江西省南昌市第一中學2023-2024學年高二下學期4月期中考試數(shù)學試題

南昌一中20232024學年度下學期高二期中考試數(shù)學試卷命題人：彭勇審題人：趙子鋒試卷總分：150分考試時長：120分鐘一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.曲線在點處的切線方程為（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】先求在處的導數(shù)值，即切線的斜率，再寫出切線方程.【詳解】由題知，切線方程為，即，故選：B.2.設為等差數(shù)列的前項和，若，，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析：首先設出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿足的等量關系式，從而求得結果，之后應用等差數(shù)列的通項公式求得，從而求得正確結果.詳解：設該等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點睛：該題考查的是有關等差數(shù)列的求和公式和通項公式的應用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項公式得到與的關系，從而求得結果.3.已知等比數(shù)列首項為，公比為，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】取，可判斷充分性；由是遞增數(shù)列，結合等比數(shù)列通項公式可得，，或，，從而得成立，即可判斷必要性.【詳解】在等比數(shù)列中，，取，，此時，為擺動數(shù)列，故充分性不成立；若等比數(shù)列的公比為，且是遞增數(shù)列，又，則，，或，，當，時，成立，當，時，成立，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列時，有成立，故必要性成立.所以，“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.4.如圖是函數(shù)的導數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（）A.在內(nèi)是增函數(shù) B.在內(nèi)是增函數(shù)C.時取得極大值 D.在時取得極小值【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象判斷的單調(diào)性，由此求得的極值點，進而確定正確選項.【詳解】由圖可知，在區(qū)間上遞減；在區(qū)間上遞增.所以不是的極值點，是的極大值點.所以ACD選項錯誤，B選項正確.故選：B5.已知函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得出在區(qū)間上恒成立，利用分離參數(shù)思想化為在上恒成立，求出的取值范圍即可．【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴在上恒成立，即在上恒成立，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即實數(shù)的取值范圍是，故選：D.6.已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為，則數(shù)列的前項和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出，再利用裂項相消法即可得解.【詳解】，則，所以，所以.故選：C.7.已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則實數(shù)k的取值范圍為（）A.(3，＋∞) B.(2，＋∞)C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)【答案】D【解析】【分析】依題意對任意，即可得到對任意恒成立，從而求出參數(shù)取值范圍；【詳解】解：因為，由數(shù)列為遞減數(shù)列知，對任意，，所以對任意恒成立，所以．故選：D．【點睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性的應用，屬于基礎題.8.若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)討論單調(diào)性即可判斷A和B，再構造，利用導數(shù)討論單調(diào)性即可判斷C和D.【詳解】令，則，令恒成立，即在定義域單調(diào)遞增，且因此在區(qū)間上必然存在唯一使得，所以當時單調(diào)遞減，當時單調(diào)遞增，故A，B均錯誤；令，，當時，，∴在區(qū)間上為減函數(shù)，∵，∴，即，∴選項C正確，D不正確.故選:C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.下列求導結果錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的運算公式、復合函數(shù)求導，即可逐項運算得答案.【詳解】，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤.故選：ABD.10.已知數(shù)列的前項和為，下列說法正確的是（）A.若，則是等差數(shù)列B.若是等比數(shù)列，且，，則C.若是等差數(shù)列，則D.若，則是等比數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】對于AD：由與的關系求通項公式即可；對于B：作差比較大小即可；對于C：根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)計算即可.【詳解】對于A：當時，，，則，又也適合，故，所以，所以是等差數(shù)列，故A正確；對于B：，故，所以B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：當時，，，則，又也適合，故，所以，所以是等比數(shù)列，故D正確；故選：ACD11.（多選）將個數(shù)排成n行n列的一個數(shù)陣，如圖：該數(shù)陣第一列的n個數(shù)從上到下構成以m為公差的等差數(shù)列，每一行的n個數(shù)從左到右構成以m為公比的等比數(shù)列（其中）．已知，，記這個數(shù)的和為S，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列等比數(shù)列的通項公式計算判斷AB,分別按行、列由等差等比數(shù)列計算可判斷C,采用分組求和的方法計算可判斷D.【詳解】由，，得，所以或（舍去），故A正確；，故B錯誤；，故C正確；故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在等比數(shù)列中，是函數(shù)的極值點，則＝__________．【答案】【解析】【分析】由題，利用導數(shù)及韋達定理可得，后利用等比中項性質(zhì)可得答案.【詳解】，由題是方程的兩個不等實根，則由韋達定理，所以又是的等比中項且與同號，則.故答案為：.13.函數(shù)的極值為______.【答案】##0.375【解析】【分析】先直接求出導函數(shù)，然后判斷導函數(shù)的正負性，進而判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求得極值.【詳解】函數(shù)的定義域為，則，令，得，則當x變化時，，y的變化情況如下表：x2+0+0+y遞增極大值遞減遞增非極值遞增所以當時，y有極大值，為故答案為：14.對于數(shù)列，定義為數(shù)列的“加權和”，已知某數(shù)列的“加權和”，記數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列新定義可得，從而時，，相減求得，進而求得的表達式，利用對任意的恒成立，列出不等式組，即可求得答案.【詳解】由題意可得，∴時，，兩式相減可得：，化為，時，，滿足上式，故故，∵對任意的恒成立，∴，即，解得，即，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù),（1）計算函數(shù)的導數(shù)的表達式;（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的運算法則求導即可;（2）根據(jù),可得,函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù),求出極大、極小值即可得出值域.【詳解】解:（1）因為,所以.故函數(shù)的導數(shù);（2）,,函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù),所以,所以;故函數(shù)的值域為.【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的求法,以及利用導數(shù)求函數(shù)的值域,是基礎題.16.為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求，并求的最小值.【答案】（1）；（2），時，的最小值為.【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式以及前項和公式求出，，代入通項公式即可求解.（2）利用等差數(shù)列的前項和公式可得，配方即可求解.【詳解】（1）設的公差為，由，，即，解得，所以.（2），，所以當時，的最小值為.17.已知等比數(shù)列{an}公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項．數(shù)列{bn}滿足b1=1，數(shù)列{（bn+1?bn）an}的前n項和為2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的通項公式．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】分析:（Ⅰ）根據(jù)條件、等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項公式即可求解公比；（Ⅱ）先根據(jù)數(shù)列前n項和求通項，解得，再通過疊加法以及錯位相減法求.【詳解】詳解：（Ⅰ）由是的等差中項得，所以，解得.由得，因為，所以.（Ⅱ）設，數(shù)列前n項和為.由解得.由（Ⅰ）可知，所以，故，.設，所以，因此，又，所以.點睛：用錯位相減法求和應注意的問題：(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式；(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.18.已知函數(shù)，函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若與的圖象在區(qū)間上有兩個不同的交點，求k的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】【分析】（1）求解導函數(shù)，然后分類討論求單調(diào)區(qū)間；（2）利用參變分離法，將題目條件轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同的實根，構造函數(shù)，求導判斷單調(diào)性并求解最值，從而得k的取值范圍.【小問1詳解】由題意可得的定義域為，且．①當時，由，得；由，得．故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．②當時，由，得；由，得．故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】當時，令，得，即，則與的圖象在上有兩個不同的交點，等價于在上有兩個不同的實根．設，則．由，得；由，得．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故．因為，，且，所以要使在上有兩個不同的實根，則，即k的取值范圍為．【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題．（4）考查數(shù)形結合思想的應用．19.已知函數(shù).（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）分離變量得到，利用導數(shù)可求得，由此可得結果；（2）當，時可證得，放縮可