yùn)動(dòng)速度相聯(lián)系；偏轉(zhuǎn)角與圓心角、運(yùn)動(dòng)時(shí)間相聯(lián)系；在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與周期相聯(lián)系．(3)用規(guī)律：牛頓運(yùn)動(dòng)規(guī)律和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，特別是周期公式、半徑公式．?解題方法1．動(dòng)態(tài)放縮法當(dāng)粒子的入射方向不變而速度大小可變時(shí)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的圓心一定在入射點(diǎn)所受洛倫茲力所表示的射線(xiàn)上，但位置(半徑R)不確定，用圓規(guī)作出一系列大小不同的軌跡圓，從圓的動(dòng)態(tài)變化中即可發(fā)現(xiàn)“臨界點(diǎn)”，如圖甲臨界情景為②和④．2．定圓旋轉(zhuǎn)法當(dāng)粒子的入射速度大小確定而方向不確定時(shí)，所有不同方向入射的粒子的軌跡圓是一樣大的，只是位置繞入射點(diǎn)發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，從定圓的動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)(作圖)中，也容易發(fā)現(xiàn)“臨界點(diǎn)”．另外，要重視分析時(shí)的尺規(guī)作圖，規(guī)范而準(zhǔn)確的作圖可突出幾何關(guān)系，使抽象的物理問(wèn)題更形象、直觀，如圖乙．3．?dāng)?shù)學(xué)解析法寫(xiě)出軌跡圓和邊界的解析方程，應(yīng)用物理和數(shù)學(xué)知識(shí)求解．[例1](2017·江蘇蘇州一模)如圖所示，在屏蔽裝置底部中心位置O點(diǎn)放一醫(yī)用放射源，可通過(guò)細(xì)縫沿扇形區(qū)域向外輻射速率為v＝3.2×106m/s的α粒子．已知屏蔽裝置寬AB＝9cm，縫長(zhǎng)AD＝18cm，α粒子的質(zhì)量m＝6.64×10－27kg，電荷量q＝3.2×10－19C．若在屏蔽裝置右側(cè)條形區(qū)域內(nèi)加一勻強(qiáng)磁場(chǎng)來(lái)隔離輻射，(1)若所有的α粒子均不能從條形磁場(chǎng)隔離區(qū)的右側(cè)穿出，則磁場(chǎng)的寬度d至少是多少？(2)若條形磁場(chǎng)的寬度d＝20cm，則射出屏蔽裝置的α粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間各是多少？(解析(1)由題意AB＝9cm，AD＝18cm，可得∠BAO＝∠ODC＝45°，所有α粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，設(shè)為R，根據(jù)牛頓第二定律有Bqv＝eq\f(mv2,R)，解得R＝0.2m由題意及幾何關(guān)系可知：若條形磁場(chǎng)區(qū)域的右邊界與沿OD方向進(jìn)入磁場(chǎng)的α粒子的圓周軌跡相切，則所有α粒子均不能從條形磁場(chǎng)隔離區(qū)右側(cè)穿出，此時(shí)磁場(chǎng)的寬度最小，如圖甲所示．設(shè)此時(shí)磁場(chǎng)寬度d＝d0，由幾何關(guān)系得d0＝R＋Rcos45°＝(20＋10eq\r(2))cm．則磁場(chǎng)的寬度至少為(20＋10eq\r(2))×10－2m．(2)設(shè)α粒子在磁場(chǎng)內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，則T＝eq\f(2πm,Bq)＝eq\f(π,8)×10－6s．設(shè)速度方向垂直于AD進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的α粒子的入射點(diǎn)為E，如圖乙所示．因磁場(chǎng)寬度d＝20cm<d0，且R＝20cm，則在∠EOD間輻射進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的α粒子均能穿出磁場(chǎng)右邊界，在∠EOA間輻射進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的α粒子均不能穿出磁場(chǎng)右邊界，沿OE方向進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的α粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場(chǎng)右邊界相切，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，設(shè)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為tmax，則tmax＝eq\f(T,2)＝eq\f(π,16)×10－6s．若α粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的圓弧軌跡的弦長(zhǎng)最短，則α粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短．最短的弦長(zhǎng)為磁場(chǎng)寬度d.設(shè)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為tmin，軌跡如圖乙所示，因R＝d，則圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，故tmin＝eq\f(T,6)＝eq\f(π,48)×10－6s．答案(1)(20＋10eq\r(2))×10－2m(2)tmax＝eq\f(π,16)×10－6stmin＝eq\f(π,48)×10－6s角度1速度方向一定，大小不同帶電粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，這些帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑隨速度的變化而變化．若粒子從定點(diǎn)P以速度v0射入磁場(chǎng)，則軌跡圓心一定在PP′直線(xiàn)上(PP′⊥v0)，將半徑放縮作軌跡，從而得到臨界條件．角度2速度方向一定，方向不同帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們?cè)诖艌?chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若射入初速度為v0，則圓周運(yùn)動(dòng)半徑R＝eq\f(mv0,qB).改變初速度v0的方向，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡也隨之改變，但所有帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的圓心，均在以入射點(diǎn)為圓心，半徑R＝eq\f(mv0,qB)的圓上．[例1]如圖所示，在無(wú)限長(zhǎng)的豎直邊界NS和MT間充滿(mǎn)勻強(qiáng)電場(chǎng)，同時(shí)該區(qū)域上、下部分分別充滿(mǎn)方向垂直于NSTM平面向外和向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B和2B，KL為上下磁場(chǎng)的水平分界線(xiàn)，在NS和MT邊界上，距KL高h(yuǎn)處分別有P、Q兩點(diǎn)，NS和MT間距為1.8h．質(zhì)量為m、帶電量為＋q的粒子從P點(diǎn)垂直于NS邊界射入該區(qū)域，在兩邊界之間做圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g．(1)求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向；(2)要使粒子不從NS邊界飛出，求粒子入射速度的最小值；(3)若離子能經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)從MT邊界飛出，求粒子入射速度的所有可能值．解析本題考查帶點(diǎn)粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)．(1)設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E．由題意有mg＝qE，得E＝eq\f(mg,q)，方向豎直向上．(2)如圖甲所示，設(shè)粒子不從NS邊飛出的入射速度最小值為vmin，對(duì)應(yīng)的粒子在上、下區(qū)域的運(yùn)動(dòng)半徑分別為r1和r2，圓心的連線(xiàn)與NS的夾角為φ．由r＝eq\f(mv,qB)，有r1＝eq\f(mvmin,qB)，r2＝eq\f(1,2)r1．由(r1＋r2)sinφ＝r2，r1＋r1cosφ＝h．vmin＝(9－6eq\r(2))eq\f(qBh,m)．(3)如圖乙所示，設(shè)粒子入射速度為v，粒子在上、下方區(qū)域的運(yùn)動(dòng)半徑分別為r1和r2，粒子第一次通過(guò)KL時(shí)距離K點(diǎn)為x．由題意有3nx＝1.8h.(n＝1,2,3…)eq\f(3,2)x≥eq\f(9－6\r(2)h,2)，x＝eq\r(r\o\al(2,1)－h(huán)－r12)，得r1＝(1＋eq\f(0.36,n2))eq\f(h,2)，n<3.5，即n＝1時(shí)，v＝eq\f(0.68qBh,m)；n＝2時(shí)，v＝eq\f(0.545qBh,m)；n＝3時(shí)，v＝eq\f(0.52qBh,m)．答案(1)E＝eq\f(mg,q)，方向豎直向上(2)(9－6eq\r(2))eq\f(qBh,m)(3)見(jiàn)解析1如圖所示圓形區(qū)域內(nèi)，有垂直于紙面方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一束質(zhì)量和電荷量都相同的帶電粒子，以不同的速率，沿著相同的方向，對(duì)準(zhǔn)圓心O射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，又都從該磁場(chǎng)中射出．這些粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有的較長(zhǎng)，有的較短．若帶電粒子在磁場(chǎng)中只受磁場(chǎng)力的作用，則在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子(D)A．速率越大的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)B．運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)的周期越大C．速率越小的速度方向變化的角度越小D．運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)的半徑越小2．如圖所示，半徑為R的圓是一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面(紙面)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，一電荷量為q、質(zhì)量為m的負(fù)離子沿平行于直徑ab的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，射入點(diǎn)與ab的距離為eq\f(R,2).已知離子射出磁場(chǎng)與射入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角為60°，則離子的速率為(不計(jì)重力)(D)A．eq\f(qBR,2m) B．eq\f(qBR,m)C．eq\f(3qBR,2m) D．eq\f(2qBR,m)解析設(shè)帶負(fù)電離子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑為r，速率為v.根據(jù)題述，帶負(fù)電離子射出磁場(chǎng)與射入磁場(chǎng)時(shí)速度方向之間的夾角為60°，可知帶電離子運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角為60°，rsin30°＝R.如圖所示．由qvB＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\f(2qBR,m)，選項(xiàng)D正確．3．如圖所示，邊界OA與OC之間分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，邊界OA上有一粒子源S.某一時(shí)刻，從S平行于紙面向各個(gè)方向以某一速率發(fā)射出大量比荷為eq\f(q,m)的同種正電粒子，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間有大量粒子從邊界OC射出磁場(chǎng)，已知磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，∠AOC＝60°，O、S兩點(diǎn)間的距離為L(zhǎng)，從OC邊界射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間t＝eq\f(2πm,3qB)，忽略重力的影響和粒子間的相互作用，則粒子的速率為(A)A．eq\f(qBL,2m) B．eq\f(qBL,m)C．eq\f(\r(3)qBL,2m) D．eq\f(\r(3)qBL,m)解析由于粒子速率一定，帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短時(shí)，軌跡所對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)最短，即弦長(zhǎng)d＝Lsin60°＝eq\f(\r(3),2)L，由最短時(shí)間t＝eq\f(2πm,3qB)知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)圓心角為120°，由幾何關(guān)系知Rsin60°＝eq\f(1,2)d，由洛倫茲力提供向心力，得qvB＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\f(qBL,2m)，選項(xiàng)A正確．4．空間有一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，O為圓心，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外．一帶正電的粒子從A點(diǎn)沿圖示箭頭方向以速率v射入磁場(chǎng)，θ＝30°，粒子在紙面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向與半徑OA垂直．不計(jì)粒子重力．若粒子速率變?yōu)閑q\f(v,2)，其他條件不變，粒子在圓柱形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(C)A．eq\f(t,2) B．tC．eq\f(3t,2) D．2t解析粒子以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系，四邊形AOBO′為菱形，O、O′分別在兩圓的圓周上，如圖所示．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角為∠AO′B＝eq\f(2π,3)；粒子以速度eq\f(v,2)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角為π，兩次粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同，運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比就等于圓心角之比，所以第二次粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為eq\f(3,2)t.故選項(xiàng)C正確．5．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，空間某區(qū)域存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向豎直向上(與紙面平行)，磁場(chǎng)方向垂且于紙面向里．三個(gè)帶正電的微粒a、b、c電荷量相等，質(zhì)量分別為ma、mb、mc.已知在該區(qū)域內(nèi)，a在紙面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，b在紙面內(nèi)向右做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，c在紙面內(nèi)向左做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．下列選項(xiàng)正確的是(B)A．ma>mb>mc B．mb>ma>mcC．mc>ma>mb D．mc>mb>ma解析該空間區(qū)域?yàn)閯驈?qiáng)電場(chǎng)、勻強(qiáng)磁場(chǎng)和重力場(chǎng)的疊加場(chǎng)，a在紙面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可知其重力與所受到的電場(chǎng)力平衡，洛倫茲力提供其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有mag＝qE，解得ma＝eq\f(qE,g).b在紙面內(nèi)向右做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由左手定則可判斷出其所受洛倫茲力方向豎直向上，可知mbg＝qE＋qvbB，解得mb＝eq\f(qE,g)＋eq\f(qvbB,g).c在紙面內(nèi)向左做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由左手定則可判斷出其所受洛倫茲力方向豎直向下，可知mcg＋qvcB＝qE，解得mc＝eq\f(qE,g)－eq\f(qvcB,g).綜上所述，可知mb>ma>mc，選項(xiàng)B正確．6．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)如圖，虛線(xiàn)所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)．大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同方向射入磁場(chǎng)．若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上．不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用．則v2：v1為(C)A．eq\r(3)∶2 B．eq\r(2)∶1C．eq\r(3)∶1 D．3∶eq\r(2)解析由于是相同的粒子，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小相同，由qvB＝meq\f(v2,R)可知，R＝eq\f(mv,qB)，即粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同．若粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為v1，如圖所示，通過(guò)旋轉(zhuǎn)圓可知，當(dāng)粒子的磁場(chǎng)出射點(diǎn)A離P點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，則AP＝2R1；同樣，若粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為v2，粒子的磁場(chǎng)出射點(diǎn)B離P點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，則BP＝2R2，由幾何關(guān)系可知，R1＝eq\f(R,2)，R2＝Rcos30°＝eq\f(\r(3),2)R，則eq\f(v2,v1)＝eq\f(R2,R1)＝eq\r(3)，故選項(xiàng)C正確．7．如圖所示，在0≤x≤a、0≤y≤eq\f(a,2)范圍內(nèi)有垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源．在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi)．已知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于eq\f(a,2)到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開(kāi)磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一．求最后離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)：(1)速度的大??；(2)速度方向與y軸正方向夾角的正弦值.解析設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，由牛頓第二定律和洛倫茲力公式，得qvB＝meq\f(v2,R)．解得R＝eq\f(mv,qB)，當(dāng)eq\f(a,2)<R<a時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其對(duì)應(yīng)圓心角最大，其軌跡是