專題04 因式分解 考點清單（解析版）

清單04：因式分解【考點題型一】因式分解定義把一個多項式化為幾個整式的積的形式.【例1】（23-24八年級上·廣東湛江·期中）下列左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了因式分解的定義，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解指的是把一個多項式分解為幾個整式的積的形式．據(jù)此逐個判斷即可．【詳解】解：A、左邊到右邊的變形是整式的乘法，不符合題意；B、左邊到右邊的變形不是因式分解，不符合題意；C、左邊到右邊的變形是因式分解，符合題意；D、左邊到右邊的變形是整式的乘法，不符合題意；故選：C．【變式1-1】（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）下列各式從左到右的變形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了因式分解的定義，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的定義：“把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式”．根據(jù)因式分解的定義逐一判斷即可．【詳解】解：A、是多項式乘以多項式，不是因式分解，不符合題意；B、不是因式分解，不符合題意；C、，原選項因式分解不徹底，不符合題意；D、是因式分解，符合題意；故選：D．【變式1-2】（23-24八年級上·四川眉山·期中）下面式子從左邊到右邊的變形是因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查了因式分解的定義，正確掌握因式分解的定義及平方差公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】A、，A選項錯誤，不符合題意；B、等式右邊不是積的形式，B選項錯誤，不符合題意；C、式子從左到右的變形為因式分解，C選項正確，符合題意；D、等式右邊不是積的形式，D選項錯誤，不符合題意；故答案為：C．【變式1-3】（23-24八年級上·山東濟(jì)南·期中）下列從左到右的運算是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了因式分解的定義，把一個多項式變成幾個整式的乘積形式叫做因式分解，據(jù)此逐一判斷即可．【詳解】解：A、是因式分解，符合題意；B、是整式乘法，不是因式分解，不符合題意；C、等式右邊不是乘積形式，不是因式分解，不符合題意；D、等式右邊不是乘積形式，不是因式分解，不符合題意；故選：A．【變式1-4】（23-24八年級上·四川宜賓·期中）下面從左到右的變形中，是因式分解且分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止．根據(jù)因式分解的定義及方法逐項分析即可．【詳解】解：A、，故本選項不符合題意；B、，從左到右的變形屬于因式分解；C、，故本選項不符合題意；D、，是整式的乘法，故本選項不符合題意．故選：B．【考點題型二】因式分解的方法：【例2】（23-24八年級上·四川眉山·期中）分解因式：?(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】本題考查了分解因式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分解因式的方法．（1）將變形為，提公因式即可；（2）先提公因式再用完全平方公式分解因式即可；（3）用完全平方公式分解因式即可；（4）先用平方差公式，再用完全平方公式分解即可．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．（4）解：原式．【變式2-1】（23-24八年級上·河南洛陽·期中）把下列多項式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了因式分解，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做這個多項式的因式分解：（1）運用提公因式進(jìn)行因式分解，即可作答；（2）運用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可作答；（3）運用分組分解法進(jìn)行因式分解，即可作答；（4）運用十字相乘法進(jìn)行因式分解，即可作答；正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【變式2-2】（23-24八年級上·四川宜賓·期中）因式分解(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進(jìn)行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解．（1）用提取公因式法即可；（2）用提取公因式法，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；（3）先提取公因式法，再用平方差公式分解即可；（4）先利用多項式乘式項式法則計算，合并同類項，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式【變式2-3】（22-23八年級上·四川眉山·期中）分解因式：(1)；(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）提公因式法分解因式即可；（2）用完全平方公式分解因式即可；（3）用十字相乘法分解因式即可；（4）用平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法，準(zhǔn)確計算．【變式2-4】（22-23八年級上·山東威?！て谥校┮蚴椒纸猓?1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】(1)原式變形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；(2)原式利用平方差公式分解即可；(3)原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可；(4)原式整理后，利用十字相乘法分解即可．【詳解】解：原式；原式；原式；原式．【點睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【考點題型三】因式分解在化簡求值的應(yīng)用【例3】（23-24八年級上·吉林長春·期中）請你參考黑板中老師的講解，用乘法公式進(jìn)行簡便計算：利用乘法公式有時可以進(jìn)行簡便計算．例1：；例2：．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)1；【分析】（1）根據(jù)完全平方公式即可求出答案．（2）根據(jù)平方差公式即可求出答案．【詳解】（1）原式；（2）．【點睛】本題考查了用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行簡便運算，解題關(guān)鍵根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇適當(dāng)公式進(jìn)行計算．【變式3-1（23-24八年級上·廣東廣州·期中）計算：．【答案】/【分析】接利用平方差公式把每一個算式因式分解，再進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)規(guī)律計算即可．【詳解】解：原式=，故答案為：．【點睛】此題考查因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于利用公式進(jìn)行計算．【變式3-2】（22-23八年級上·河南南陽·期中）小明將展開后得到，小李將展開后得到，若兩人計算過程無誤，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式可得，再利用平方差公式進(jìn)行簡便運算即可．【詳解】解：展開可得：展開可得：∴故答案為：．【點睛】本題考查的是完全平方公式的應(yīng)用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式進(jìn)行有理數(shù)的簡便運算”是解本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24八年級上·重慶·期中）簡便計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，平方差公式．（1）利用平方差公式進(jìn)行計算，即可解答；（2）利用因式分解進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【變式3-4】（23-24八年級上·河南洛陽·期中）整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法．下面是對多項式進(jìn)行因式分解的解題思路：將“”看成一個整體，令，則原式．再將“x”還原為“”即可．解題過程如下：解：設(shè)，則原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）．問題：(1)①該同學(xué)完成因式分解了嗎？如果沒完成，請你直接寫出最后的結(jié)果；②請你模仿以上方法嘗試對多項式進(jìn)行因式分解；(2)請你模仿以上方法嘗試計算：．【答案】(1)①該同學(xué)沒有完成因式分解；最后的結(jié)果為；②(2)2024【分析】本題考查公式法分解因式，理解整體思想是解決問題的前提，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征和必要的恒等變形是正確解答的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)因式分解的意義進(jìn)行判斷，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用換元法進(jìn)行因式分解即可；（2）設(shè)，，則原式，整體代入計算即可．【詳解】（1）①該同學(xué)沒有完成因式分解；設(shè)，則原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）．∴最后的結(jié)果為．②設(shè)，原式．；（2）設(shè)，，則，，原式．【考點題型四】因式分解的應(yīng)用【例4】（23-24八年級上·湖南衡陽·期中）把代數(shù)式通過配方等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式的非負(fù)性來增加題目的已知條件，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用．例如∶①用配方法分解因式∶，解∶原式；②利用配方法求最小值∶求的最小值．解∶，不論取何值，總是非負(fù)數(shù)，即．，當(dāng)時，有最小值，最小值為．根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)分解因式（利用配方法）：；(2)若，其中x為任意實數(shù)，試比較M和N的大小，并說明理由；(3)已知是的三條邊長，若滿足，求的周長．【答案】(1)(2)，見解析(3)9【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用．理解配方法是把代數(shù)式通過配方等手段，得到完全平方式是解決本題的關(guān)鍵．用到的知識點為∶比較兩個數(shù)的大小，通常用作差法，如果差是正數(shù)，則被減數(shù)大于減數(shù)；若差是負(fù)數(shù)，則被減數(shù)小于減數(shù)；幾個非負(fù)數(shù)相加得0，這幾個非負(fù)數(shù)均為0．（1）把所給式子的前兩項加上一個常數(shù)，整理為完全平方式，再把整個式子整理為和原來式子相等的形式，進(jìn)而用平方差公式繼續(xù)展開，整理可得因式分解的形式；（2）計算M與N的差，根據(jù)差的符號可得M和N的大??；（3）把所給等式整理為三個非負(fù)數(shù)相加得0的形式，可得這三個非負(fù)數(shù)均為0，即可求得的值，進(jìn)而求的周長即可．【詳解】（1）解:（2）；（3）解得：的周長．【變式4-1】（23-24八年級上·四川內(nèi)江·期中）若，則代數(shù)式的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，由，，的代數(shù)式，求出，，的值，原式利用完全平方公式變形后代入計算即可求出值．【詳解】解：，，，，，，則，當(dāng)，，時，原式．故選：D．【變式4-2】（23-24八年級上·山東淄博·期中）已知三角形的三邊滿足，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，勾股定理的逆定理，掌握若，則或是解題的關(guān)鍵．對等式進(jìn)行變形得到，根據(jù)若，則或即可得出答案．【詳解】解：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，故選：D．【變式4-3】（23-24八年級上·四川眉山·期中）①已知，求的值．②已知是的三邊長，滿足，且是中最長的邊，求的取值范圍．【答案】①；②【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用及三角形三邊關(guān)系，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．①利用完全平方公式把方程化成兩個平方的和為0的形式即可解題；②根據(jù)完全平方公式因式分解，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可求解．【詳解】解：①原方程可化為：，，∴，∴；②已知等式移項得：，即，，，，，解得：，，，，為三邊，且為最長邊，．【變式4-4】（23-24八年級上·北京東城·期中）【例題講解】因式分解：．∵為三次二項式，若能因式分解，則可以分解成一個一次二項式和一個二次多項式的乘積．故我們可以猜想可以分解成，即，展開等式右邊得：，∴恒成立．∴等號左右兩邊的同類項的系數(shù)應(yīng)相等，即，解得，∴．【方法歸納】設(shè)某一多項式的全部或部分系數(shù)為未知數(shù)，利用當(dāng)兩個多項式為恒等式時，同類項系數(shù)相等的原理確定這些系數(shù)，從而得到待求的值，這種方法叫待定系數(shù)法．【學(xué)以致用】(1)若，則__________；(2)若有一個因式是，求k的值及另一個因式．【答案】(1)1(2)，另一個因式為：．【分析】本題主要考查了多項式的乘法，因式分解等知識，掌握題干給出的待定系數(shù)法，是解答本題的關(guān)鍵．（1）將展開，結(jié)合多項式的恒等關(guān)系即可求解；（2）設(shè)多項式另一個因式為，利用題干給出的待定系數(shù)法求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，（2）設(shè)多項式另一個因式為，則，，，，，，即另一個因式為：．【考點題型五】因式分解的綜合問題【例5】（23-24八年級上·北京西城·期中）我們有公式：．反過來，就得到可以作為因式分解的公式：．如果有一個關(guān)于的二次項系數(shù)是1的二次三項式，它的常數(shù)項可以看作兩個數(shù)與的積，而它的一次項的系數(shù)恰是與的和，它就可以分解為，也就是說：當(dāng)，時，有．例如：；；；．下面是某同學(xué)對多項式進(jìn)行因式分解的過程．解：設(shè)，則原式．(1)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？（填“是”或“否”）．若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果．(2)請你運用上述公式并模仿以上方法，嘗試對多項式進(jìn)行因式分解．【答案】(1)否，(2)【分析】本題考查了十字相乘法，掌握整體思想是解題關(guān)鍵．（1），故可繼續(xù)分解；（2）設(shè)，原式可分解為；將代入可繼續(xù)分解．【詳解】（1）解：設(shè)，則原式故答案為：否，（2）解：設(shè)，則原式，∴【變式5-1】（22-23八年級下·廣東深圳·期中）閱讀以下文字并解決問題：對于形如這樣的二次三項式，我們可以直接用公式法把它分解成的形式，但對于二次三項式，就不能直接用公式法分解了．此時，我們可以在中間先加上一項9，使它與的和構(gòu)成一個完全平方式，然后再減去9，則整個多項式的值不變．即：，像這樣，把一個二次三項式變成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．(1)利用“配方法”因式分解：．(2)若，，求：①，②的值．(3)如果，求的值．【答案】(1)(2)①19②343(3)8【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次冪，熟練掌握完全平方公式及平方差公式是解本題的關(guān)鍵．（1）原式變形后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；（2）利用完全平方公式變形，代入計算即可；（3）已知等式左邊配方后，利用完全平方公式變形，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c的值，代入原式計算即可求出值．【詳解】（1）解：；（2）解：，，，，；，，，，；（3）解：，，，，，．【變式5-2】（23-24八年級上·遼寧鞍山·期中）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“”，細(xì)心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請在這種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：(1)因式分解：；(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解的新方法，及其應(yīng)用．(1)根據(jù)方法，適當(dāng)分組分解即可．(2)先因式分解，后代入求值即可．【詳解】（1）．（2），又，故原式．【變式5-3】（23-24八年級上·山東東營·期中）教科書中這樣寫道：“形如式子稱為完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值、最小值等問題．例如：分解因式：．解：原式；再如：求代數(shù)式的最小值