專(zhuān)題05-倍長(zhǎng)中線問(wèn)題(解析版)

專(zhuān)題05倍長(zhǎng)中線問(wèn)題【要點(diǎn)提煉】一、【倍長(zhǎng)中線法】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線．所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法．倍長(zhǎng)中線法的過(guò)程：延長(zhǎng)某某到某點(diǎn)，使某某等于某某，使什么等于什么（延長(zhǎng)的那一條），用SAS證全等（對(duì)頂角）+倍長(zhǎng)中線最重要的一點(diǎn)，延長(zhǎng)中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構(gòu)造。

二、【倍長(zhǎng)中線法拓展;兩次全等】通常，在倍長(zhǎng)中線后的第一組全等只是一個(gè)基礎(chǔ)，往往還需證明第二組全等，但是難點(diǎn)就在于如何去倍長(zhǎng)中線，倍長(zhǎng)中線后去連接什么線，這是問(wèn)題的關(guān)鍵。這時(shí)一般需要去試錯(cuò)，尤其是當(dāng)有兩個(gè)中點(diǎn)時(shí)，一般是倍長(zhǎng)中線后大概率會(huì)有另一組的全等。三、【倍長(zhǎng)中線的常見(jiàn)類(lèi)型】1.基本型如圖1，在中，為邊上的中線.

延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得.若連結(jié)，則;若連結(jié)，則;若連結(jié)則四邊形是平行四邊形.

2.中點(diǎn)型如圖2,為的中點(diǎn).

若延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，則;若延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，則.

總結(jié)：在線段外，與中點(diǎn)連結(jié)的點(diǎn)有和.事實(shí)上，和分別是和的中線，只不過(guò)是三角形不完整罷了，本質(zhì)就是隱蔽的“基本型”

3.中點(diǎn)+平行線型如圖3,，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).延長(zhǎng)交于點(diǎn)(或交延長(zhǎng)線于點(diǎn))，則.小結(jié)若按“中點(diǎn)型”來(lái)倍長(zhǎng)，則需證明點(diǎn)在上，為了避免證明三點(diǎn)共線，點(diǎn)就直接通過(guò)延長(zhǎng)相交得到.因?yàn)橛衅叫芯€，內(nèi)錯(cuò)角相等，故根據(jù)“AAS”或“ASA”證明全等.這里“中點(diǎn)+平行線型”可以看做是“中點(diǎn)型”的改良版.【專(zhuān)題訓(xùn)練】一、解答題（共14小題）

1.小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題，如圖1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過(guò)的“倍長(zhǎng)中線法”可以解決這個(gè)問(wèn)題，所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法，他的做法是：如圖2，延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接BE，構(gòu)造△BED≌△CAD，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)回答：（1）小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示）（2）AD的取值范圍是小明還發(fā)現(xiàn)：倍長(zhǎng)中線法最重要的一點(diǎn)就是延長(zhǎng)中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖3，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，G、F分別為AD，BC邊上的點(diǎn)，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的長(zhǎng)．【答案】【第1空】SAS

【第2空】1＜AD＜6【解答】解：（1）如圖2中，延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接BE．在△BED和△CAD中，，∴△BED≌△CAD（SAS）．（2）∵△BED≌△CAD，∴BE＝AC＝5，∵AB＝7，∴2＜AE＜12，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6．故答案分別為SAS，1＜AD＜6．解決問(wèn)題：如圖3中，解：延長(zhǎng)GE交CB的延長(zhǎng)線于M．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥CM，∴∠AGE＝∠M，在△AEG和△BEM中，，∴△AEG≌△BEM，∴GE＝EM，AG＝BM＝2，∵EF⊥MG，∴FG＝FM，∵BF＝4，∴MF＝BF+BM＝2+4＝6，∴GF＝FM＝6．【知識(shí)點(diǎn)】四邊形綜合題2.自主學(xué)習(xí)，學(xué)以致用先閱讀，再回答問(wèn)題：如圖1，已知△ABC中，AD為中線．延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD．在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），進(jìn)一步可得到AB＝CE，AB∥CE等結(jié)論．在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長(zhǎng)中線”的輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計(jì)算或證明題．解決問(wèn)題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，且BF＝AC，連結(jié)并延長(zhǎng)BF交AC于點(diǎn)E，求證：AE＝EF．【解答】證明：延長(zhǎng)AD到G，使DF＝DG，連接CG，∵AD是中線，∴BD＝DC，在△BDF和△CDG中∴△BDF≌△CDG，∴BF＝CG，∠BFD＝∠G，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AFE＝∠G，∵BF＝CG，BF＝AC，∴CG＝AC，∴∠G＝∠CAF，∴∠AFE＝∠CAF，∴AE＝EF．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)3.閱讀并解答問(wèn)題．如圖，已知：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC＞2AD．證明：延長(zhǎng)AD至E使得DE＝AD，連接EC，則AE＝2AD∵AD為△ABC的中線∴BD＝CD在△ABD和△CED中，∴△ABD≌△CED∴AB＝EC在△ACE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系有AC+ECAE而AB＝EC，AE＝2AD∴AB+AC＞2AD這種輔助線方法，我們稱(chēng)為“倍長(zhǎng)中線法”，請(qǐng)利用這種方法解決以下問(wèn)題：（1）如圖，已知：CD為Rt△ABC的中線，∠ACB＝90°，求證：CD＝；（2）把（1）中的結(jié)論用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言描述出來(lái)．【答案】＞【解答】解：（1）證明：延長(zhǎng)CD至E使DE＝CD，連接EB，AE．∵CD為Rt△ABC的中線，∴AD＝CD，∵CD＝DE，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB，∴∠ACD＝∠DEB，AC＝BE，∴AC∥BE，∴四邊形ACBE是平行四邊形，又∵∠ACB＝90°，∴平行四邊形ACBE是矩形，∴AB＝CE，CD＝DE＝AD＝BD，∴CD＝AB；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線、全等三角形的判定與性質(zhì)

4.我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC'，連接B'C'．當(dāng)α+β＝180°時(shí)，我們稱(chēng)△AB'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．特例感知：（1）在圖2，圖3中，△AB'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD＝BC；②如圖3，當(dāng)∠BAC＝90°，BC＝8時(shí)，則AD長(zhǎng)為．猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用（3）如圖4，在四邊形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，AB＝2．在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)P，使△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”？若存在，給予證明，并求△PAB的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）①如圖2中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD＝AB′＝BC，故答案為．②如圖3中，∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC＝B′C′，∵B′D＝DC′，∴AD＝B′C′＝BC＝4，故答案為4．（2）結(jié)論：AD＝BC．理由：如圖1中，延長(zhǎng)AD到M，使得AD＝DM，連接B′M，C′M∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四邊形AC′MB′是平行四邊形，∴AC′＝B′M＝AC，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC＝AM，∴AD＝BC．（3）存在．理由：如圖4中，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于M，作BE⊥AD于E，作線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA、PD、PC，作△PCD的中線PN．連接DF交PC于O．∵∠ADC＝150°，∴∠MDC＝30°，在Rt△DCM中，∵CD＝2，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°，∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，∴EM＝BM＝7，∴DE＝EM﹣DM＝3，∵AD＝6，∴AE＝DE，∵BE⊥AD，∴PA＝PD，PB＝PC，在Rt△CDF中，∵CD＝2，CF＝6，∴tan∠CDF＝，∴∠CDF＝60°∴∠ADF＝90°＝∠AEB，∴∠CBE＝∠CFD，∵∠CBE＝∠PCF，∴∠CFD＝∠PCF，∵∠CFD+∠CDF＝90°，∠PCF+∠CPF＝90°，∴∠CPF＝∠CDF＝60°＝∠CDF易證△FCP≌△CFD，∴CD＝PF，∵CD∥PF，∴四邊形CDPF是矩形，∴∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠ADC﹣∠CDP＝60°，∴△ADP是等邊三角形，∴∠ADP＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°，∴∠APD+∠BPC＝180°，∴△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”，∵AB＝2．∴△PAB的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)＝AB＝．【知識(shí)點(diǎn)】四邊形綜合題5.我們定義：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊相等，且它們的夾角互補(bǔ)，我們就把其中一個(gè)三角形叫做另一個(gè)三角形的“夾補(bǔ)三角形”，同時(shí)把第三邊的中線叫做“夾補(bǔ)中線．例如：圖1中，△ABC與△ADE的對(duì)應(yīng)邊AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，AF是DE邊的中線，則△ADE就是△ABC的“夾補(bǔ)三角形”，AF叫做△ABC的“夾補(bǔ)中線”．特例感知：（1）如圖2、圖3中，△ABC與△ADE是一對(duì)“夾補(bǔ)三角形”，AF是△ABC的“夾補(bǔ)中線”；①當(dāng)△ABC是一個(gè)等邊三角形時(shí)，AF與BC的數(shù)量關(guān)系是：；②如圖3當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，∠BAC＝90°，BC＝a時(shí)，則AF的長(zhǎng)是；猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AF與BC的關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在四邊形ABCD中，∠DCB＝90°，∠ADC＝150°，BC＝2AD＝6，CD＝，若△PAD是等邊三角形，求證：△PCD是△PBA的“夾補(bǔ)三角形”，并求出它們的“夾補(bǔ)中線”的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵△ABC與△ADE是一對(duì)“夾補(bǔ)三角形”，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，①∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°∴AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝120°，∴∠ADE＝30°，∵AF是“夾補(bǔ)中線”，∴DF＝EF，∴AF⊥DE，在Rt△ADF中，AF＝AD＝AB＝BC，故答案為：AF＝BC；②當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，∠BAC＝90°，∵∠DAE＝90°＝∠BAC，易證，△ABC≌△ADE，∴DE＝BC，∵AF是“夾補(bǔ)中線”，∴DF＝EF，∴AF＝DE＝BC＝a，故答案為a；（2）解：猜想：AF＝BC，理由：如圖1，延長(zhǎng)DA到G，使AG＝AD，連EG∵△ABC與△ADE是一對(duì)“夾補(bǔ)三角形”，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，∴AG＝AB，∠EAG＝∠BAC，AE＝AC，∴△AEG≌△ACB，∴EG＝BC，∵AF是“夾補(bǔ)中線”，∴DF＝EF，∴AF＝EG，∴AF＝BC；（3）證明：如圖4，∵△PAD是等邊三角形，∴DP＝AD＝3，∠ADP＝∠APD＝60°，∵∠ADC＝150°，∴∠PDC＝90°，作PH⊥BC于H，∵∠BCD＝90°∴四邊形PHCD是矩形，∴CH＝PD＝3，∴BH＝6﹣3＝3＝CH，∴PC＝PB，在Rt△PCD中，tan∠DPC＝＝，∴∠DPC＝30°∴∠CPH＝∠BPH＝60°，∠APB＝360°﹣∠APD﹣∠DPC﹣∠BPC＝150°，∴∠APB+∠CPD＝180°，∵DP＝AP，PC＝PB，∴△PCD是△PBA的“夾補(bǔ)三角形”，由（2）知，CD＝，∴△PAB的“夾補(bǔ)中線”＝＝．【知識(shí)點(diǎn)】四邊形綜合題6.如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG，可以得到△ABD≌△GCD，這種作輔助線的方法我們通常叫做“倍長(zhǎng)中線法”．如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連接ED，小明由圖1中作輔助線的方法想到：延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G，使DG＝ED，連接CG．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE和CG的關(guān)系：；（2）如圖3，若∠A＝90°，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，連接EF，已知BE＝3，CF＝2，其它條件不變，求EF的長(zhǎng)．【答案】BE=CG【解答】解：（1）∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，在△EBD和△GCD中，∵，∴△EBD≌△GCD（SAS），∴BE＝CG，故答案為：BE＝CG；（2）如圖，連接GF，由（1）知△EBD≌△GCD，∴∠B＝∠GCD，BE＝CG＝3，又∵∠A＝90°，∴∠B+∠BCA＝90°，∴∠GCD+∠BCA＝90°，即∠GCF＝90°，∵CG＝3，CF＝2，∴FG＝＝，∵DF⊥DE，且DE＝DG，∴EF＝FG＝．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)7.[方法呈現(xiàn)]（1）如圖①，△ABC中，AD為中線，已知AB＝3，AC＝5，求中線AD長(zhǎng)的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連結(jié)CE，則易證△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，則可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，從而可得中線AD長(zhǎng)的取值范圍是．[探究應(yīng)用]（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關(guān)系，并寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】2＜AD＜8【解答】解：（1）由題意知AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AD＜5+3，∴2＜AD＜8，故答案為：2＜AD＜8；（2）如圖②，延長(zhǎng)AE，DC交于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD．（3）如圖③，延長(zhǎng)AE，DF交于點(diǎn)G，同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，∴AB＝CG，∴AF+CF＝AB．【知識(shí)點(diǎn)】四邊形綜合題8.數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，請(qǐng)補(bǔ)充完整證明“△ADC≌△EDB”的推理過(guò)程．（1）求證：△ADC≌△EDB證明：∵延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD在△ADC和△EDB中AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（）CD＝BD（中點(diǎn)定義）∴△ADC≌△EDB（）（2）探究得出AD的取值范圍是；【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】（3）如圖2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中線，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的長(zhǎng)．【答案】【第1空】對(duì)頂角相等

【第2空】SAS

【第3空】1＜AD＜7【解答】解：（1）證明：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，在△ADC和△EDB中，AD＝ED（已作），∠ADC＝∠EDB（對(duì)頂角相等），CD＝BD（中點(diǎn)定義），∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案為：對(duì)頂角相等，SAS；（2）∵△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，8﹣6＜AE＜8+6，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7；（3）延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于F，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴∠ABD＝∠FCD，在△ABD和△FCD中，，∴△ABD≌△FCD，∴CF＝AB＝2，AD＝DF，∵∠ADE＝90°，∴AE＝EF，∵EF＝CE+CF＝CE+AB＝4+2＝6，∴AE＝6．【知識(shí)點(diǎn)】三角形綜合題9.我們定義：在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC'，連接B'C'．當(dāng)α+β＝180°時(shí)，我們稱(chēng)△AB'C'叫△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，△AB'C'的邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”．下面各圖中，△AB'C'均是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD均是△ABC的“旋補(bǔ)中線”．（1）如圖1，若△ABC為等邊三角形，BC＝8，則AD的長(zhǎng)等于；（2）如圖2，若∠BAC＝90°，求證：AD＝BC；（3）如圖3，若△ABC為任意三角形，（2）中結(jié)論還成立嗎？如果成立，給予證明；如果不成立，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD＝AB′＝BC＝4，（2）證明：如圖2中，∵AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到AB'，AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到AC'，∴AB′＝AB，AC'＝AC，∵∠BAC＝90°，α+β＝180°，∠B′AC′＝360°﹣（α+β）﹣∠BAC，∴∠B′AC′＝360°﹣180°﹣90°＝90°，∴∠BAC＝∠B′AC′，∴△BAC≌△B′AC′（SAS）∴BC＝B′C′，∵AD是△AB'C'邊B'C'上的中線，∠B′AC′＝90°．∴AD＝B′C′．∴AD＝BC．（3）結(jié)論AD＝BC成立．理由：如圖3中，延長(zhǎng)AD到A′，使得AD＝DA′，連接B′A′，C′A′．∴AD＝AA′，∵B′D＝DC′，AD＝DA′，∴四邊形AB′A′C′是平行四邊形，∴AC′＝B′A′＝AC，∵∠BAC+∠B′AC′＝360°﹣180°＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠AB′A′，∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′A′（SAS）∴BC＝AA′，∴AD＝BC．【知識(shí)點(diǎn)】幾何變換綜合題10.閱讀理解：小明熱愛(ài)數(shù)學(xué)，在課外書(shū)上看到了一個(gè)有趣的定理﹣﹣“中線長(zhǎng)定理”：三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍．如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，根據(jù)“中線長(zhǎng)定理”，可得：AB2+AC2＝2AD2+2BD2．小明嘗試對(duì)它進(jìn)行證明，部分過(guò)程如下：解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，如圖2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，為證明的方便，不妨設(shè)BD＝CD＝x，DE＝y(tǒng)，∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2＝…（1）請(qǐng)你完成小明剩余的證明過(guò)程；理解運(yùn)用：（2）①在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AB＝6，AC＝4，BC＝8，則AD＝；②如圖3，⊙O的半徑為6，點(diǎn)A在圓內(nèi)，且OA＝2，點(diǎn)B和點(diǎn)C在⊙O上，且∠BAC＝90°，點(diǎn)E、F分別為AO、BC的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為；拓展延伸：（3）小明解決上述問(wèn)題后，聯(lián)想到《能力訓(xùn)練》上的題目：如圖4，已知⊙O的半徑為5，以A（﹣3，4）為直角頂點(diǎn)的△ABC的另兩個(gè)頂點(diǎn)B，C都在⊙O上，D為BC的中點(diǎn)，求AD長(zhǎng)的最大值．請(qǐng)你利用上面的方法和結(jié)論，求出AD長(zhǎng)的最大值．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，如圖2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，為證明的方便，不妨設(shè)BD＝CD＝x，DE＝y(tǒng)，∴AB2+AC2＝2AE2+（x+y）2+（x﹣y）＝2AE2+2x2+2y2、＝2AE2+2BD2+2DE2＝2AD2+2BD2．（2）①∵AB2+AC2＝2AD2+2BD2，∴62+42＝2AD2+2×42，∴AD＝②如圖3中，∵AF是△ABC的中線，EF是△AEO的中線，OF是△BOC的中線，∵2EF2+2AE2＝AF2+OF2，2AF2+2BF2＝AB2+AC2，OF2＝OB2﹣BF2，∴4EF2＝2OB2﹣4AE2＝2OB2﹣OA2，∴EF2＝OB2﹣OA2＝16，∴EF＝4（負(fù)根以及舍棄），故答案為．4．（3）如圖4中，連接OA，取OA的中點(diǎn)E，連接DE．由（2）的②可知：DE═OB2﹣OA2＝，在△ADE中，AE＝，DE＝，∵AD≤AE+DE，∴AD長(zhǎng)的最大值為+＝10．【知識(shí)點(diǎn)】圓的綜合題

11.[問(wèn)題提出]如圖①，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．[問(wèn)題解決]解決此問(wèn)題可以用如下方法，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連結(jié)BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針裝轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷，由此得出中線AD的取值范圍是[應(yīng)用]如圖②，如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2．求BC的長(zhǎng)[拓展]如圖③，在△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交邊AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，已知BE＝4，CF＝5，則EF的長(zhǎng)為【解答】解：（1）在△DAC和△DEB中，，∴△DAC≌△DEB（SAS），∴AC＝EB＝4，∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，AB＝6，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；（2）延長(zhǎng)AD到E，使得AD＝DE，連接BE，如圖②，在△DAC和△DEB中，，∴△DAC≌△DEB（SAS），∴AC＝EB＝3，∵AE＝2AD＝4，AB＝5，∴BE2+AE2＝AB2，∴∠AEB＝90°，∴BD＝，∴BC＝2BD＝2；（3）延長(zhǎng)FD到G，使得DG＝FD，連接BG，EG，如圖③，在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF＝5，DG＝DF，∠DBG＝∠DCF，∵DE⊥DF，∴EG＝EF，∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠DBG＝90°，∴EG＝，∴EF＝，故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線、垂線段最短、三角形三邊關(guān)系、解直角三角形12.我們定義：如圖1，在△ABC看，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC'，連接B'C'．當(dāng)α+β＝180°時(shí)，我們稱(chēng)△A'B'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．特例感知：（1）在圖2，圖3中，△AB'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD＝BC；②如圖3，當(dāng)∠BAC＝90°，BC＝8時(shí)，則AD長(zhǎng)為．猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【解答】解：（1）①如圖2，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD＝BC；理由：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD＝AB′＝BC，故答案為．②如圖3，當(dāng)∠BAC＝90°，BC＝8時(shí)，則AD長(zhǎng)為4．理由：∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC＝B′C′，∵B′D＝DC′，∴AD＝B′C′＝BC＝4，故答案為4．（2）猜想．證明：如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)Q，則△DQB'≌△DAC'，∴QB'＝AC'，QB'∥AC'，∴∠QB'A+∠B'AC'＝180°，∵∠BAC+∠B'AC'＝180°，∴∠QB'A＝∠BAC，又由題意得到QB'＝AC'＝AC，AB'＝AB，∴△AQB'≌△BCA，∴AQ＝BC＝2AD，即．【知識(shí)點(diǎn)】幾何變換綜合題13.如圖1，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線，動(dòng)點(diǎn)D在直線AM（點(diǎn)D與點(diǎn)A重合除外）上時(shí)，以CD為一邊且在CD的下方作等邊△CDE，連接BE．（1）判斷AD與BE是否相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖2，若AB＝8，點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)在直線BE上且CP＝CQ＝5，試求PQ的長(zhǎng)；（3）在第（2）小題的條件下，當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線（或反向延長(zhǎng)線）上時(shí)．判斷PQ的長(zhǎng)是否為定值，若是請(qǐng)直接寫(xiě)出PQ的長(zhǎng)；若不是請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．【解答】解：（1）AD＝BE．理由如下：∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝60°，∠BCE+∠BCD＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BQ于點(diǎn)N，∵CP＝CQ，∴PQ＝2PN，∵△ABC是等邊三角形，AM是中線，∴CM⊥AD，CM＝BC＝×8＝4，∴CN＝CM＝4（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），∵CP＝CQ＝5，∴PN＝＝＝3，∴PQ＝2PN＝2×3＝6